第二章 专题2 利用均值不等式求最值-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“利用均值不等式求最值”专题，涵盖简单代数式、配凑法、“1”的代换、消元换元法四大题型，从基础到综合逐步进阶，结合秦九韶公式等历史文化实例导入，帮助学生在问题情境中衔接前后知识，搭建梯度学习支架。 其亮点在于题型分类系统，融入高考真题与数学文化，通过一题多解培养数学思维（如推理能力、运算能力），规范解析步骤强化数学语言（符号意识、模型观念）。学生能掌握多样解题方法，教师可借助梯度设计与实例提升教学效率。

数学 必修第一册 RJB 1 2 专题2 利用均值不等式求最值 刷难关 2 1.已知，，且，则 的最小值为( ) B A.8 B.6 C.4 D.2 题型1 求简单代数式的最值 3 解析 因为,,且 , 所以,当且仅当 , 即,时取等号,因此 的最小值为6. 题型1 求简单代数式的最值 4 2.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”即假设在平面内有一 个三角形，边长分别为,,，三角形的面积可由公式求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足 , ，则此三角形面积的最大值为_____. 题型1 求简单代数式的最值 5 解析 由题意可得,,则 . 由均值不等式可得, . 当且仅当,即 时取等号. 题型1 求简单代数式的最值 6 3.若,，且，则 的最大值为( ) B A.9 B.6 C.3 D. 题型2 利用配凑法求最值 7 解析 因为,,且,所以,当且仅当 ,即 ,时等号成立,因此 的最大值为6,故选B. 题型2 利用配凑法求最值 8 4.［山东齐鲁名校2025联考］已知，，且，则 的最大值 为( ) C A.6 B. C. D. 题型2 利用配凑法求最值 9 解析 由，，可得，，又 ， 则，当且仅当，即, 时取等号， 因此 ，所以 的最大值为 .故选C. 题型2 利用配凑法求最值 10 多种解法 由，可得，，又，则 .由均值不 等式得，即 ，当且仅当 ，即， 时取等号，故选C. 题型2 利用配凑法求最值 11 5.［浙江杭州二中2025高一期中］已知,,为正数，且，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D. 题型2 利用配凑法求最值 12 解析 易知，当且仅当即 时取等号.故选C. 题型2 利用配凑法求最值 13 6.［江苏盐城联盟校2024高一期中联考］设,，且恒成立，则 的最 大值为( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 题型2 利用配凑法求最值 14 思路导引 恒成立,等价于恒成立,又 ,结合综 合不等式即可求解. 题型2 利用配凑法求最值 15 解析 因为,所以,, , 恒成立,等价于 恒成立. 因为 , 所以 , 当且仅当,即 时等号成立, 所以要使恒成立,则需,所以 的最大值为4.故选B. 题型2 利用配凑法求最值 16 7.［四川师大附中2025期中］已知,均为正实数，，则 的最小值是 ( ) B A. B. C. D.17 题型3 利用“1”的代换求最值 17 解析 ， 则 ， 当且仅当，即， 时取等号.故选B. 题型3 利用“1”的代换求最值 18 多种解法 ，则 ，当 且仅当，即， 时取等号. 题型3 利用“1”的代换求最值 19 8.已知，，且，则 的最小值是( ) C A.1 B. C.2 D. 题型3 利用“1”的代换求最值 20 解析 因为,所以,又,,所以, ,则 , 当且仅当,即, 时等号成立.故选C. 题型3 利用“1”的代换求最值 21 9.［海南部分学校2025高一期中联考］已知，，，则 的 最小值为( ) D A.11 B.10 C.9 D.8 题型4 利用消元法或换元法求最值 22 解析 由题设，又，，故，则 ，所以 ，当且仅当， 时等号成立，所以 的最小值为8.故选D. 题型4 利用消元法或换元法求最值 23 10.已知,,，则 的最小值是( ) A A.14 B. C.8 D. 题型4 利用消元法或换元法求最值 24 解析 因为,,所以,,由,得 ,于是 ,当且仅当 ,即,时取“”,所以当,时, 取得最小值14.故选A. 题型4 利用消元法或换元法求最值 25 11.已知，为正实数，则 的最小值为( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 题型4 利用消元法或换元法求最值 26 解析 , 设,则 , 当且仅当,即 时取等号. 所以 的最小值为6.故选C. 题型4 利用消元法或换元法求最值 27 12.［河南南阳2025高一月考］已知,，且，则 的最小值为___. 6 解析 因为,, ， 所以, ， 令，则 ， 其中，当且仅当，即 时，等号成立， 故，此时, . 题型4 利用消元法或换元法求最值 28 $$