2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，以《九章算术》“勾股”古算题导入，从实际问题抽象出方程，通过“尝试与发现”引导学生从x²=t等简单形式逐步过渡到一般方程的配方法转化，构建知识递进的学习支架。 其特色在于融合数学文化与探究式学习，古算题导入培养数学抽象能力，“尝试与发现”环节通过问题链发展逻辑推理能力，例题与练习结合韦达定理应用强化运算能力。采用问题驱动、逐步转化的教学方法，课堂总结清晰梳理核心概念，助力学生理解知识形成过程，也为教师提供完整的教学实施路径。

人教B版(2019)必修第一册 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第二章 等式与不等式 1 学习目标 理解一元二次方程的相关概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握一元二次方程的根的判断方法，会解一元二次方程，会用韦达定理求两根的关系式的值，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何． 根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB＝20，CD＝14，DE为多少？ 3 新课学习 如果设正方形的边长为x．则有 AF= ， DB=20+x+14=x+34． 根据△ABF∽△DBE可知　 　　　，从而AF·DB=AB·DE，因此 整理得x2+34x-71000=0，你会解这个方程吗？ 4 新课学习 一元二次方程的概念 形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 5 新课学习 从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢? 6 新课学习 尝试与发现：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明. 不难知道，如果一个一元二次方程可以化为 x2=t 的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集是容易获得的. 例如：方程 x2=3的解集为{，}，方程x2=0 的解集为{0}，方程 x2=-2 的解集为∅. 7 新课学习 方程x2=t的解集 1.当t>0时，解集为{- ， }； 2.当t=0时，解集为{0}； 3.当t<0时，解集为∅. 8 新课学习 更进一步，形如(x-k)2=t(其中k，t是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到. 例如：由 (x-1)2=2可知x-1=-或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}. 9 新课学习 方程(x-k)2=t的解集 1.当t>0时，解集为{k- ，k+ }； 2.当t=0时，解集为{k}； 3.当t<0时，解集为∅. 因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集. 10 新课学习 尝试与发现：怎样将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集. 我们知道，利用配方法可得 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2， 因此，x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=-2，从而可知解集为∅. 事实上，利用配方法，总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式，过程如下： 因为a≠0，所以 因此，ax2+bx+c=0(a≠0)可以化为 11 新课学习 方程的解集的判断 Δ=b2-4ac的符号情况决定了上述方程的解集情况： 1.当Δ=b2-4ac>0时，方程的解集为 2.当Δ=b2-4ac=0时，方程的解集为 3.当Δ=b2-4ac<0时，方程的解集为∅． 12 新课学习 一元二次方程的判别式的概念 一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式. 由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 前述情境与问题中的方程 x2+34x-71000=0可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250 或x=-284（舍）. 13 新课学习 分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程. y2-2y-1=0 因此可知 或 （舍）. 14 新课学习 一元二次方程根与系数的关系 我们知道，一元二次方程ax2+ bx+c=0 (a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为 则 15 新课学习 例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值： (1)x12+x22； 由一元二次方程根与系数的关系，得 由上有 16 新课学习 例2：已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值： (2)|x1-x2|. 因为 所以 17 新课学习 尝试与发现：求出x1和x2，并由此求出上述(1)和(2)的答案. 一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为 18 课堂练习 C 19 课堂练习 20 课堂练习 C 21 课堂练习 B 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 A 25 课堂练习 26 课堂练习 -1 27 课堂练习 28 课堂总结 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的判别式 29 谢 谢 观 看 30 $