2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦一元二次方程的解集及根与系数的关系，从等式基础导入，通过基础题型（如解集判定、配方法应用）到提升题型（如集合与方程综合问题），以多种解法对比和易错点提示为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入新课标核心素养，通过河南开封联考、北京高一试题等真实情境题目培养数学眼光，借助因式分解与求根公式对比训练数学思维，结合解集概念混淆、判别式忽视等易错点强化数学语言表达。学生能夯实基础提升综合能力，教师可通过分层题型和易错提示优化教学效率。

数学 必修第一册 RJB 1 2.1 2.1 等式 2 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 刷基础 3 1.若关于的一元二次方程有解，则实数 的取值为( ) B A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 题型1 一元二次方程的解集 4 解析 当时，关于的一元二次方程 有解.故选B. 题型1 一元二次方程的解集 5 2.用配方法解关于的一元二次方程 时，方程可变形为( ) A A. B. C. D. 题型1 一元二次方程的解集 6 解析 二次项系数化为1,得,移项得 ,配方得 ,即 故选A. 题型1 一元二次方程的解集 7 3.（多选）［河南开封五县2024高一期中联考］若关于的一元二次方程 有实 数根,，且 ，则下列结论正确的是( ) AC A. B.当时，, C.当时， D.当,一正一负时, 题型1 一元二次方程的解集 8 解析 将方程化为 ， 由题意可知，关于的方程 有两个不相等的实数根，则 ，解得 ，故A正确； 当时，方程为，所以， ，故B错误； 当时,,解得 ,故C正确; 当,一正一负时,,,得 ,故D错误. 故选 . 题型1 一元二次方程的解集 9 4.［北京延庆区2025高一期中］求方程 的解集. 【解】（因式分解法）由，得，即或 ，解 得,，故方程的解集为, . 题型1 一元二次方程的解集 10 多种解法 （求根公式法），，， ， ，， . 方程的解集是， . 本题是教材第52页例1的同类试题，考查解一元二次方程.一元二次方程的常用解法有因式分解 法、配方法、求根公式法，解题时可以根据方程的形式灵活选择. 题型1 一元二次方程的解集 11 5.［山东临沂2024高一检测］设,是方程的两个实数根，则 的值是 ( ) C A.15 B.12 C.11 D.9 题型2 一元二次方程根与系数的关系 12 解析 由一元二次方程根与系数的关系可知，, ，则 .故选C. 题型2 一元二次方程根与系数的关系 13 6.［江西赣州2025高一开学考］已知关于的方程的两根分别是, ，且满足 ，则实数 的值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 题型2 一元二次方程根与系数的关系 14 解析 由一元二次方程根与系数的关系知, ，又 ，所以，解得 .故选A. 题型2 一元二次方程根与系数的关系 15 7.若实数，且，，则代数式 的值为( ) A A. B. C. D. 题型2 一元二次方程根与系数的关系 16 解析 若实数，且，，则,为方程 的两个 不相等的根，所以， . 所以 .故选A. 题型2 一元二次方程根与系数的关系 17 8.［辽宁大连八中2025高一月考］关于的一元二次方程 的两个实数根分别 是,，且，则实数 的值是____. 解析 由一元二次方程根与系数的关系可知， ， ， 即，解得或 . 当时，一元二次方程为， ，方程有两个不等实根，满 足题意； 当时，一元二次方程为， ，方程在实数范围内无解， 不合题意,舍去. 综上所述, . 题型2 一元二次方程根与系数的关系 18 9.在解方程时，甲同学看错了，解得方程的根为， ；乙同学看错 了，解得方程的根为，，则方程中的____， ____. 解析 甲同学看错了，但没有看错，乙同学看错了，但没有看错 ，所以根据根与系数的关系， 得， . 题型2 一元二次方程根与系数的关系 19 10.一元二次方程 的解集是______. {} 解析 原方程可化为,即,解得 . 故方程的解集是{ }. 易错点1 不能正确理解方程解集的概念 20 易错警示 注意题目要求是方程的解集还是解，方程的解是，方程的解集是一个集合，应是{ }. 易错点1 不能正确理解方程解集的概念 21 11.［云南保山2025高一月考］已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求实数 的取值范围； 【解】由题意可得，解得，即实数的取值范围为 . （2）若该方程的两个实数根为，，且，求实数 的值. [答案] ，为方程的两个实数根，， . ,，即，且, ， ，解得 . ， 符合题意. 易错点2 忽视一元二次方程有解的条件而致误 22 易错警示 求解本题第（2）问时不要忽视 的限制. 易错点2 忽视一元二次方程有解的条件而致误 23 2.1 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 刷提升 24 1.［湖南邵阳2024高一拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）］已知关于 的一元二次方程 有一个根为零，则实数 ( ) B A.1 B. C.1或 D. 或4 25 解析 由题意知即可得 .故选B. 26 2.［广东深圳2025高一开学考］关于的一元二次方程 有两个不相等的正 实数根，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 27 解析 因为方程 有两个不相等的正实数根, 所以解得且 .故选A. 28 3.［辽宁名校2025高一联考］若关于的一元二次方程的两个实数根为和 ， 则 的值是( ) B A. B. C. D. 29 解析 由题意得，,，所以 .故选B. 30 4.若 是集合,}的真子集，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 31 解析 由 是集合,}的真子集得, ， 即方程有实数解，，解得或 .故选D. 32 5.［辽宁大连2025高一月考］关于的方程的解集为空集，则 的值为( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 33 解析 将方程整理得，则解得且 .因为方程 的解集为空集，所以，得 .故选D. 34 6.（多选）已知关于的方程 ，则下列结论正确的是( ) ABC A.方程有一个正根一个负根的充要条件是 B.方程有两个正根的充要条件是 C.方程无实数根的一个必要条件是 D.当 时，方程的两个实数根之和为0 35 解析 A选项，方程有一个正根一个负根,则即,同时 时方程 有一个正根一个负根, 是方程有一个正根一个负根的充要条件,A正确; B选项，方程有两个正根,则即,同时 时方程有两个 正根, 是方程有两个正根的充要条件,B正确； C选项，方程无实数根，则，即，而 时方程可能无实根也 可能有实根，故方程无实数根的一个必要条件是 ，C正确； D选项，当时,方程无实根，D错误.故选 . 36 7.关于的一元二次方程的两个实数根分别为,，且 , ,则实数 的取值范围是_______________. 37 解析 因为一元二次方程有实数根，所以，所以 . 因为，所以 . 因为，所以.所以且 . 38 8.［河北沧州2024高一期中联考］已知为实数， ， .当时， 的取值集合为________. , 39 解析 当时，， ，不符合题意， 舍去. 当时，,，若，则 ，满足题意； 若，则，则，得（舍去），或，得 （舍去）.所以 的取值集合是, . 40 9.［江苏南通2025段考］设方程的两根是， ，则方程 的根是_____. , 41 解析 方程可以变形为，而该方程的两根为 ， ，①， . 又方程可以变形为③， 把①②代入③中得 ，即，， . 42 10.［湖南常德一中2024高一月考］已知集合 , , . （1）求 ; 【解】由，解得或，所以，由，解得 或，所以，所以 . （2）若 , ，求 的值. [答案] 因为 , ，所以，所以，解得 或 . 当时，，与 矛盾；当时，, ，满足题意. 综上可得， . 43 11.若,，则实数 的值为( ) B A.1 B. C.0 D.1或 易错点1 解与一元二次方程有关的参数问题时，忽略集合中元素的互异性而致错 44 解析 因为,，所以或.由，解得 或 . 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以 .故选B. 易错点1 解与一元二次方程有关的参数问题时，忽略集合中元素的互异性而致错 45 易错警示 对此类含参数的一元二次方程与集合的综合问题，求得参数后一定要验证是否满足集合中元素的 互异性，避免多解、错解. 易错点1 解与一元二次方程有关的参数问题时，忽略集合中元素的互异性而致错 46 12.［山东菏泽一中2024高一月考］已知集合，，若集合 有且仅 有2个子集，则实数 的取值是( ) D A.1 B.0,1 C.,1 D. ,0,1 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 47 解析 集合有且仅有2个子集,说明集合中只含有一个元素.集合 ， ，当时， ，满足题意. 当时，，解得 . 当时，集合 ，满足题意; 当时， ，满足题意. 所以或 ，故选D. 2.1.3 方程组的解集 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 48 易错警示 若集合有且仅有2个子集，说明集合 是单元素集合.若二次项系数含参数，则要讨论二次项系数 是否为零，若本题改为集合 含有4个子集，则不需要考虑二次项系数为零的情况. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 49 $$