第一章 预备知识 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 1 第一章高考强化 刷真题 2 1.［课标全国Ⅲ理2020·1，5分］已知集合,,， , 则 中元素的个数为( ) C A.2 B.3 C.4 D.6 考点1 集合中的元素个数 3 解析 依题意的元素是直线上满足,且的点，即点, , ， .故选C. 考点1 集合中的元素个数 4 2.［浙江2020·10，4分］设集合，，，，，中至少有2个元素，且， 满足： ①对于任意的，，若，则；②对于任意的，，若，则 ．下列 命题正确的是( ) A A.若有4个元素，则有7个元素 B.若有4个元素，则 有6个元素 C.若有3个元素，则有5个元素 D.若有3个元素，则 有4个元素 考点1 集合中的元素个数 5 解析 若中有3个元素,不妨设,, ， 则由条件①得,,,由条件②得,, , 在，，中显然 最大.分两种情况讨论： 当时，，，,若，则有，与题设矛盾，，即 ，此 时,,，,,，,,,,有4个元素；当时，，若 ， 则,,与题设矛盾，,,,此时,,,,, , , ,或,,,或,,,,,,,, ，有5个元素或 ,,, ,,,有6个元素， 当中有3个元素时， 有4个或5个或6个元素，故 C，D错误. 考点1 集合中的元素个数 6 若中有4个元素，不妨设,,, ， 则由条件①可得,,,,,，由条件②可得,,,,,,,,显然最大，而,, 分 别对应从小到大的3个元素，中只有4个元素， 必有,,, ,由此可得 ,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,有7个元素, 当中有4个元素时， 有7个元素.故选A. 考点1 集合中的元素个数 规律方法 “新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据 此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理 解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”， 掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 考点1 集合中的元素个数 8 3.［全国新课标Ⅱ2023·2，5分］设集合,,,,,若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 考点2 集合之间的关系 9 解析 由题意知.当时,即,此时,,, ,不 符合题意.当 时,即 ,此时,,,,,满足,所以 ,故选B. 考点2 集合之间的关系 10 4.［全国新课标Ⅰ2024·1，5分］已知集合,,,0,2,,则 ( ) A A., B. C.,, D.,0, 考点3 集合之间的运算 11 解析 由题意可知，，，，所以， .故选A. 考点3 集合之间的运算 12 多种解法 由题意知，又,,0,2,,则, ，故选A. 考点3 集合之间的运算 13 5.［北京2024·1，4分］已知集合,，则 ( ) C A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 14 解析 因为集合，,所以 .故选C. 考点3 集合之间的运算 15 6.［全国甲理2024·2，5分］已知集合,,则 ( ) D A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 16 解析 ,, ， ，故选D. 考点3 集合之间的运算 17 7.［全国乙理2022·1,5分］设全集，2，3，4，，集合满足， ,则( ) A A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 18 解析 因为，，则2,4, ，故选A. 考点3 集合之间的运算 19 8.［全国乙理2023·2，5分］设全集，集合， ，则 ( ) A A. B. C. D. 考点3 集合之间的运算 20 解析 因为,,所以, , ,或,所以 , ,或,或 ,故选A. 考点3 集合之间的运算 21 9.［全国甲理2023·1，5分］设全集，集合,, , },则 ( ) A A.,} B., } C.,} D. 考点3 集合之间的运算 22 解析 因为或或,},所以, },故 选A. 考点3 集合之间的运算 23 10.［天津2023·2，5分］已知,,则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点4 充要条件的判定 24 解析 依题意可知,若,则或.当时,；当 时, .若,即,则,所以.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 考点4 充要条件的判定 25 11.［全国新课标Ⅱ2024·2，5分］已知命题,;命题, .则( ) B A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和 都是真命题 考点5 全称量词命题与存在量词命题 26 解析 对于命题，当时，，所以是假命题，是真命题.对于命题 ,若 ,则,0,1，所以满足“,”，故是真命题， 是假命题，故选B. 考点5 全称量词命题与存在量词命题 27 12.［课标全国Ⅰ理2019·4,5分］古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例 ，著名的“断臂维纳斯” 便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人 满足上述两个黄金分割比例，且腿长为,头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高 可能是( ) B A. B. C. D. 考点6 不等式的性质与应用 28 解析 如图，设“某人”头顶至肚脐的长度为,肚脐至足底的长度为 ， 头顶至咽喉的长度为，咽喉至肚脐的长度为.则 , ,, . 设“某人”的身高为，即 . 由解得 , 由解得 ， 所以,即 . 解得 . 整理可得 ， 即 ， 结合选项可知其身高可能是 ，故选B. 考点6 不等式的性质与应用 29 多种解法 若以26为头顶到咽喉的长度，则身高为 . 若以105为肚脐到足底的长度，则身高为 . 结合选项可知其身高可能是 ，故选B. 考点6 不等式的性质与应用 30 13.（多选）［全国新高考Ⅱ2022·12,5分］若,满足 ,则( ) BC A. B. C. D. 考点7 基本不等式的应用 31 思路导引 对于A，B：由条件，得，将 代入 利用放缩法可求得 的范围； 对于C：由条件，得 利用基本不等式求解即可; 对于D:取特殊值验证即可. 考点7 基本不等式的应用 32 解析 对于A，B：由，得，而 ，所以 ，即，所以 ，所以A 不正确，B正确； 对于C，由，得，当且仅当 时等号成立，所 以，所以C正确;当，时,，所以D不正确.故选 . 考点7 基本不等式的应用 33 二级结论 双配方的应用，常有两种形式：与 . 多种解法 由基本不等式（当且仅当时等号成立）,得 ， 即 . 则 , 所以 ,A错误，B正确. ,C正确. 当,时， ,D错误. 故选 . 考点7 基本不等式的应用 34 14.［天津2021·13，5分］若,，则 的最小值为_____. 解析 ,,,当且仅当且 , 即时等号成立，所以的最小值为 . 考点7 基本不等式的应用 35 15.［全国甲理2024·23，节选］已知实数,满足 . 证明： . 【证明】因为 ，所以 . 考点7 基本不等式的应用 36 16.［全国新课标Ⅰ2023·1，5分］已知集合,,0,1,, ，则 ( ) C A.,,0, B. C. D. 考点8 一元二次不等式及其应用 37 解析 由,得或,则或,,0,1, , ,故选C. 考点8 一元二次不等式及其应用 38 1 第一章高考强化 刷原创 39 1.已知“”表示正整数被质数除的余数为.已知质数 不整除正 整数，若,2, ,，, ，则( ) C A.且被除余1 B.且被除余 C.且被除余1 D.且被除余 40 解析 先证集合有个元素.假设中不是个元素，则其中至少有两个元素被质数 除的余数相同，设为，则,,,,,则 , ,故,由不整除知,能被整除,又 , ,则必有,矛盾，故集合中的元素互异,共有个.因为,否则, 中必存 在一个能被整除,矛盾，故,2, ,,所以.由, 可得, 与被除的余数相同,即 与 被除的余数相同,而被 除的余数唯一且不为0,所以 ,即被 除余1.故选C. 41 2.已知全集，集合满足：，且当时必有，则 ___. 解析 若为的真子集,则为由部分正整数组成的非空集合,故中存在最小元素 ,故 ,从而,于是,因为,若,由的性质可知 ,这与 矛盾,所以,但这又与是中的最小元素矛盾，所以不是 的真子 集,即, . 42 3.若一个正整数各数位上的数字从左到右依次递增或递减，则称此数为“好数”，如7是一位 “好数”，12与21是两位“好数” ，则所有的“好数”有________个. 1 524 解析 由题意可知,“好数”的各数位上的数字各不相同.构造集合 与集合 ,取的一个元子集,将这 个元素从高数位到低数位 按从大到小的顺序排列,则形成一个位“好数”,因为 ,所以这样从左到右依次递减的“好数” 有个；同理取的一个元子集,将这 个元素从高数位到低数位按 从小到大的顺序排列,形成一个位“好数”,于是递增的“好数”有个.又, 公共的1元 子集,, ,算了2次,所以 符合要求的“好数”共有 （个）. 43 4.已知集合,, ,,,, ,，, .若元素 ，,,2, ,5，且， 的各元素之和为256，则 集合 ___________________________. 或 44 解析 因为,,2, ,5,则,又,故.由 知, ,则,即或 . 因为,若,则,由知,存在使且 ,显然不成立； 若,则,存在使,则 . 由于的各元素之和为256,则,又,故 . （1）当时,则,因为的各元素之和为256,所以,解得 . （2）当时,则,3,,9,,,9,,81,,故 . 又,故,则 . 若,则 ,无正整数解； 若,则,解得 . 综上所述,或 . 45 $$