3.1.2 函数的单调性 课时1 函数的单调性-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

数学 必修第一册 RJB 1 3.1.2 3.1.2 函数的单调性 2 3.1.2 课时1 函数的单调性 刷基础 3 1.［江苏苏州2025高一月考］下列说法正确的是( ) C A.所有的函数在其定义域上都具有单调性 B.若函数在区间上单调递减，则函数的单调递减区间是 C.若函数为上的减函数，则 D.若函数在定义域上有，则函数 是增函数 题型1 单调性定义的理解 4 解析 对于A,函数在其定义域 上不具有单调性，故A错误； 对于B,函数在区间上单调递减，但的单调递减区间是 ，故B错误； 对于C，函数为上的减函数，因为，所以 ，故C正确； 对于D，函数，,，满足，但 在上单调递增，在 上单调递减， 所以在其定义域 上不是增函数，故D错误.故选C. 题型1 单调性定义的理解 5 2.（多选）［黑龙江牡丹江2025高一期末］函数是上的减函数，且 ， 则下列选项正确的是( ) ABC A. B. C. D. 题型1 单调性定义的理解 6 解析 A,B选项,是上的减函数,且,故 ,则 ,A,B正确； C,D选项,因为,,所以, ,C正 确,D错误.故选 . 题型1 单调性定义的理解 7 3.［北京人大附中2024高一期中］“函数在区间 上不是增函数”的一个充要条件是 ( ) B A.“存在，，使得且 ” B.“存在，，使得且 ” C.“存在，使得 ” D.“存在，使得 ” 题型1 单调性定义的理解 8 解析 若函数在区间上是增函数,即任意,,使得且 ,则若函数 在区间上不是增函数,即存在,,使得且 .故选B. 题型1 单调性定义的理解 9 4.如图是函数的图象，其定义域为，则函数 的单调递减区间 是( ) C A. B. C., D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 10 解析 若函数单调递减,则对应图象呈下降趋势,则由题图知,的单调递减区间为 , ,故选C. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 11 特别注意 解题时需注意单调区间不能用“ ”连接. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 12 5.（多选）［陕西咸阳高新一中2024高一质量检测］下列函数中，在区间 上单调递增的 是( ) ABC A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 13 解析 作出,,,的图象如图所示,则由函数的图象知, , 在上单调递增,在上单调递减.故选 . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 14 6.［河北承德2025高一月考］函数 的单调递减区间为( ) B A. B. C. D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 15 解析 作出函数 的大致图象，如图所示，由图可 知函数的单调递减区间为 .故选B. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 16 7.［辽宁省实验中学2025高一期中］设函数为 上的增函数，则下列结论正确的是( ) D A.在上为增函数 B.在 上为减函数 C.在上为增函数 D.在 上为减函数 题型2 确定函数的单调区间及单调性 17 解析 由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是 ，故排除B； ，在上不是单调函数，且函数 的定义域不是 ，故排除 A,C； 若函数在上为增函数，则在 上为减函数，D正确.故选D. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 18 8.函数 的单调递减区间是_ _____________. , 解析 当或时,,图象的对称轴方程为 , 当时,,图象的对称轴方程为 , 作出 的图象如图所示, 由图可知,的单调递减区间为, . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 19 9.［山东曲阜部分学校2025高一质量检测］已知函数且经过, 两点. （1）求函数 的解析式； 【解】将点,的坐标代入解析式得 解得故 . 题型2 确定函数的单调区间及单调性 20 （2）利用单调性的定义证明：在 上单调递增. 【证明】任取,,且 ， 则 ， 因为,,，所以, ， 故 ， 故，所以在 上单调递增. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 21 规律方法 利用定义判断函数单调性的步骤 （1）在定义域内任取 . （2）计算 并化简整理. （3）判断 的正负. （4）得出结论,若,则单调递增；若,则 单调递减. 题型2 确定函数的单调区间及单调性 22 10.［广东广州华南师大附中2025高一期中］函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 23 解析 函数的定义域为，且当 时，因为函数 ，在上都单调递减，所以函数在 上单调递减. 当时，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在 上单调 递增，故符合函数 的图象为B选项中的图象.故选B. 题型3 函数单调性的应用 24 规律方法 根据函数解析式判断函数图象的一般方法 （1）验证定义域； （2）验证特殊值； （3）验证单调性； （4）验证奇偶性（后续会学习）. 题型3 函数单调性的应用 25 11.［宁夏银川一中2025高一期中］函数为定义在上的减函数，若 ，则( ) C A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 26 解析 是定义在上的减函数，，与的大小关系不能确定，从而, 的 大小关系不确定，故A错误. ，当或时，；当时，，故, 的大 小关系不确定，故B错误. ，， ，故C正确. ，当或时， ；当 时，，故, 的大小关系不确定，D错误.故选C. 题型3 函数单调性的应用 27 12.［湖北孝感2024高一期中］若函数与在区间 上都单调递 减，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 28 解析 由题意,函数的图象对应的抛物线开口向下,对称轴为直线,故 在 上单调递减, 若在区间上单调递减,则,解得 . 函数,若在区间上单调递减,则 ,且 或,即或 . 综上,实数的取值范围是 ,故选A. 题型3 函数单调性的应用 29 归纳总结 含参数的单调性问题,应先分析函数的单调性情况,求出函数的单调区间,再结合题中给出的函数的 单调性信息,转化为区间的包含关系,最后由区间的包含关系得到关于参数的不等式（或不等式组） 进行求解. 注意根据二次函数在某一区间上单调性求参数的范围时,利用二次函数图象的对称轴在区间外部或 端点处列不等式求解. 题型3 函数单调性的应用 30 13.［福建泉州2025高一段考］已知函数，则不等式 的 解集为( ) C A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 31 解析 函数，由 解得，则的定义域为 . 因为是增函数， 也是增函数， 所以是 上的增函数， 由不等式得解得 ，故选C. 题型3 函数单调性的应用 32 规律方法 利用函数的单调性,脱去不等式中的“ ”,转化为关于自变量的不等式,例如对于一个增函数,若有 ,则能得到；对于一个减函数,若有,则能得到 .然后通过 解这个相对简单的不等式来解决问题,同时注意定义域的限制. 题型3 函数单调性的应用 33 14.若函数在上单调递减，在上单调递增，则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 函数单调性的应用 34 解析 函数根据反比例函数的性质可得在区间 上单调递减,要 使函数在区间上单调递减,则 . 由在上单调递增,得,解得.故实数的取值范围是 .故 选D. 题型3 函数单调性的应用 35 15.［河南洛阳一高2025摸底］已知定义在上的函数满足 , ，且当时，，则不等式 的解集为( ) B A.或 B.或 C. D. 题型3 函数单调性的应用 36 解析 已知, ， 令，则 ， 令,，则 . 令,，且，则 ， 整理得 ， 因为，所以，可得 ， 所以，即 ， 可知在 上单调递增. 又，即 ， 可得，即 ， 结合在定义域上单调递增，可得，解得或 ， 所以不等式的解集为或 .故选B. 题型3 函数单调性的应用 37 16.［安徽皖江名校2025高一联考］定义在上的函数满足：①当时， ； ②对任意实数，都有 . （1）证明：当时， ； 【证明】令，则，所以 . 当时，，则 ， 在 中， 令，则，所以 . 题型3 函数单调性的应用 38 （2）判断在 上的单调性； 【解】设，则，所以 ， 于是 ， 故在 上单调递增. （3）解不等式 . 【解】由题意知，原不等式等价于 , 由（2）知，在上单调递增，可得，且, ，解 得 . 故原不等式的解集是 . 题型3 函数单调性的应用 39 17.若函数在上单调递减，则实数 的取值范围是_ _____. 解析 当时,,显然此函数在 上单调递减； 当时,函数图象的对称轴为直线,要使函数在 上单调递减, 只需满足解得 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 40 易错警示 形如型函数的单调性问题,由于 的值不确定,因此函数不一定是二次函数,要对 的取值进行分类讨论.本题的易错之处是忽视二次项系数为0的情况. 易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错 41 18.［四川眉山2025高一期中联考］已知函数在 上单调递 增，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 42 解析 当时，，函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，当时， 单调递增. 当时，，又因为函数在上单调递增，当时，函数在 上单 调递增. 所以解得 .故选D. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 43 易错警示 对于分段函数在实数集 上的单调递增（减）的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相 同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则在分界点处左边函数值小于 或等于右边函数值；若函数是减函数,则在分界点处右边函数值小于或等于左边函数值,这样才能 满足在 上单调递增（减）,否则求出的参数的取值范围会出现错误. 易错点2 忽略分段函数的分界点而致错 44 $$