第一章 §2 常用逻辑用语-2.1 必要条件与充分条件-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“必要条件与充分条件”核心知识点，通过教材例题改编和《论语》名言等实例导入，衔接集合包含关系等前后知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是运用定义法、集合法培养数学思维，结合古文实例和易错点分析提升逻辑推理能力，帮助学生用数学语言表达条件关系，教师可借助题型分类和解题策略提高教学效率。

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 常用逻辑用语 2 §2 2.1 必要条件与充分条件 刷基础 3 1.下列说法正确的是( ) D A.“”是“ ”的充分条件 B.“”是“ ”的必要条件 C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 D.“”是“ ”的充分不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 4 解析 对于A,当时,满足,但此时存在 的情况,故A错误； 对于B,等价于或,故“”是“ ”的充分不必要条件,故B错误； 对于C,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故C错误； 对于D,“”是“ ” 的充分不必要条件,故D正确. 故选D. 题型1 必要条件与充分条件的判定 5 链接教材 本题是教材第17页例3的同类试题，考查充分条件、必要条件的判断.充分条件、必要 条件、充要条件的判断方法有: （1）定义法：根据， 是否成立进行判断． （2）集合法：根据使， 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断． 题型1 必要条件与充分条件的判定 6 2.［重庆一中2025开学考试］子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自《论语·卫灵 公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 7 解析 由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立. 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选B. 题型1 必要条件与充分条件的判定 8 3.若是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，则是 的( ) B A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 9 解析 是的充分条件，；是的必要条件，；是 的充要条件， .由①③得,由②④得,是 的必要条件.故选B. 题型1 必要条件与充分条件的判定 10 4.设，是非空集合，则“”是“ ”的______条件.（填“充分”或“必要”） 必要 解析 由，，可知“”是“ ”的必要条件. 题型1 必要条件与充分条件的判定 11 5.“”是“一元二次方程 有实数解”的____________条件.（填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 充分不必要 解析 一元二次方程有实数解,即.因为 ,反 之不成立，所以“”是“一元二次方程 有实数解”的充分不必要条件. 题型1 必要条件与充分条件的判定 12 6.［河南八地市2024高一期中］已知为全集，集合，为的两个子集，则“ ”的充要 条件是( ) A A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 13 解析 因为,则, 间的关系如图, 或 . 由图可知B,C,D错误,A正确.故选A. 题型2 必要条件与充分条件的探求 14 规律方法 探求“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”的策略 ①寻找充要条件：只需要找一个等价条件或者求一个与已知条件对应集合相等的集合即可； ②寻找充分不必要条件：就是找一个已知条件对应集合的真子集； ③寻找必要不充分条件：就是找一个比已知条件对应集合“更大”的集合. 题型2 必要条件与充分条件的探求 15 7.［江西上饶一中2025高一月考］若，，则“ ”的一个充分不必要条件可以是( ) D A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 16 解析 对于A，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，由，取,，则，由，取,，则 ， 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，因为，所以，即，当时，取, ，则 ， 所以“”是“ ”的一个充分不必要条件，D正确. 故选D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 17 8.（多选）［安徽马鞍山二中2025高一月考］“关于的方程 至多有一个实数根” 的必要条件可以是( ) ABC A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 18 解析 因为方程 至多有一个实数根， 所以方程的判别式，即，解得 . 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项A,B,C，故选 . 题型2 必要条件与充分条件的探求 19 9.（多选）设计如图所示的四个电路图，若开关闭合,灯泡亮，则是 的充要条件的电 路图是( ) BD A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 20 解析 由题知，电路图A中，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮开关不一定闭合，故A中是 的 充分不必要条件；电路图B中，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关一定闭合，故B中 是 的充要条件；电路图C中，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮则开关一定闭合，故C中是 的必要不充分条件；电路图D中，开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，则一定有开关闭合，故D中 是的充要条件.故选 . 题型2 必要条件与充分条件的探求 21 10.下列不等式：；；；； .其中可以 作为 的充分不必要条件的所有序号为______. ②③ 解析 由，解得 . 对于①，是 的必要不充分条件; 对于②，是 的充分不必要条件; 对于③，是 的充分不必要条件; 对于④，是 的充要条件; 对于⑤，是 的必要不充分条件.故选②③. 题型2 必要条件与充分条件的探求 22 11.［湖南名校联合体2024高一期中］设；，若是 的充分不必要条 件，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 必要条件与充分条件的应用 23 解析 若是的充分不必要条件,则且等号不同时成立,解得 .故选A. 题型3 必要条件与充分条件的应用 24 规律方法 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤 （1）记集合， . （2）根据与的关系确定集合与 的包含关系： 是的充分条件，则有；是的充分不必要条件，则有 ； 是的必要条件，则有；是必要不充分条件，则有 ； 是的充要条件，则有 . （3）根据集合与 的包含关系建立关于参数的不等式（组）. （4）解不等式（组）求出参数的取值范围. 注意不等式端点值能否取到. 题型3 必要条件与充分条件的应用 25 12.已知，，若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 必要条件与充分条件的应用 26 解析 因为成立的一个充分不必要条件是，所以．当，即 时， ，符合题意；当，即时，要使，则需，即 ， 故 ． 综上，实数的取值范围是 ． 故选B． 特别注意注意区分：是的充分不必要条件和成立的充分不必要条件是 的区别. 是的充分不必要条件，意味着且，即所对应的集合是 所对应集合的真子集； 成立的充分不必要条件是，即是的充分不必要条件，意味着且，即 所对应的集 合是 所对应集合的真子集.务必重视语句是否倒装,倒装时先转化为正常的语句结构再理解. 题型3 必要条件与充分条件的应用 27 13.［江西新余一中2024高一开学考试］已知集合， ，若 是的必要不充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为_________. ,0, 题型3 必要条件与充分条件的应用 28 解析 依题意,, . 由是的必要不充分条件,得 . 若,则 ,满足 . 当时, , 所以或 , 解得或 . 综上所述,实数的所有可能取值构成的集合为,0, . 题型3 必要条件与充分条件的应用 29 14.［广西师大附中2025高一月考］已知“方程至少有一个负实根”，若 为 真命题的一个必要不充分条件为，则实数 的取值范围是___________. 题型3 必要条件与充分条件的应用 30 解析 若“方程 至少有一个负实根”为真命题， 则当时，,则 ，符合要求； 当时，，设此时方程的两根分别为,，则, ， 因此方程 有一个正根和一个负根，符合要求； 当时，由，解得 ， 此时方程为,解得 ，符合要求, 由解得，设此时方程的两根分别为,，则 , ，此时方程 有两个不相等的负根，符合要求. 综上所述，为真命题时，的取值范围为 . 若为真命题的一个必要不充分条件为，则,解得 ， 因此实数的取值范围为 . 题型3 必要条件与充分条件的应用 31 名师点拨 含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分 离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题 的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 题型3 必要条件与充分条件的应用 32 15.［河南周口2025高一月考］已知集合或， . （1）若“”是“”成立的必要条件，求实数 的取值范围； 【解】若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得 . 所以实数的取值范围是 . （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围； [答案] 若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故 ， 解得 . 所以实数的取值范围是 . 题型3 必要条件与充分条件的应用 33 （3）若“”是“”成立的充分条件，求实数 的取值范围； [答案] 若“”是“”成立的充分条件，则是 的子集. 易知，所以 . 所以实数的取值范围是 . （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围. [答案] 若“”是“”成立的充分不必要条件，则是 的真子集. 因为，所以 . 所以实数的取值范围是 . 题型3 必要条件与充分条件的应用 34 16.甲：“实数,,满足”，乙：“实数,,满足 ”，则甲是乙的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点1 条件判定不全面而致误 35 解析 当时，实数,,满足，但此时 不成立；反过来,由 得 . 综上所述，“实数,,满足”是“实数,,满足 ”的必要不充分条件，故选A. 易错点1 条件判定不全面而致误 36 易错警示 充要条件的判断问题，若直接判断条件与结论之间的关系，则需要严格推理论证，若 考虑问题不全面，则会造成错解，如本题中若忽视了 ,则会造成错解. 易错点1 条件判定不全面而致误 37 17.（多选）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是 的必要条件， 下列命题正确的是( ) AB A.是的充要条件 B.是 的充分条件 C.是的必要不充分条件 D.是 的充分不必要条件 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 38 解析 由已知得，,，，，由此得且 ，A正确，C不正确； ，B正确；且，D不正确.故选 . 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 39 易错警示 本题是抽象的结论与条件之间的关系，求解时要注意根据多个条件与结论之间的推出 关系的传递性，厘清,,, 之间的推出关系. 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 40 18.［河北石家庄二中2025高一月考］已知的三条边为,,，求证： 是等边三角形 的充要条件是 . 【证明】必要性： ， , . 充分性： ， , ， 即，， 是等边三角形，得证. 易错点3 不能正确区分命题的条件与结论而致误 41 易错警示 一般地，证明“是的充要条件”时，证明要分两个方面:一是证充分性，即 ； 二是证必要性，即.但在证明“成立的充要条件为”时，要注意这是倒装句，即“是 成 立的充要条件”，在证充分性时应以为“已知条件”，是该步中要证明的“结论”，即 ； 证明必要性时则是以为“已知条件”，为该步中要证明的“结论”，即 . 易错点3 不能正确区分命题的条件与结论而致误 42 19.［河南郑州2025高一月考］设集合，，则是 的 真子集的一个充分不必要条件是( ) D A. B. C. D. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 43 解析 ， . 若,则 ,;若,则;若,则 .所以结合选项知， 的一个充分不必要条件是 .故选D. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 44 易错警示 解题时要注意条件属性的要求，否则易错求解为充要条件.探求充分条件、必要条件的 问题，通常是先推导出充要条件，将充要条件对应的范围扩大即得到结论的必要不充分条件，将 充要条件对应的范围缩小即得到结论的充分不必要条件，即充要条件所对应集合是必要不充分条 件所对应集合的真子集；充分不必要条件所对应集合是充要条件所对应集合的真子集. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 45 §2 2.1 必要条件与充分条件 刷提升 46 1.［山东淄博一中2025高一质量检测］“”是“ ”的( ) D A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 47 解析 由得 , 所以 . 又因为“”是“”的必要不充分条件,所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选D. 48 规律方法 判断充分条件、必要条件的关键是看条件和结论之间是否能够推出,首先可以举反例说 明推不出,如果举不出反例，那么需要证明能推出. 49 2.［上海复旦附中2025高一期中］设集合,,， , ，则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 50 解析 充分性：若，，则，不是奇数，故 不成立， 所以“”不是“ ”的充分条件. 必要性：因为，所以，故“”是“ ”的必要条件.综上， “”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 51 3.［北京北师大附中2025高一期中］我们用表示不超过的最大整数，如 ， ，则“”是“ ”的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 52 解析 当，时，满足，此时， ，即 ，所以“”不是“ ”的充分条件； 当，时，， ， 此时，，即，但 ， 所以“”不是“ ”的必要条件. 综上所述，“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故选D. 53 4.［重庆巴蜀中学2025高一月考］已知集合,, 不是 空集，若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 54 解析 由是的充分不必要条件，得是 的非空真子集， 则解得.而当时，，不符合题意，当时， ，符 合题意， 所以实数的取值范围为 .故选C. 55 5.（多选）［辽宁沈阳二中2024高一段考］下面命题为真命题的是( ) ABD A.是 的必要不充分条件 B.“”是“一元二次方程 有一正根一负根”的充要条件 C.“”是“ ”的充分不必要条件 D.“”是“ 为单元素集合”的充分不必要条件 56 解析 对于A,由不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，故 是 的必要不充分条件，A正确. 对于B,当时,方程的判别式 , 则方程有两个不相等的实根,,显然 , 即方程 有一正根一负根； 当方程有一正根一负根,时,且 ,解 得 , 因此“”是“一元二次方程 有一正根一负根”的充要条件,B正确. 对于C,当时,,因此“”不是“ ”的充分条件,C错误. 对于D,当时,方程为,解得,即 ,满足充分性, 而当时,方程为,解得,此时集合 也为单元素集合，不满足必要性,D正确. 故选 . 57 6.［河北沧衡名校2025高一期中联考］已知，，则是 的____________条件 （填“充要”“充分不必要”或“必要不充分”）. 充分不必要 58 解析 由，得，由，得 . 显然由可以推出，由推不出 ， 所以是 的充分不必要条件. 59 7.［陕西西安西工大附中2025高一月考］有限集合中元素的个数记作，设， 都为有限 集合，给出下列命题： ① 的充要条件是 ； ②的必要不充分条件可以是 ； ③的充分不必要条件可以是 ； ④的充要条件是 . 其中，是真命题的有______.（填序号） ①② 60 解析 ①若 ，则集合与无重复元素，则 ， 即 是 的充分条件； 若，则集合与无重复元素，则 ， 即 是 的必要条件. 综上所述， 的充要条件是 ，①正确. ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时 ， 即，所以是 的充分条件， 即是 的必要条件; 若，无法判断集合与集合 的关系， 即不是 的充分条件. 综上所述，的必要不充分条件可以是 ，②正确. 61 ③若，无法判断集合与集合 的关系， 即不是 的充分条件，③错误. ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明 ，④错误.故选 ①②. 8.已知关于的方程的两根均属于集合 . （1）若为真命题，求实数的取值集合 . 【解】由得 ,所以 或 . 因为 为真命题, 所以得 . 所以 . 63 （2）在（1）的条件下，设，是否存在实数，使得“ ”是“ ”的必要不充分条件?若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由. [答案] 假设存在实数,使得“”是“ ”的必要不充分条件. 由（1）得集合,集合 , 由题得是 的真子集. 当 时,,解得 ,满足题意； 当 时,或解得 . 综上,存在实数 满足条件. 64 $$