第三章 指数运算与指数函数 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 3 第三章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.［湖北荆州中学2024高一期中］ ( ) C A. B. C.12 D. 3 解析 .故选C. 4 2.已知函数的图象不经过第一象限，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 5 解析 函数为减函数，且图象不经过第一象限， ，即 ，故选C． 6 3.［安徽合肥六校2024高一期中］已知,, ，则下列选项正确的是 ( ) A A. B. C. D. 7 解析 因为在上单调递减，且 ， 所以，即 . 因为在上单调递增，且，所以，所以 .故选A. 8 4.［陕西西安曲江二中2025高一期中］若函数是 上的单调函数，则 实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 9 解析 ①若函数在 上单调递增， 则满足即解得 . ②若函数在 上单调递减， 则满足即 此时无解. 综上，实数的取值范围为 .故选D. 10 5.［江西上饶2025高一月考］已知函数，若，则 的最大值和 最小值分别是( ) B A.,0 B.,1 C., D.3，1 11 解析 由，得，令 ， 则可等价于，又图象的对称轴为直线 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时， 取得最 大值，最大值为 ， 当时，取得最小值，最小值为 ， 所以的最大值和最小值分别是 ,1.故选B. 12 6.若实数，满足 ，则( ) C A. B. C. D. 13 思路导引 观察题中不等式 ,两侧底数不同，同侧有两个不 同的指数，移项得 ,左右两侧底数对应相等，同侧指数互为 相反数,构造函数,利用 的单调性进行判断. 14 解析 因为 ， 所以 ， 令，由于,均为 上的增函数， 所以是 上的增函数. 则由，可得，所以 .故选C． 15 7.［河南漯河高级中学2024高一月考］已知函数， ，且 ，则下列结论中，一定成立的是( ) D A.，， B.，， C. D. 16 解析 易知函数在 上单调递减，在 上单调递增， 由于，而，因此 ， ， 无法确定正负，如图所示. 故 ，A，B错误，D正确. 由于，则 ，故 ， 当且仅当时等号成立，又 ，则等号无法取到， 因此，又 ， 所以 ， 由于，，在上单调递增，因此，故 ,故C错误， 故选D． 17 8.已知函数，若，则实数 的取值范围为 ( ) A A. B. C. D. 18 解析 由题可得 , . 由 ， 得 , 当时，在上单调递减,所以，解得 ， 所以实数的取值范围为 . 故选A. 19 9.已知函数，对于函数的定义域中任意， ，以下结论正确的是 ( ) ACD A. B. C. D. 20 解析 对于A选项， ，A正确； 对于B选项，取，，则 ， ，此时 ，B错误； 对于C选项，因为函数为上的增函数，当时，，则 ， 当时，，则 ， 综上所述， ，C正确； 对于D选项，，D正确.故选 . 21 10.［浙江杭州2024高一期中］已知函数，且 ，则下列结论正确的是 ( ) BC A.函数的图象恒过定点 B.函数的值域为 C.函数在区间 上单调递增 D.若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 22 解析 已知函数，且， , 对于A，，则函数的图象恒过定点 ，故A错误. 对于B，，则 ， 所以，函数的值域为 ，故B正确. 对于C，任取，则，当时，函数 单 调递增，则，当时， 恒成立，所以 ；当时，函数 单调递减，则 ，当时， 恒成立，所以 ，则恒成立，所以函数 在区间 上单调递增，故C正确. 23 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位长度，再将 轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和 两种情况分别作图， 如图所示： 当 时不合题意； 当时，需要，即 ，故D错误. 故选 . 24 11.［山西太原2025高一月考］已知函数 是奇函数，则下列选项正确的是 ( ) ABD A. B.,，且，恒有 C.函数在上的值域为 D.，恒有成立的充分不必要条件是 25 解析 因为函数的定义域为,是奇函数,所以 ,解得 ,代入验证可知,所以 ,故A正确； ,由于函数在 上单调递 增且,函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,则, ,且 ,恒有 ,故B正确； 因为在上单调递增,,,所以函数在上的值域为 , 故C错误； 由选项B可知在上单调递增，若,恒有 成立,则 ,则的解集为 , 26 当时,,解得 ,不符合题意, 当时,要使得解集为,则有解得 , 综上,若,恒有成立,则 ,因此其成立的充分不必要条件可以 是,故D正确.故选 . 12.已知函数满足，则 _____. 解析 ， ， . 28 13.［辽宁六校协作体2024高一期中联考］已知函数 为常数，若 有最大值，则实数 的取值范围是________. 29 解析 画出,的图象,如图所示,联立解得 或 ①对于二次函数,其图象开口向下,对称轴为直线 , 当时, ； ②对于指数型函数,当时, , 则对于函数 30 当时, , 当时, , 当时, 没有最大值. 综上所述,实数的取值范围是 . 14.［四川成都部分学校2025高一期末联考］已知函数，对任意的 , ，若，恒有，则实数 的取值范围为________. 解析 由题意得在上是单调函数，而 ， 令，则在 上单调. 又在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，所 以只需，即 . 32 15.（本小题满分13分）［福建厦门2024高一月考］ （1）计算： ; 【解】 . 33 （2）化简： . [答案] . 34 16.（本小题满分15分）［陕西榆林2024高一期中］已知函数 ，其中 ， 均为实数. （1）若函数的图象经过点，，求函数 的值域； 【解】由题知函数的图象经过点，，则 函数，函数 . 又,，故函数的值域为 . 35 （2）如果函数的定义域和值域都是，求 的值. [答案] 若，则函数为增函数，此时 无解. 若，则函数 为减函数， 解得 . 36 17.（本小题满分15分）已知函数是定义域为 的奇函数. （1）求函数 的解析式； 【解】是定义域为的奇函数， ， 可得,，此时，满足 ， 即函数是定义域为 的奇函数， 函数的解析式为 . 37 （2）判断在 上的单调性并用定义证明； [答案] 在 上单调递增. 证明：设,为上任意两个实数，且 ， , ,, , , ， 在 上单调递增. 38 （3）若，求在上的最小值 . 39 [答案] 由 ， 可得 , 令 ， 由（2）知为增函数，， ，令 , ， 当时，在 上单调递增,故 ； 当 时，在上单调递减，在 上单调递增, 故 ； 当 时,在上单调递减，故 . 综上所述, 18.（本小题满分17分）已知增函数是定义在 上的奇函数，函数 . （1）解不等式 ； 【解】因为增函数是定义在 上的奇函数， 所以当时，，则由 ，得 ，即 解得 ， 故不等式的解集为 . 42 （2）若存在两个不等的实数，使得，且，求实数 的取值范围. [答案] 因为，为定义在上的奇函数，所以，即 ，不 妨令，则 . , 则 ， 令，，由对勾函数及指数函数的性质得在 上单调递增，所以 ，则，显然 ， 则 ， 又在上单调递减，所以由题意得，即 的取值 范围为 ． 43 19.（本小题满分17分）［安徽淮南二中2025高一期中］定义：若对定义域内任意 ，都有 （为正常数），则称函数为“ 距”增函数. （1）若，，试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由； 【解】对任意, , 因为,,所以，所以，即 是“1距”增函数． 44 （2）若是“距”增函数，求 的取值范围； [答案] . 因为是“距”增函数，所以 恒成立， 因为,所以在 上恒成立， 所以，解得，因为,所以 . 即的取值范围是 . 45 （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求 的最小值. [答案] 因为， ，且为“2距”增函数， 所以当时， 恒成立， 即当时， 恒成立， 所以 恒成立， 当时，，即 恒成立， 所以,得 ; 当时， ， 即 恒成立， 所以,得 , 46 综上所述，得 . 又 ， 因为,所以 ， 若，则当时， 取最小值0； 若，则当时，取最小值 . 因为在 上是增函数， 所以当时， 的最小值为1； 当时,的最小值为 . $$