第一章 专题1 集合的综合问题-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 1 专题1 集合的综合问题 刷难关 2 1.（多选）［福建福州十校2025高一期中联考］已知全集,， ， ，，， ，则下列选项正确的是 ( ) BC A. B. C. D. 的真子集个数为8 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 3 解析 因为,，所以 . 因为，所以1,,1, . 因为，所以3,7,,3,7, . 又，所以, . 综上，画出 图如图. 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 4 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，的真子集个数为，故D错误.故选 . 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 5 2.［浙江杭州学军中学2025高一期中］已知集合, . （1）若，求 . 【解】当时，，则 ，则 . 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 6 （2）从；； 这三个条件中任选一个，补充在下面 的横线上，并进行解答. 问题：若____，求实数 的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 7 [答案] 若选①，，可得，则 ,即 . 当时，，由，可得 ，此时无解； 当时，，由，可得，解得 . 综上，实数的取值范围为 . 若选②，因为或，，则 ,即 . 当时，，需使 ，此时无解； 当时，，需使，解得 . 综上，实数的取值范围为 . 若选③，因为 ，所以,则 ，即 . 当时，，需使 ，此时无解； 当时，，需使，解得 . 综上，实数的取值范围为 . 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 规律方法 处理“已知集合间的关系和运算结果求参数”问题的策略 （1）善于转化：, ； （2）利用 图处理离散型的集合问题,利用数轴处理连续数集型的集合问题； （3）注意数集端点值能否取到,集合是否为空集的讨论. 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 9 3.［河南部分重点中学2024高一联考］已知集合， ，全集 . （1）求 ； 【解】因为,,所以或 . 又因为,所以或或 . 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 10 （2）若,且，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）可知或 , 当 时,成立,此时,解得 ； 当 时,因为 , 所以或 解得 . 故实数的取值范围是或 . 题型1 已知集合间的关系和运算结果求参数 11 4.对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当， 都为正偶数或都为正奇数时， ；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时， .在此定义下，集合 中的元素个数是( ) B A.10 B.9 C.8 D.7 题型2 集合中的新定义问题 12 解析 ①当,都为正偶数时,符合条件的有,, ,共3个； ②当,都为正奇数时,符合条件的有,,, ,共4个； ③当,中一个为正偶数,一个为正奇数时,符合条件的有,,共2个.所以集合 的元 素个数是 .故选B. 题型2 集合中的新定义问题 13 5.（多选）［广西南宁2025高一联考］大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会 出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优 化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.已知两个集合和，用中元素为第一元素， 中元素 为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做与 的笛卡尔积，又称直积，记为 ，即且.关于任意非空集合,, ，下列说法错误的是( ) ABC A. B. C. D. 题型2 集合中的新定义问题 14 解析 对于A，若,，则,,, ,所以 ，故A错误； 对于B，若,, ， 则,，而 ,所以 ，故B错误； 对于C，若,,，则, ， ,,所以 ，故C错误； 对于D，任取元素，则且，则且 ， 于是且，即 ， 反之若任取元素 ， 则且 ， 因此，且，即且 ， 所以，即，故D正确.故选 . 题型2 集合中的新定义问题 15 规律方法 集合新定义问题的处理策略 （1）对集合新定义的理解，可以通过简单例子及反例，从特殊到一般来理解； （2）把新定义运算转化为熟悉的交、并、补运算； （3）利用 图或数轴将抽象变形象，寻找突破点. 题型2 集合中的新定义问题 16 6.定义差集，且，现有三个集合，， 分别用圆表示，则集合 用阴影部分表示正确的为( ) A A. B. C. D. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 17 解析 如图所示,表示图中阴影部分,故集合所含元素属于 ,但不属于图中阴影 部分,故选A. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 18 7.［山东德州一中2025高一月考］某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有70人听了数 学讲座，62人听了历史讲座，58人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生， 是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合 中元素的 个数，若，，， ，则( ) B A. B. C. D. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 19 解析 A选项，由已知 ，得 ，A错误； B选项， ，B正确； C选项， ，C错误； D选项， ，D错误.故选B. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 20 8.［重庆巴渝学校2025高一期中］已知集合 , ，记非空集合的元素个数为 ，已知 ，记实数的所有可能取值构成的集合为，则 的非空子集的个数是____. 31 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 21 解析 对于，有 ， 所以集合中有两个元素，即 . 因为，所以 或3. 对于，易知 必是方程的一个解. 当时，，所以有两个相等的实数根，且 无解， 则解得 . 当时，若有两个相等的实数根，由上述分析可知 无解，不 满足题意. 若有两个不相等的实数根，即, ,则 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 22 有两个相等且异于方程的根，则 解得 或1,经检验均满足题意； 有两个不等的实数根，且其中一根也是的根，则 是方程 的根，代入得,此时方程的判别式 ,方程 的判别式 ，满足题意. 综上，实数的所有可能取值为,,0,1,，则 ， 经检验，均符合题意. 所以的非空子集的个数为 . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 9.已知集合,,甲、乙两名同学在进行 的运 算时，甲看错了，解得;乙看错了，解得 . （1）求实数, 的值; 【解】将代入,得,解得 . 将代入,得,解得,所以, . （2）求集合 . [答案] 由（1）知解得 所以 . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 24 10.［北京东城区2025高一期末］已知集合,,,,,中都至少有3个元素，且， 满足： ,，且，总有 ； ,，且，总有 . （1）若集合，直接写出所有满足条件的集合 . 【解】因为，又,，且，总有 ， 所以,，即, . 设,,，由,，且，总有 ， 可得,且 ， 所以或或 ， 但， ， 所以满足条件的集合有，,1,，,0,1,，,1, . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 25 （2）已知 ， （ⅰ）若,，且，求证： . 【证明】已知，,，， ， 由①知，， ， 由②知， . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 26 （ⅱ）求证： . [答案] 因为中至少有3个元素， ， 不妨设,,，其中，,, 是互为不相等的整数， 则,,，且 ， 所以中至少存在两个正整数，则不妨设,，,，，又 ， 由①知，，， ， 由②知，， ， 故由,，，,，，可推出, ， 同理由,可推出, ， 由,，可推出,， ， 因此所有大于或等于的正整数，都属于 . 因为,,, , ， 由（ⅰ）知，，， ， . 综上，任意的正整数都属于，所以 . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 27 11.［福建漳州一中2025高一月考］已知非空实数集,满足：若，则;若 ，则 . （1）若，直接写出 中一定包含的元素； 【解】由题意可得,，则，于是，则，则 ，则 ，则 ， 所以中一定包含的元素为3,,, . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 28 （2）若由三个元素组成，且所有元素之和为，求 ； [答案] 令，则,, , 因为，，都可化为,，则 无解， 故,,为 中的三个元素. 因为所有元素之和为 ， 所以 ， 整理得 ， 即 ， 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 29 解得或或 ， 所以 . 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 （3）若由2 024个元素组成，求 的元素个数的最大值. [答案] 若，则，，， ， 而，，,，， 均无解, 所以数集以的形式出现,即4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，0, , . 由（2）知数集以的形式出现,即3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，0, , 于是数集,的元素个数分别是4和3的倍数，且当时，，, , ,, , 而4和3互素，因此数集, 中各组最多只能有1个公共元素. 设集合中共有个元素，满足是4的正整数倍，其中有个元素在中，满足 ， 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 31 由以上分析知，这个元素在集合中归属于不同组内，则集合中有个元素，同时在 内还有 个元素，并满足是3的整数倍， ， 则 ， 解得，当时，符合条件的整数, ， 所以 的元素个数的最大值是674. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 思路导引（1）由数集的属性求出 中一定包含的元素； （2）令，求出中的3个元素，然后根据所有元素之和求出值，得数集 ； （3）求出数集中元素组成形式，结合,中元素个数的特点，讨论求出 的元素个数的 最大值. 题型3 直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 33 $$