第一章 §1 集合-1.1 集合的概念与表示-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合的概念与表示，涵盖集合含义、元素特征、元素与集合关系、表示方法及空集与区间表示等核心内容。课堂导入从生活实例切入，如辨析“某校新生”“近似值”等对象是否构成集合，引导学生抽象出集合确定性、互异性特征，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续知识点。 其亮点在于精选各地质检题与分层例题，结合规律方法总结及易错点警示，如通过三角形边长互异性题培养数学思维，用描述法表示集合题提升数学语言表达能力。助力学生发展抽象能力与推理意识，教师可直接利用丰富案例与解析优化教学，提高课堂效率。

数学 必修第一册 BS 1 §1 §1 集合 2 §1 1.1 集合的概念与表示 刷基础 3 1. ［天津南开区2024注高一质量检测］ 下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有 学生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 4 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合, 故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据精确度不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能构成集 合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故③错误； 对于④：不等式 的正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确. 故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的 标准,确定任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 6 2.［湖南部分学校2025高一联考］集合,, 中的三个元素表示某一个三角形的三边长度， 那么这个三角形一定不是( ) A A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 题型1 集合的含义与元素的特征 7 解析 根据集合中元素的互异性得,, ，故这个三角形一定不是等腰三角形.故选A. 题型1 集合的含义与元素的特征 8 3.［河南南阳2025高一开学考］由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的 元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 集合的含义与元素的特征 9 解析 由题意，,,可分别化为，，，所以由实数,,,, , 所组成的集合最多可含有3个元素，分别为，，，此时且 ．故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 10 名师点拨 集合中的元素满足互异性，相同的元素只能算一个. 题型1 集合的含义与元素的特征 11 4.［安徽合肥一六八中学2025高一期中］下列关系中正确的是( ) C A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 12 解析 选项A，表示实数集，所以 ，故A错误； 选项B，表示有理数集，所以 ，故B错误； 选项C，表示整数集，所以 ，故C正确； 选项D，表示自然数集，所以 ，故D错误. 故选C. 题型2 元素与集合的关系 13 5.［吉林延边2025高一期中］若,3,4,，则 所有可能取值的集合为( ) B A. B. C.,0,3, D. 题型2 元素与集合的关系 14 解析 由,3,4,，得或或或.当时， ，不满足集合 中元素的互异性，故不符合题意；当时，，符合题意；当时， ，符 合题意；当时，得（舍去），此时 ，符合题意. 所以所有可能取值的集合为 .故选B. 题型2 元素与集合的关系 15 6.（多选）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是 ，则下列 判断正确的是( ) ACD A. B. C. D. 题型2 元素与集合的关系 16 解析 根据题意，分4种情况讨论: ①当,,全部为负数时，也为负数，则 ； ②当,,中有一个负数时，为负数，则 ； ③当,,中有两个负数时，为正数，则 ； ④当,,全部为正数时，也为正数，则 . 则,0,,分析选项可得符合．故选 . 题型2 元素与集合的关系 17 7.［江西南昌二中2025高一月考］已知非空数集满足：任意的，则，若集合 中含 有4个元素，则这四个元素之积为( ) C A. B. C.1 D.2 题型2 元素与集合的关系 18 解析 由题意可得，，则 ， 则，则 ， 则 . 故选C. 题型2 元素与集合的关系 19 8.设集合.若，则实数 的取值范围是___________. 解析 因为，所以，解得，所以实数的取值范围为 . 题型2 元素与集合的关系 20 9.［湖北孝感一中2025高一摸底］已知集合 . （1）若，求集合 （用列举法表示）； 【解】因为，所以，解得，解方程,可得 或 ，所以集合 ． （2）若中至多有一个元素，求实数 的取值范围. [答案] 当时，方程为，此时集合 ; 当时，集合中至多有一个元素,只需，即，即 . 综上所述，实数的取值范围是或 . 题型2 元素与集合的关系 21 10.已知集合，且,, }． （1）判断是否为 中的元素； 【解】因为，此时,，不满足，所以 不是集合 中的元素. （2）设，求证： ； 【证明】因为，所以 .因为 , 都是整 数，且，所以 . 题型2 元素与集合的关系 22 （3）证明：若，则 是偶数. 【证明】因为，所以.因为 ，所 以为偶数,即 为偶数. 题型2 元素与集合的关系 23 规律方法 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法:如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法:对于一些没有直接给出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的 特征即可. 题型2 元素与集合的关系 24 11.［湖南株洲二中2025高一月考］集合, }用列举法表示为( ) C A.,,0,1, B.,0,1, C. D. 题型3 集合的表示方法 25 解析 由，解得，所以, }= .故选C. 题型3 集合的表示方法 26 12.［福建泉州2025高一月考］方程组 的解集是( ) C A., B., C., D.,或, 题型3 集合的表示方法 27 解析 由解得或所以方程组的解集是, . 故选C. 题型3 集合的表示方法 28 名师点拨 此类题考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组,方程组的解是有序实数对,其解集是由 有序实数对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型3 集合的表示方法 29 13.已知集合，,，则集合 中的元素个数为( ) A A.5 B.6 C.8 D.9 题型3 集合的表示方法 30 解析 集合,,,则当时, ； 当时,或 ; 当时,或 . 所以,,0,1,,集合 中有5个元素.故选A. 题型3 集合的表示方法 31 14.选择适当的方法表示下列集合： （1）不小于1且不大于17的质数组成的集合 ； 【解】不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17，用列举法表示： . （2）所有正奇数组成的集合 ； [答案] 所有正奇数有无数个，用描述法表示：, }. （3）绝对值不大于3的所有整数组成的集合 ； [答案] 绝对值不大于3的所有整数只有,,,0,1,2,3，用列举法表示：,, , 0,1,2, . （4）直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合 . [答案] 直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示： ． 题型3 集合的表示方法 32 链接教材 本题是教材第3页例1、例2的同类试题,考查集合的表示与方法的选取.选择集合表示方 法的技巧: 如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述,宜用列举法;如果集合中的元素比较多或有无限个 元素,宜用描述法.如果集合中元素所具有的属性比较明显， 既可以用列举法，也可以用描述法.例如,大于或等于1且小于或等于5的自然数,用列举法表示为 ,用描述法表示为 . 题型3 集合的表示方法 33 15.下列四个集合中，是空集的是( ) D A. B.,, } C. D., } 题型4 空集与集合的区间表示 34 解析 , ，方程无实数解， , ，故选D. 题型4 空集与集合的区间表示 35 16.集合 表示成区间是( ) B A. B. C. D. 题型4 空集与集合的区间表示 36 解析 由得，表示成区间是 ，故选B. 题型4 空集与集合的区间表示 37 归纳总结 （1）用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭 不能弄错.（2）用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字（或字母）之间用“，”隔开. （3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. 题型4 空集与集合的区间表示 38 17.［河南新乡一中2025高一质量检测］若,,，则 ____. 解析 因为,,，所以或，解得或 . 当时，, ，此时不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，，符合题意.故 . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 39 易错警示 本题是含参数的集合问题，根据题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集 合中元素的互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 40 18.（多选）给出下列说法，其中正确的是( ) AD A.集合用列举法表示为， B.实数集可以表示为为所有实数}或{ } C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 41 解析 对于A,解,得或或,而,因此用列举法表示为 ,A正确； 对于B,符号“{}”包含“所有”“全体”等含义,而“ ”已表示所有的实数构成的集合,则实数集 可以表示为为实数}或 ,B不正确； 对于C,方程组的解是有序实数对,而 表示两个等式组成的集合,C不正确； 对于D,由得且,因此方程的所有解组成的集合为 ,D正 确.故选 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 42 易错警示 注意区分点集和数集,注意常用集合,, 等外面不需要再加大括号. 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 43 19.［湖北新高考协作体2025高一期中联考］用列举法表示集合 的结果为________ __. 解析 由可知为6的约数，所以 ,2,3,6. 又，所以,7,6,3，此时,3,2,1，因此集合 用列举法表示为 . 易错点2 不能正确理解集合的表示方法而致错 44 20.［厦门大学2024强基计划］以下数集与自然数集等势的是( ) 注：若存在从集合到集合的一一对应，则称与 等势. B A.实数集 B.整数集 C.无理数集 D.以上均是 45 解析 ，时可令对应中的,时可令对应中的 ，即可建立一一对应 关系，故整数集与自然数集等势；实数集、无理数集与自然数集之间都无法建立一一对应关系， 故选B. 46 21.［南京大学2024强基计划］集合,为120的倍数，则 的元素个数为 ____. 19 解析 由，可知, 的奇偶性相同， 又为120的倍数，所以, 均为偶数， 由，可知, 中必有一个为10的倍数， 结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为1,2,0,1,2,0, ， ①若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ②若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； 47 ③若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意， 可知，均可为10的倍数，此时 的值有2个； 且，即, ， 在1到151中，可知10的倍数有15个，30的倍数有5个，考虑到150的唯一性， 所以的元素个数为 . 特别注意为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）. 48 $$