第二章 等式与不等式 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

数学 必修第一册 RJB 1 2 第二章高考强化 刷真题 2 1.［课标全国Ⅲ理2017·1,5分］已知集合,，则 中元素的个数为( ) B A.3 B.2 C.1 D.0 考点1 等式与集合的综合 3 解析 由解得或 中有, 两个元素，故选B. 考点1 等式与集合的综合 4 2.［课标全国Ⅰ理2019·4,5分］古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与 肚脐至足底的长度之比是（ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳 斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若 某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为,头顶至脖子下端的长度为 ，则 其身高可能是( ) B A. B. C. D. 考点2 不等式的性质与求解 5 解析 如图， 设“某人”头顶至肚脐的长度为,肚脐至足底的长度为 ，头顶至咽喉的长度为 ，咽喉至肚脐的长度为.则,,, . 设“某人”的身高为，即 . 由解得 , 由解得 ， 所以,即 . 解得 . 整理可得，即 ，结合选项可 知其身高可能是 ，故选B. 考点2 不等式的性质与求解 6 多种解法 若以26为头顶到咽喉的长度，则身高为 . 若以105为肚脐到足底的长度，则身高为 . 结合选项可知其身高可能是 ，故选B. 考点2 不等式的性质与求解 7 3.［课标全国Ⅰ文2020·1，5分］已知集合,,1,3,,则 ( ) D A., B. C. D. 考点3 一元二次不等式及其应用 8 解析 由不等式,解得，则.又,1,3, ,所以 ，故选D. 考点3 一元二次不等式及其应用 9 4.［浙江2020·9,4分］已知，且，对于任意 均有 ，则( ) C A. B. C. D. 考点3 一元二次不等式及其应用 10 解析 因为，所以，若使对于任意 恒成立， 则，故, 不可能同时为正，至少有一个为负. 若，，显然成立；若,，则 ,此时要使 在上恒成立，则必有，可得 ，与题设矛 盾，舍去；若，，则，此时必有，得 ，符合题意.综 上， .故选C. 考点3 一元二次不等式及其应用 11 多种解法 易知存在三个根,, ，由图象可得当三个根 都小于0时符合题意.当 轴正半轴上存在实数根时必定是两个相等的正根和一个负根，当 时，不符合题意；当时，，得 恒成立；当 时，不符合题意.故满足条件时 . 考点3 一元二次不等式及其应用 12 5.［天津2020·14，5分］已知,,且，则 的最小值为___. 4 解析 由已知得，，当且仅当 且，即或时取等号，故 的最小值为4. 考点4 均值不等式的应用 13 多种解法 因为，，且，所以，于是 .令 ，于是，当且仅当 时，取得最小值4. 考点4 均值不等式的应用 14 6.［江苏2020·12，5分］已知，则 的最小值是_ _. 解析 由，可得 ， 由，可得，则 ， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为 . 考点4 均值不等式的应用 15 多种解法 ，当且仅当 ，即 ，时取等号，故，即的最小值为 . 考点4 均值不等式的应用 16 7.［全国甲理2024·23，节选］已知实数,满足.证明： . 【证明】因为 ，所以 . 考点4 均值不等式的应用 17 2 第二章高考强化 刷原创 18 1.已知二次函数的图象过点,，且, ， 则( ) D A. B. C. D. 19 解析 由题意,,设,则由根与系数的关系知,, ,故 ,又,则 . 因为,所以 , 当时, , 即存在使 , 记,,则,,又在 上随的增大而减小，故,,故 . 当时,,同理可得, ,故 . 综上所述, .故选D. 20 2.若对满足的任意实数, 恒成立，则( ) B A. B. C. D. 21 解析 分离参变量得恒成立,则 ,故右式取最大 值时,必须同号（且都不为零），此时,因为若,则, 与其同 号,则 ,矛盾. 由,设,则 ,若要求 取最大值，则需,即 ,此时 , 当且仅当即时等号成立,所以, .故选B. 22 3.已知，关于的不等式的解集为 . （1）若，求 ； 【解】由,得 . 当时,, （当且仅当 时等号成立）,不等式成立. 当时,,则,即,则 . 当时,,则,即,解得 . 综上可知,不等式的解集或 . 23 （2）若，求实数 的取值范围. [答案] 由题意知,不等式对任意恒成立,若,则 恒成立,即 . 若,则 恒成立, 又,当且仅当 时等号成立, 故 . 若,则 恒成立, 因为,当且仅当 时等 号成立,故,即 . 综上,实数的取值范围为 . 24 $$