3.2 函数与方程、 不等式之间的关系 课时1 函数的零点及函数零点存在定理-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

数学 必修第一册 RJB 1 3.2 3.2 函数与方程、 不等式之间的关系 2 3.2 课时1 函数的零点及函数零点存在定理 刷基础 3 1.［宁夏石嘴山2025月考］已知函数则 的零点个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 函数的零点 4 解析 令，当时，，解得或；当 时，,解得 . 所以 的零点个数为3.故选C. 题型1 函数的零点 5 链接教材 本题是教材第122页例6的同类试题，考查函数零点个数的判定. 确定函数零点个数的方法: （1）利用方程的根,转化为解相应的方程,方程有几个不同的根就表示对应的函数有几个零点. （2）利用函数的图象与 轴的交点的个数,从而确定零点的个数. （3）借助函数的单调性.若函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,利用 ,结合单调性可判定在 上零点的个数. （4）转化成两个函数图象的交点个数. 题型1 函数的零点 6 2.下列图象表示的函数中没有零点的是( ) A A. B. C. D. 题型1 函数的零点 7 解析 函数没有零点就是函数的图象与 轴没有交点，故选A. 题型1 函数的零点 8 3.［山东淄博2024高一月考］已知函数只有一个零点，则实数 ___. 1 题型1 函数的零点 9 解析 因为 只有一个零点， 所以方程 只有一个根， 即方程 只有一个根. 若，即，当 时，无解； 当时，有一解 ； 若，即，由知，方程总有一解,又 无 解，故原方程有一解时，有且只能 . 题型1 函数的零点 10 4.关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C.， D., 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 11 解析 令，由关于的方程在区间 内有两个不 等实根可知,函数在区间 内有两个零点， 则解得 ，故选C． 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 12 5.［江西南昌2025高一月考］若不等式的解集为 ，则函数 的零点为( ) D A.和 B.和 C.2和 D. 和3 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 13 解析 因为的解集为 , 所以方程的两根分别为和2,且 , 则解得 故函数,即,即 , 则其图象与轴的交点的坐标为和,所以零点为 和3.故选D. 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 14 6.［安徽黄山屯溪一中2025高一月考］关于的方程 的两根分别 在区间和内，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 15 解析 令，由题意可知即 解得 或 ，故选B. 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 16 7.已知二次函数 满足如表所给对应关系： 1 2 4 0 0 则不等式 的解集为______． 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 17 解析 设函数，由题表中数据知1和4是方程 的两根. 又，故此二次函数的图象开口向上，并且与轴交于两点和 ，所以不等 式的解集为 ． 题型2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 18 8.［甘肃白银多校2025高一期末联考］已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，，，，，则在下列区间中，一定包含 零点的区 间是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数零点存在定理 19 解析 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， ， ，，所以由函数零点存在定理可知一定包含零点的区间是 . 故选C. 题型3 函数零点存在定理 20 9.［北京第四中学2025高一期中］函数在区间 内的零点个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 函数零点存在定理 21 解析 由在上单调递增，且 ，所以函数在区 间 内的零点个数是1.故选B. 题型3 函数零点存在定理 22 10.若，则函数 的两个零点分 别位于区间( ) A A.和内 B.和 内 C.和内 D.和 内 题型3 函数零点存在定理 23 解析 ,，所以 内有零点，排除B，D选项. 当时， 恒成立，没有零点，排除C选项.故选A. 题型3 函数零点存在定理 24 规律方法 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有 ，那么函数 在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程 的根. 注意以下几点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点； ③由函数在闭区间上有零点不一定能推出 ，如图所 示. 所以若在上的图象是连续不断的一条曲线，则 是 在区间 上有零点的充分不必要条件. 题型3 函数零点存在定理 25 11.已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程 只有一个解，则 实数 的值是 ( ) C A. B. C. D. 题型4 函数零点的应用 26 解析 已知，由 为奇函数得 ，由题可知方程 有唯一解，即 有唯一解. 又，， . 题型4 函数零点的应用 27 12.（多选）［浙江绍兴2025高一期末］设函数若 ，且 ，则( ) BCD A. B. C. D. 题型4 函数零点的应用 28 解析 作出函数 的大致图象，如图所示， 由图可知，，由知，，即 ，则 ，则 ，故A错误，B正确； 由，得，所以 ，故C正确；所以 ，故D正确.故选 . 题型4 函数零点的应用 29 13.（多选）［云南昆明2025高一期末］已知函数 恰有两个零点 , ，则下列结论正确的是( ) ABD A. B.方程的解集为, C.不等式的解集为 D.，，，的大小关系是 题型4 函数零点的应用 30 解析 对于A，因为,是函数 的两个零点，所以 ，故A正确； 对于B，方程或 ，所以方程 的解集为, ，故B正确； 对于C，因为函数恰有两个零点, ，所以 ，所以不等式 的解集为 ，故C错误； 对于D，先画的图象，再将 的图象向下平 移一个单位长度得到 的图象，如图所示， 由图可知，故D正确.故选 . 题型4 函数零点的应用 31 14.［辽宁沈阳实验中学2024高一期中］已知函数的定义域为 ，且 为奇函数，当时，，则 的所有零点之和为( ) A A. B. C. D.0 题型4 函数零点的应用 32 解析 因为为奇函数,所以的图象关于点对称,则的图象关于点 对称,即,当时,,当时, ,则 ,所以 则 令,则或 解得或,所以 .故选A. 题型4 函数零点的应用 33 15.若函数有四个零点，则实数 的取值范围是______． 解析 令，得，作出函数 的图象，则由图象可知，要 使方程有四个不相等的实根，则 . 题型4 函数零点的应用 34 16.［山东德州一中2024期末］设函数若关于的方程 有三个不等 实根,,，则 的取值范围是_ ______. 题型4 函数零点的应用 35 解析 画出函数的图象如图所示，结合图形可知，当且仅当时，方程 有 三个不等实根， 分别对应直线与 图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设 ， 显然,关于直线对称，故 . 另一个交点位于一次函数图象上，令，解得，令,解得 ,故 ，所以 . 题型4 函数零点的应用 36 17.已知函数 有两个不同的零点. （1）若其中一个零点在区间上，求实数 的取值范围； 【解】因为函数有两个不同的零点，所以，即 ，所以 . 令，得，，所以 . 故实数的取值范围是 . （2）若函数的两个不同的零点是，，求 的最小值. [答案] 由一元二次方程根与系数的关系可得, ，所以 ，由（1）得，故当 时， 有最小值4，即 的最小值为4. 题型4 函数零点的应用 37 18.函数 的零点是( ) C A. B. C.4 D.8 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 38 解析 由得，所以函数 的零点是4，故选C. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 39 易错警示 函数的零点不是一个点的坐标，而是函数解析式对应方程的根（或函数图象与 轴交点的横坐 标），因此本题应选C而不是选B. 易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错 40 19.已知函数，“函数在上有两个零点”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点2 忽略二次项系数的讨论而致错 41 解析 ①当时，在 上无零点; ②当时，则解得 ; ③当时，则 此时无解. 综上所述，当在上有两个零点时， . ， “函数在上有两个零点”是“ ”的充分不必要条件．故 选A． 易错点2 忽略二次项系数的讨论而致错 42 易错警示 若二次项系数含参数，首先要讨论二次项系数是不是0，确定了二次项系数，才能确定方程的次 数，从而确定对应的解法. 易错点2 忽略二次项系数的讨论而致错 43 20.［广东广州华师大附中2025高一月考］若函数在 内恰有一个零点， 则实数 的取值范围是______________. 解析 当时，，解得 ，符合题意. 当时，令，则 . 当，即时，，零点为 ，符合题意. 当，即时，若，解得，且 ，符合 题意. 若，则，此时方程的另一根为 ，符合题意. 若，则，此时方程的另一根为 ，符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 . 易错点2 忽略二次项系数的讨论而致错 44 21.已知当时，函数恒有零点，求实数 的取值范围. 【解】（1）当时，由，得，此时 ； （2）当时，令，即 恒有解， 即恒成立，即 恒成立，则 ，解得 . 综上，当，函数恒有零点时，实数的取值范围是 . 易错点2 忽略二次项系数的讨论而致错 45 $$