第一章 §4-4.3 一元二次不等式的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 一元二次函数与一元二次不等式 2 §4 4.3 一元二次不等式的应用 刷基础 3 1.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位： ）之间 有如下关系：，在一次交通事故中，测得一辆这种车刹车距离大于 ，则这辆 汽车刹车前的车速至少为（精确到 ）( ) B A. B. C. D. 题型 一元二次不等式的实际应用 4 解析 设这辆汽车刹车前的车速为 ， 根据题意有 ， 移项整理得，，解得 ． 所以这辆汽车刹车前的速度至少为 ，故选B. 题型 一元二次不等式的实际应用 5 2.［广东佛山多校2024高一期中联考］某市有块三角形荒地，如图所示， , 米，现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中,,点分别在线段 , ,上.若要求绿地的面积不少于7 500平方米，则 的长度（单位：米）范围是( ) B A. B. C. D. 题型 一元二次不等式的实际应用 6 解析 在中, ,, 为等腰直角三角形, 设米,则米, 米, 依题意有,解得.即 的长度（单位：米）范围是 . 故选B. 题型 一元二次不等式的实际应用 7 3.［山东泰安2025高一期中］国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某 种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征 税元（称为税率），则每年的产销量将减少 万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税不 少于112万元，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型 一元二次不等式的实际应用 8 解析 设产品销量为每年万瓶，则销售收入每年万元，从中征收的附加税为 万元， 其中.由题意得，整理得 ，解得 .故选A. 题型 一元二次不等式的实际应用 9 归纳总结 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 ①理解题意，搞清量与量之间的关系； ②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 题型 一元二次不等式的实际应用 10 4.［陕西部分学校2024高一联考］某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租 价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高 元 ，则被租出的礼服会减少 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超 过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( ) C A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 题型 一元二次不等式的实际应用 11 解析 依题意,每天有 套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 （元）. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元, 所以 , 即,解得.因为且,所以 , 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C. 题型 一元二次不等式的实际应用 12 5.（多选）［江西南昌大学附中2025高一月考］为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水 补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则 的可能取值为( ) CD A.4 B.40 C.8 D.28 题型 一元二次不等式的实际应用 13 解析 第一次稀释后，药液浓度为 ， 第二次稀释后，药液浓度为 ， 依题意有，即，解得 ， 又，即，所以.故选 . 题型 一元二次不等式的实际应用 14 6.［浙江杭州杭师大附中2025高一期中］某公司为了竞标某一运动会的相关代言，决定对旗下的 某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原 收入，该商品每件定价最多为多少元？ 【解】设每件定价为元，依题意得 ， 整理得，解得 . 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元. 题型 一元二次不等式的实际应用 15 （2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全 面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少 应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与投入技改、宣传费用之和？并求 出此时商品的每件定价. [答案] 依题意，时，不等式 有解， 等价于时， 有解. （当且仅当 时，等号成立）， ,此时该商品的每件定价为30元. 当该商品改革后的销售量 至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入 与投入技改、宣传费用之和，此时该商品的每件定价为30元． 题型 一元二次不等式的实际应用 16 $$