第一章 集合与常用逻辑用语 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

数学 必修第一册 RJB 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.设，是全集的子集，,，则满足的集合 的个数是( ) C A.14 B.15 C.16 D.17 3 解析 设,由,得,显然的个数为,所以 的个数是16.故选C. 4 2.［山东青岛二中2025高一段考］十七世纪，数学家费马提出了猜想：“对任意正整数 ，关 于，，的方程 没有正整数解”.1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终 成费马大定理.则费马大定理的否定为( ) D A.对任意正整数，关于，，的方程 都没有正整数解 B.存在正整数，关于，，的方程 至多存在一组正整数解 C.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 D.存在正整数，关于，，的方程 至少存在一组正整数解 5 解析 “对任意正整数，关于,,的方程 没有正整数解”的否定为“存在正整 数，关于,,的方程 至少存在一组正整数解”.故选D. 6 3.［北京北师大附中2025高一期中］设全集，集合， ， 如图所示，阴影部分所表示的集合为( ) A A.或 B.或 C.或 D.或 7 解析 因为，，所以 ，所以题图中阴 影部分所表示的集合为或 .故选A. 8 4.［辽宁大连部分学校2025高一联考］已知集合，集合 ，若 ，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 9 解析 因为集合，所以 . 因为 ，所以 .故选A. 10 5.［广东深圳实验中学2024高一段考］设，不等式 成立的一个充分不必要条件可 以是( ) D A. B. C. D. 11 解析 因为,所以,解得 . 由充分不必要条件的定义可知,只有D选项符合.故选D. 12 6.已知集合，，且，则实数 的所有可能的值 构成的集合是( ) D A. B. C. D. 13 解析 因为,所以 . 又因为集合,,所以当集合为空集时, ,符合 题意;当集合不是空集时,,所以或 ,解得或 .综上， 实数的所有可能的值构成的集合是 .故选D. 14 7.命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 15 解析 若命题“是的必要不充分条件”是真命题,则.因为命题“是 的 必要不充分条件”是假命题,所以实数的取值范围是 .故选A. 16 8.［四川成都2025高一期中］对于正整数集合,, , ，如果去掉其中 任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集.记.若集合 是平 衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数 的奇偶性( ) D A.与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B.与 无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C.与无关，必为偶数 D.与 无关，必为奇数 17 解析 由已知得,, ,，因为集合 是平衡集， 设去掉元素，根据题意得，其中 ， 不妨设集合，中的元素的和均为，则，其中,2, , ， 则，所以为偶数，其中,2, , ， 因此与 的奇偶性相同. 因为存在为奇数，所以 均为奇数， 由知也为奇数，且，所以 也为奇数. 所以的奇偶性与 无关，必为奇数.故选D. 18 9.［江苏无锡天一中学2025高一期中］下列命题中为真命题的是( ) AD A.“”是“ ”的既不充分又不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ” D.设，，则“”是“ ”的必要不充分条件 19 解析 对于A，由于“”与“ ”互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，即“三角形为正三角形” 是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“ ”， 所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得 且 ，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确.故选 . 20 10.［福建福州十校2025高一期中联考］已知全集,，， ， ，， ，则下列选项正确的是( ) BC A. B. C. D. 的真子集个数为8 21 解析 因为,，所以 . 因为，所以1,,1, . 因为，所以3,7,,3,7, . 又，所以, . 综上，画出维恩图如图. 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，的真子集个数为，故D错误.故选 . 22 11.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，，1，2，3， ，给出如下四个结论，其中是正确结论的有( ) ACD A. B. C.若整数，属于同一“类”，则 D.若，则整数， 属于同一“类” 23 思路导引 根据题意,,,1,2,3,为除以5余 的所有整数组成的集合,逐项讨论. 对选项A,可通过2 021除以5的余数是否为1进行判断； 对选项B,可通过 除以5的余数是否为3进行判断； 对选项C,根据 的定义进行判断； 对选项D,由,判断, 分别除以5的余数是否相同. 24 解析 对于A选项,因为,所以 ,A正确； 对于B选项,因为,所以 ,B错误； 对于C选项,若整数,属于同一“类”,可设,,,, ,所以 ,,,故 ,C正确； 对于D选项,设,,,,, ,则 ,因为,,所以,且 ,又因为 ,所以,即,故整数, 属于同一“类”,D正确. 故选 . 25 12.［重庆育才中学2025高一期中］已知集合， ， 若是的必要条件，则实数 的取值范围是_ _____________. 解析 由可得 . 因为是的必要条件，所以,因此解得 , 所以实数的取值范围是 . 26 13.［辽宁抚顺六校2025高一期中联考］某学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比 赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和 田径比赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛，则同时参 加游泳和球类比赛的有___人. 8 解析 设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合,, ，设同时参加游泳和 球类比赛的学生人数为 ，则由题意作出维恩图如图， 由题意可得，解得 .因此同时参加游泳和球类比赛的学 生有8人. 27 14.［山东部分学校2024高一选科联考］已知集合,,,,,, ，其中 ，且,,,.若,,, 的所有元素之和为20， 则 ___. 5 28 解析 由得,则.因为,即,,, , 所以.当时,因为,所以,则,,,即 , 所以,,则,,,所以得,即或1,与 矛盾. 当时,则,因为,,所以,即,所以, , 则,,,得,,即或1,而与 矛盾, 所以, . 因为,,,,,所以,将,, 代入, 得,解得或（舍去）,所以 . 29 15.（本小题满分13分）已知全集,0,1,2,，集合,0,， . （1）求 ； 【解】易知,0,1, . （2）求 . [答案] 易知,故,1,2, . 30 16.（本小题满分15分）［湖南长沙雅礼中学2025高一期末］已知集合 ，集合 . （1）若，，是的充分条件，求实数 的取值范围； 【解】已知，，若是的充分条件，则有 ， 所以解得 . 所以实数的取值范围为 . （2）若 ，求实数 的取值范围. [答案] 因为，所以要使 ，只需或 ， 解得或 ， 所以实数的取值范围为或 . 31 17.（本小题满分15分）已知命题,为假命题，设实数的取值集合为 ， 集合，若____，求实数 的取值范围. 在①“”是“”的必要不充分条件；②“”是“ ”的充分条件； 这三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按照你的选择求解问题. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 32 【解】由命题为假命题,可知, 为真命题. 当时,, 显然不成立； 当时,只需 . 综上， . 选①：“”是“”的必要不充分条件,则 . 当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 选②：“”是“”的充分条件,则,且 . 当 时, ,满足要求； 33 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是 . 选③： ,又 , 则当 时, ,满足要求； 当 时,解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 名师点拨 由存在量词命题为假命题求参数的范围,即得集合,根据所选条件判断集合, 之间的关系,讨论 , ,求参数 的范围. 35 18.（本小题满分17分）［浙江宁波六校2024高一期中联考］已知命题“ ， ”是真命题. （1）求实数的取值所构成的集合 ； 【解】因为命题“ ,”是真命题,所以方程 无解, 所以,解得,因为,所以,所以实数 的取值所构成的集合 . 36 （2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，若命题“, ”是真命题， 求实数 的取值范围. [答案] 因为,所以,解得 , 所以 . 又命题“,”是真命题,所以 . 当 时,,即 ,满足题意； 当 时,解得 . 综上,实数的取值范围是 . 37 19.（本小题满分17分）［陕西西安长安一中2025高一质量检测］已知集合,, ， ，其中，新定义性质若对任意的，必有 ，则称集 合具有性质.由中元素可构成两个点集和,, ， ,,，其中中有个元素，中有 个元素. （1）已知集合、集合,2,和集合 ，判断它们是否具 有性质，若有，则直接写出其对应的集合， ；若无，请说明理由. 【解】由于，故不具有性质 . 集合具有性质，对应集合,，, . 集合不是整数集，所以不具有性质 . 38 （2）集合具有性质，若，求：集合 最多有几个元素？ [答案] 由题意可知,集合的元素构成有序实数对,,,，共有 个. 因为，所以 . 又因为时，，所以时， ， 所以集合的元素个数不超过 . 不妨取,2, ,，此时中元素的个数为 ， 故 中元素的个数最多为4 950. 39 （3）试判断：“集合具有性质”是“ ”的什么条件，请说明理由. [答案] 充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质 时， ①对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，所以 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是 中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 40 ②对于，根据定义可知：,, ， 又因为集合具有性质，则 . 如果，是中的不同元素，那么， 中至少有一个不成立， 于是， 中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即 . 由①②可知 . 若,1,2,，则,,,,,, ， ,,,,,, ， 满足，而集合不具有性质 . 所以“集合具有性质”是“ ”的充分不必要条件. 41 规律方法 新定义问题的方法和技巧 （1）可通过举例的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息的理解较 为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，那么要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情 况下可以使用书上的概念. 42 $$