第一章 预备知识 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合的概念与运算、命题的否定与充要条件、不等式解法及基本不等式应用等核心知识，通过规律方法总结和错题解析，串联知识点内在逻辑，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于结合实际情境设计分层题型，如企业处理成本计算等应用题培养数学眼光，命题否定及不等式证明题强化数学思维，不同难度题目满足个性化复习需求，有效提升学生知识应用能力，助力教师精准把握学情。

数学 必修第一册 BS 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.已知集合，，0，1，，， ，则下列关系正确的是( ) C A. B. C. D. 3 解析 由集合，，0，1，，，，得,0, ，所以 ，故选C． 4 2.［辽宁省实验中学2024高一期中］已知集合，集合 ， 则 ( ) D A. B. C. D. 5 解析 , , . 故选D. 6 3.［山东青岛二中2025高一段考］十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数 ，关 于，，的方程 没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终 成费马大定理.则费马大定理的否定为( ) D A.对任意正整数，关于，，的方程 都没有正整数解 B.存在正整数，关于，，的方程 至多存在一组正整数解 C.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 D.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 7 解析 “对任意正整数，关于,,的方程 没有正整数解”的否定为“存在正整 数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解”.故选D. 8 规律方法 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存 在量词命题，并找到量词的位置及相应结论，然后遵循改量词、否结论的原则写出命题的否定. 9 4.［重庆田家炳中学2024高一期中］设，是两个实数，且 ，有如下三个式子： ;; .其中恒成立的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10 解析 不恒成立； 恒成立，则 恒成立；,的正负不确定，所以 不恒成立.故选B. 11 5.已知，，，则 的最小值为( ) D A.13 B.19 C.21 D.27 12 解析 ，当且仅当 ，即，时，等号成立，故 的最小值为27. 故选D. 13 6.命题“存在，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) B A. B. C. D. 14 解析 因为“存在，使得 ”为真命题， 所以，因此上述命题的一个充分不必要条件是 . 故选B. 15 7.［江西南昌外国语2025月考］设实数,满足，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D.1 16 解析 因为，所以 ， 令则因为 ，所以 ，当 且仅当，即或时等号成立，所以的最小值为 .故选C. 17 8.［四川成都2025高一期中］对于正整数集合,, , ，如果去掉其中 任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集.记.若集合 是平 衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数 的奇偶性( ) D A.与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B.与 无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C.与无关，必为偶数 D.与 无关，必为奇数 18 解析 由已知得,, ,，因为集合 是平衡集， 设去掉元素，根据题意得，其中 ， 不妨设集合，中的元素的和均为，则，其中,2, , ， 则，所以为偶数，其中,2, , ， 因此与 的奇偶性相同. 因为存在为奇数，所以 均为奇数， 由知也为奇数，且，所以 也为奇数. 所以的奇偶性与 无关，必为奇数.故选D. 19 9.［江苏无锡天一中学2025高一期中］下列命题中为真命题的是( ) AD A.“”是“ ”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ” D.设，，则“”是“ ”的必要不充分条件 20 解析 对于A，由于“”与“ ”互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ”， 所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得 且 ，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.故选 . 21 10.［陕西西安2024高一期中］已知关于的不等式 的解集是 ，则( ) ABD A. B. C. D. 22 解析 不等式等价于不等式 ， 因为关于的不等式的解集是，所以 ，且 ，，则 ，故B，D正确，C错误. 设，，则不等式的解集是 . 又关于的不等式即的解集是 ， 所以是的真子集，所以 ，则A正确. 故选 . 23 11.［浙江温州部分学校2025高二期中联考］已知,，且满足 ,则下列说法 正确的是( ) ACD A.的最大值为4 B. 的最小值为2 C.的最小值为 D.的最小值为 24 解析 对于A，由,可得，即 ，即 ，解得,所以，当且仅当 时，等号成立，故A 正确； 对于B，由，可得，即 ， 解得或（舍），当且仅当时等号成立，因此 的最小值为4， 故B错误； 对于C，易知，即 ，因此 ， 当且仅当，即, 时等号成立，故C正确； 对于D，由，易得 ，所以 ， 当且仅当，即,时，等号成立，故D正确.故选 . 25 12.［重庆育才中学2025高一期中］已知集合， ， 若是的必要条件，则实数 的取值范围是_ _____________. 26 解析 由可得 . 因为是的必要条件，所以,因此解得 , 所以实数的取值范围是 . 27 13.［湖北新高考协作体2025高一期中］某学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比 赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和 田径比赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛，则同时参 加游泳和球类比赛的有___人. 8 28 解析 设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合,, ，设同时参加游泳和 球类比赛的学生人数为，则由题意作出 图如图， 由题意可得，解得 .因此同时参加游泳和球类比赛的学 生有8人. 29 14.［山西太原2024高一期中］将基本不等式 推广可得正确结论 ，当且仅当 时，等号成立.利用此结论解决问题：已 知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是___ 时，旋 转形成的圆柱体积最大，其最大值是______ .（答对一空给3分） 6 解析 设矩形相邻两边的长分别为, , 则,且 , 不妨设以长度为 的边进行旋转, 则圆柱的体积 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以当矩形的长是时,圆柱的体积最大,为 . 30 15.（本小题满分13分）［湖南长沙雅礼中学2025高一期末］已知集合 ，集合 . （1）若，，是的充分条件，求实数 的取值范围； 【解】已知，，若是的充分条件，则有 ， 所以解得 . 所以实数的取值范围为 . （2）若 ，求实数 的取值范围. [答案] 因为 ，所以要使 ，只需或，解得或 ， 所以实数的取值范围为或 . 31 16.（本小题满分15分）［河南新乡2025高一期中］已知 . （1）证明： . 【证明】因为，所以,, ， 所以，所以 . （2）若，求 的最小值. 【解】因为，所以,，又 ， 所以 ， 当且仅当，即, 时等号成立， 所以的最小值是 . 32 17.（本小题满分15分）［北京首师大附中2025高一月考］已知, 是一元二次方程 的两个不相等的实数根. （1）若两根同号，求实数 的取值范围； 【解】由题意得 解得，所以实数的取值范围为 . 33 （2）求使得的值为整数的整数 的值. [答案] 由（1）知，当时，方程有两个不相等的实数根，可知, ， 于是 ， 由，可得，则，即要使的值为正整数，且为整数，则 ， 则有，化简得，则 ， 令，此时为整数，则 满足题意. 故使得的值为整数的整数 的值为1. 34 18.（本小题满分17分）［江西南昌2025高一月考］某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二 氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月 处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【解】由题意可知，月处理成本（元）与月处理量 （吨）之间的函数关系可近似地表示为 ， 所以每吨二氧化碳的平均处理成本为 .由基本不等式可得 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 35 （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少 元才能使该单位不亏损？ [答案] 每月的利润 ， ， 当时，函数取得最大值 . 所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40 000元才能使该单位不亏损. 36 19.（本小题满分17分）［陕西西安长安一中2025高一质量检测］已知集合,, ， ，其中，新定义性质若对任意的，必有 ，则称集 合具有性质.由中元素可构成两个点集和,, ， ,,，其中中有个元素，中有 个元素. （1）已知集合、集合,2,和集合 ，判断它们是否具 有性质，若有，则直接写出其对应的集合， ；若无，请说明理由. 【解】由于，故不具有性质 . 集合具有性质，对应集合,，, . 集合不是整数集，所以不具有性质 . 37 （2）集合具有性质，若，求：集合 最多有几个元素？ [答案] 由题意可知,集合的元素构成有序实数对,,,，共有 个. 因为，所以 . 又因为时，，所以时， ， 所以集合的元素个数不超过 . 不妨取,2, ,，此时中元素的个数为 ， 故 中元素的个数最多为4 950. 38 （3）试判断：“集合具有性质”是“ ”的什么条件，请说明理由. [答案] 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质 时， ①对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，所以 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是 中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 39 ②对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，则 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 由①②可知 . 若,1,2,，则,,,,,, ， ,,,,,, ， 满足，而集合不具有性质 . 所以“集合具有性质”是“ ”的充分不必要条件. 40 规律方法 新定义问题的方法和技巧 （1）可通过举例的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息的理解较 为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，那么要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情 况下可以使用书上的概念. 41 $$