单元素养测评卷(一) 第1章 集合与常用逻辑用语-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元复习卷，通过基础巩固（如集合关系判断）、能力提升（充分必要条件分析）、创新应用（集合新定义运算）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合关系、命题否定、充分必要条件|单选第8题以集合划分为情境考特征数最值，多选第11题结合新定义“·”“☉”运算考查集合运算| |填空题|3题15分|三元容斥原理、集合子集、集合长度|第12题以三科竞赛人数统计考容斥原理，体现数学应用| |解答题|5题77分|命题真假判断、集合参数范围、新定义“×”运算|第19题通过定义A×B考查抽象概括能力，呼应数学语言表达素养|

单元素养测评卷(一) 1.C　[解析] 对于A,因为a是集合{a,b,c}中的元素,所以a∈{a,b,c},故A错误;对于B,因为∅是任何集合的子集,所以∅⊆{0},故B错误;对于C,因为N中含有元素0,1,而且还有其他元素,所以{0,1}⊆N,故C正确;对于D,因为是无理数,而Q是有理数集,所以∉Q,故D错误.故选C. 2.B　[解析] 因为命题p:∃x∈R,3x2+mx+m2≠0,所以􀱑p为“∀x∈R,3x2+mx+m2=0”.故选B. 3.D　[解析] 由题图知,阴影部分表示的集合为A与B的交集,再与集合C的补集的交集,所以图中阴影部分表示的集合为A∩B∩(∁UC).故选D. 4.A　[解析] 因为“两个三角形全等”能推出“两个三角形相似”,但是“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”,所以“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件,故选A. 5.B　[解析] 因为x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,所以A={2,3},因为B={1,2,3,4,5},且A⊆C⊆B,所以C中一定含有元素2,3,可能含有元素1,4,5,所以C的个数即为集合{1,4,5}的子集的个数,即为23=8.故选B. 6.C　[解析] 因为B={x|1≤x<2},所以∁RB={x|x<1或x≥2},因为A={x|x<a},A∪(∁RB)=R,所以a≥2.故选C. 7.C　[解析] 因为-1≤x≤1,所以0≤x2≤1,所以a≥1.因为a≥1⇒/ a≥10,a≥10⇒a≥1,所以C符合要求.故选C. 8.D　[解析] 由题意,集合M={x∈N|1≤x≤15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.当A1={1,4,5,6,7},A2={3,12,13,14,15},A3={2,8,9,10,11}时,X1+X2+X3取得最小值,最小值为8+18+13=39;当A1={1,2,3,4,15},A2={5,6,7,8,14},A3={9,10,11,12,13}时,X1+X2+X3取得最大值,最大值为16+19+22=57.∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为39+57=96.故选D. 9.AC　[解析] 对于A,集合中的元素具有无序性,故{1,2,3}={3,2,1},均可表示由1,2,3组成的集合,故A正确;对于B,∅是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合,则∅与{0}不是同一个集合,故B错误;对于C,∅是任意集合的子集,则∅⊆{0,1,2},故C正确;对于D,∵{x|y=x2-1}=R,{y|y=x2-1}={y|y≥-1},∴集合{x|y=x2-1}与集合{y|y=x2-1}不是同一个集合,故D错误.故选AC. 10.BD　[解析] 由维恩图可得N⊆M.对于A,取N=(0,1),M=(0,2),则∁UN=(-∞,0]∪[1,+∞),则M∩(∁UN)=[1,2),故A错误.对于B,假役N∩(∁UM)≠∅,若x∈N∩(∁UM),则x∈N,x∈∁UM,所以x∈N,x∉M,与N⊆M矛盾,所以N∩(∁UM)=∅,故B正确.对于C,取N=(0,1),M=(0,2),则∁UM=(-∞,0]∪[2,+∞),∁UN=(-∞,0]∪[1,+∞),故(∁UM)∪(∁UN)=(-∞,0]∪[1,+∞),又M∪N=(0,2),所以∁U(M∪N)=(-∞,0]∪[2,+∞),所以(∁UM)∪(∁UN)≠∁U(M∪N),故C错误.对于D,对任意x∈(∁UM)∩(∁UN),都有x∈∁UM,x∈∁UN,所以x∉M,x∉N,所以x∉M∪N,所以x∈∁U(M∪N),所以(∁UM)∩(∁UN)⊆∁U(M∪N);对任意x∈∁U(M∪N),都有x∉M∪N,所以x∉M,x∉N,所以x∈∁UM,x∈∁UN,所以x∈(∁UM)∩(∁UN),所以∁U(M∪N)⊆(∁UM)∩(∁UN).综上∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN),故D正确.故选BD. 11.ABD　[解析] 由题意可知A·B=∁R(A∪B),A☉B=∁R(A∩B).对于A,因为A∪B={x|-1<x<7},所以A·B=∁R(A∪B)={x|x≤-1或x≥7},故A正确;对于B,因为A∩B={x|0≤x≤4},所以A☉B=∁R(A∩B)={x|x<0或x>4},故B正确;对于C,因为∁RB={x|x<0或x≥7},所以A∪(∁RB)={x|x≤4或x≥7},所以A·(∁RB)=∁R[A∪(∁RB)]={x|4<x<7},故C错误;对于D,因为∁RA={x|x≤-1或x>4},所以(∁RA)∩B={x|4<x<7},所以(∁RA)☉B=∁R[(∁RA)∩B]={x|x≤4或x≥7},故D正确.故选ABD. 12.43　[解析] 设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A,B,C,由题意画出维恩图,如图所示,则全班共有2+4+5+10+7+11+4=43(人). 13.(-∞,0]　[解析] 当B=∅时,-2-2m>-1+m,解得m<-,此时B⊆A,满足题意;当B≠∅时,由B⊆A,得或解得-≤m≤0.综上所述,m的取值范围为(-∞,0]. 14.　[解析] 由题可知,集合A的长度为,集合B的长度为, A,B都是集合{x|0≤x≤1}的子集,当A∩B的长度最小时,m与n应分别在区间[0,1]的左、右两端,则m=0,n=1,则A=,B=,此时A∩B=,故A∩B的长度的最小值是-=. 15.解:(1)该命题是存在量词命题,该命题的否定是“对任意一个实数x,都有x2+2x+3>0”,原命题的否定是真命题. (2)该命题是存在量词命题,该命题的否定是“所有三角形都不是等边三角形”,原命题的否定是假命题. (3)该命题是全称量词命题,该命题的否定是“方程x2-8x-10=0至少有一个根是奇数”,原命题的否定是假命题. (4)该命题既不是全称量词命题也不是存在量词命题,该命题是假命题. 证明:因为a+b=1,所以a=1-b,由b+ab-b2=0,得b+ab=b2,即b+(1-b)b=b2,即b=b2,得b=0或b=1, 因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,所以b=1, 又当b=1时,a=0,与ab≠0矛盾,所以由b+ab-b2=0推不出a+b=1. 所以“a+b=1”的充要条件不是“b+ab-b2=0”. 16.解:(1)当x∈N*时,A={1,2,3,4,5},所以集合A的非空真子集有{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}. (2)①当B=∅时,m-1>2m+1,解得m<-2; ②当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得或解得m>6或-2≤m<-. 综上,实数m的取值范围是m<-或m>6. 17.解:(1)由题意可得解得所以A∩B={(1,2)}. (2)因为A∪B=A,所以B⊆A. 若a+6=9,则a=3,此时a2=9,不符合题意; 若a+6=a2,则a=-2或a=3, 当a=-2时,A={1,9,4},B={1,4},符合题意, 当a=3时,a2=9,不符合题意. 综上所述,a=-2. 18.解:(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B, 所以或解得a≥7, 故实数a的取值范围为[7,+∞). (2)因为“∃x∈R,p与q同时成立”是假命题, 所以“∀x∈R,p与q不同时成立”为真命题,所以A∩B=∅, 所以或解得≤a<3, 故实数a的取值范围为. 19.解:(1)因为C={a},D={1,2,3},所以C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}. (2)因为A×B={(1,2),(2,2)},所以A={1,2},B={2}. (3)由(1)(2)可知,A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关, 即集合A中的任何一个元素与集合B中的一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素. 若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则A×B中有m×n个元素, 故当A中有3个元素,B中有4个元素时,A×B中有3×4=12(个)元素. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(一)  第一章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列关系正确的是 (　　) A.a⊆{a,b,c} B.∅∈{0} C. {0,1}⊆N D.∈Q 2.[2025·海南海口高一期中] 若命题p:∃x∈R,3x2+mx+m2≠0,则􀱑p为 (　　) A.∃x∈R,3x2+mx+m2=0 B.∀x∈R,3x2+mx+m2=0 C.∃x∈R,3x2+mx+m2>0 D.∀x∈R,3x2+mx+m2≠0 3.图中的阴影部分表示的集合为 (　　) A.A∩B∩C B.(∁UA)∩B∩C C.A∩(∁UB)∩C D.A∩B∩(∁UC) 4.[2025·四川达州高一期末] “两个三角形全等”是“两个三角形相似”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.4 B.8 C.7 D.16 6.已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},若A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 7.“∀x∈{x|-1≤x≤1},x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 (　　) A.a≥1 B.a≥0 C.a≥10 D.a≤10 8.已知集合M={x∈N|1≤x≤15},集合A1,A2,A3满足:①每个集合都恰有5个元素;②A1∪A2∪A3=M.集合Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai(i=1,2,3)的特征数,记为Xi(i=1,2,3),则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为 (　　) A.56 B.72 C.87 D.96 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2026·广东潮州高一月考] 下列说法正确的是 (　　) A.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} B.∅与{0}是同一个集合 C.∅⊆{0,1,2} D.集合{x|y=x2-1}与集合{y|y=x2-1}是同一个集合 10.[2026·湖北武汉高一期中] 已知全集U=R,集合M,N的关系如图所示,则下列结论中正确的是 (　　) A.M∩(∁UN)=∅ B.N∩(∁UM)=∅ C.(∁UM)∪(∁UN)=∁U(M∪N) D.(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N) 11.[2026·内蒙古赤峰高一月考] 定义集合A与B的运算:A·B={x|x∈R,且x∉(A∪B)},A☉B={x|x∈R,且x∉(A∩B)}.若A={x|-1<x≤4},B={x|0≤x<7},则 (　　) A.A·B={x|x≤-1或x≥7} B.A☉B={x|x<0或x>4} C.A·(∁RB)={x|4≤x≤7} D.(∁RA)☉B={x|x≤4或x≥7} 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.某班举行数学、物理、化学三科竞赛,每名同学至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中同时只参加数学、物理两科的有10人,同时只参加物理、化学两科的有7人,同时只参加数学、化学两科的有11人,而参加数学、物理、化学三科的有4人.则全班共有　　　　人.  13.已知全集U=R,A=(-∞,-1]∪[8,+∞),B={x|-2-2m≤x≤-1+m},且B⊆A,则m的取值范围为　　　　.  14.设集合A=,B=,且A,B都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合A∩B的“长度”的最小值是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,如果是,写出该命题的否定,并判断该命题的否定的真假,不必证明;如果不是,需判断该命题的真假,并给出证明. (1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0; (2)有些三角形是等边三角形; (3)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数; (4)若ab≠0,则“a+b=1”的充要条件是“b+ab-b2=0”. 16.(15分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}. (1)当x∈N*时,求集合A的非空真子集; (2)当x∈R时,若A∩B=∅,求实数m的取值范围. 17.(15分)(1)已知集合A={(x,y)|2x-y=0},B={(x,y)|3x+y-5=0},求A∩B. (2)已知集合A={1,9,a2},B={1,a+6},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 18.(17分)[2026·福建宁德高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|-1-2a≤x≤a-2},p:x∈A,q:x∈B. (1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围; (2)若“∃x∈R,p与q同时成立”是假命题,求实数a的取值范围. 19.(17分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}. 据此回答下列问题. (1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D; (2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B; (3)若A中有3个元素,B中有4个元素,试确定A×B中有几个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $