第二章 等式与不等式 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

本高中数学课件系统梳理了不等式与一元二次方程单元核心知识，涵盖不等式性质、解法、均值不等式应用及方程根与系数关系等内容，通过名校真题例题解析与名师点拨串联知识点，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于精选各地名校月考联考真题设计分层练习，如“糖水不等式”联系生活实际培养数学眼光，分类讨论参数范围发展数学思维，用韦达定理解决方程问题提升数学语言表达能力，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

数学 必修第一册 RJB 1 2 第二章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.［山东临沂一中2025高一选科考试］已知,，则 的最大值 是( ) D A.4 B. C. D. 3 解析 因为,所以 . 因为，且,所以 , 所以.故的最大值为 .故选D. 4 2.［广东广州广雅中学2024高一期中］下列说法错误的是( ) B A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若,，则 5 解析 因为,且,所以 ,故A正确； 当,时,满足,,此时,不满足 ,故B错误； 因为,所以,又,所以 ,故C正确； 若,,则,即 ,故D正确. 故选B. 6 3.［辽宁沈阳重点高中2024高一月考］已知方程的两根分别是和 ，且满 足，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 7 解析 因为方程的两根分别是和，所以 ，解得 或，，，因为 ，所以 ，解得，所以实数的取值范围是 ，故选C. 8 名师点拨 在本题中一元二次方程有两解，注意首先确定 ，再结合根与系数的关系进 行求解. 9 4.［福建泉州部分学校2025高一期中联考］已知不等式 的解集为 ，且不等式对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 10 解析 由题意得，一元二次方程 的两根分别为2，3， 由根与系数的关系，可得得，则不等式 ， 即对于任意的 恒成立， 等价于 或 解得或，则实数的取值范围为 .故选B. 11 5.［辽宁朝阳2025高一期末］已知集合,，若 是 的必要条件，则 的最大值为( ) D A. B. C. D. 12 解析 因为是的必要条件，所以，所以, 恒成立. 所以即又 ， 所以，当且仅当,时取等号，所以的最大值为 .故选D. 13 6.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B.或 C. D.或 14 解析 ,当且仅当 , 时等号成立. 要使得不等式有解,只需有解即可,解得或 ,故选D. 15 7.［湖北黄冈2024高一段考］已知命题“，”为真命题，则实数 的 取值范围是( ) C A. B. C. D. 16 解析 因为命题“,”为真命题,所以命题“ , ”为真命题, 所以时, . 因为,所以当时,,当且仅当 时取得等号. 所以时,,即实数的取值范围是 .故选C. 17 8.［江西南昌外国语2025月考］设实数,满足，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D.1 18 解析 因为，所以 ， 令则因为 ，所以 ，当 且仅当，即或时等号成立，所以的最小值为 .故选C. 19 9.［重庆渝北区2025高一段考］生活经验告诉我们，克糖水中有克糖,,且 ， 若再添加克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等 式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是( ) BCD A.若，，则与的大小关系随 的变化而变化 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则一定有 20 解析 对于A，，，， ，故A错误； 对于B，，，， ， 故B正确； 对于C，，，， ， ， ，故C正确； 对于D，，，， ， ，故D正确.故选 . 21 10.［东北三省六校2025高一联考］已知关于的一元二次不等式的解集为 ， 则下列说法正确的是( ) ACD A.若 ，则且 B.若，则关于的不等式的解集也为 C.若，则关于的不等式 的解集为 或 D.若,为常数，且，则的最小值为 22 解析 A选项，若 ，即一元二次不等式 无解， 则一元二次不等式恒成立，且 ，故A正确； B选项，令，则,,， 可化为 ，当时，可化为 ，其解集不等于 ，故B错误； C选项，若，则，且和2是一元二次方程 的两根， ，且，，， 关于 的不等式 可化为 ，可化为 ，，，解得或 ，即不等式 的解集为或 ，故C正确； 23 D选项，,为常数，且 ， ， ，，令，则 ， ， 当且仅当，即,，且为正数时，等号成立，所以 的最小 值为，故D正确.故选 . 11.［浙江温州部分学校2025高二期中联考］已知,，且满足 ,则下列说法 正确的是( ) ACD A.的最大值为4 B. 的最小值为2 C.的最小值为 D.的最小值为 25 解析 对于A，由,可得，即 ，即 ，解得,所以，当且仅当 时，等号成立，故A 正确； 对于B，由，可得，即 ， 解得或（舍），当且仅当时等号成立，因此 的最小值为4， 故B错误； 对于C，易知，即 ，因此 ， 当且仅当，即, 时等号成立，故C正确； 对于D，由，易得 ，所以 ， 当且仅当，即,时，等号成立，故D正确.故选 . 26 12.若关于的方程组有唯一的一组实数解，则实数 的值为______. 1或 解析 显然,联立方程可得,整理得 , 当时方程为一次方程,有唯一解,此时 ； 当时方程为二次方程,若有唯一解,则 ,可 得 . 故或 . 27 名师点拨 对于形如的方程,先讨论的情况,若，则此时为一次方程,再讨论 的情况,此时为二次方程. 28 13.若关于的不等式组的解集为，则实数 的取值范围为______. 解析 不等式组的解集为 ， 即不等式与不等式的解集均为 ， 对于不等式，若其解集为，则有，解得 ； 对于不等式，等价于，若其解集为，则有，解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 29 14.［山西太原2024高一期中］将均值不等式 推广可得正确结论 ，当且仅当 时，等号成立.利用此结论解决问题：已 知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是___ 时，旋 转形成的圆柱体积最大，其最大值是______ .（答对一空给3分） 6 解析 设矩形相邻两边的长分别为, , 则,且 , 设以长度为的边为圆柱的高,则圆柱的体积 , 当且仅当,即, 时取等号, 所以当矩形的长是时,圆柱的体积最大,为 . 30 15.（本小题满分13分）［广东广州铁一中学2025月考］已知 . （1）证明： . 【证明】因为，所以,, ， 所以，所以 . 31 （2）若，求 的最小值. 【解】因为，所以,，又 ， 所以 ， 当且仅当，即, 时等号成立， 所以的最小值是 . 32 16.（本小题满分15分）［北京首师大附中2025高一月考］已知, 是一元二次方程 的两个不相等的实数根. （1）若两根同号，求实数 的取值范围； 【解】由题意得 解得，所以实数的取值范围为 . 33 （2）求使得的值为整数的整数 的值. [答案] 由（1）知，当时，方程有两个不相等的实数根，可知, ， 于是 ， 由，可得，则，即要使的值为正整数，且为整数，则 ， 则有，化简得，则 ， 令，此时为整数，则 满足题意. 故使得的值为整数的整数 的值为1. 34 17.（本小题满分15分）［四川绵阳中学2025高一期末］如图所示，将一矩形花坛 扩建成一 个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知 米， 米. （1）要使矩形的面积大于32平方米，则 的长应在什么范围？ 35 【解】设米,米，则由与相似得 ，整理得 ， 矩形的面积，即 ， 当时，得，整理得，解得或 ， 又，所以的长的范围为 . 36 （2）当的长为多少时，矩形花坛 的面积最小？并求出最小值. [答案] 时， ， 当且仅当,即 时等号成立， 所以 ， 所以当的长为2米时，矩形花坛 的面积最小，最小值为24平方米. 37 18.（本小题满分17分）［广西玉林部分学校2025高一联考］已知函数 ， . （1）若恒成立，求实数 的取值范围； 【解】因为函数 ， 所以恒成立等价于 恒成立， 即 恒成立. 当时， 恒成立，满足题意; 当时，要使 恒成立， 则即 解得 . 综上，实数的取值范围是 . 38 （2）当时，求不等式 的解集. [答案] 由得, ， 即,又因为 ， 所以当，即 时， 不等式的解集为或 ； 当，即 时， 可得，不等式的解集为 ; 当，即 时， 不等式的解集为或 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或 . 39 19.（本小题满分17分）若实数，，满足，则称比更远离 . （1）若比更远离1，求实数 的取值范围； 【解】由题意可得,即,解得 , 所以实数的取值范围为 . 40 （2）判断是比更远离 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件），并加以证明； 【解】是比更远离 的充分不必要条件,证明： ①已知,则 ,可得 ,即,所以是比更远离 的充分条件. ②已知比更远离,则,举例,,,满足 , 但不满足,所以不是比更远离 的必要条件. 综上,是比更远离 的充分不必要条件. 41 （3）已知，，若，证明:比更远离 . 【证明】因为, , , 当且仅当即 时,等号成立. 因为,由（2）可知比更远离 ,即得证. 42 $$