1.1.1 集合及其表示方法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合核心知识，涵盖集合的含义、元素特征、关系、分类、表示方法及区间，通过天津南开等名校检测题导入，从具体对象是否构成集合切入，逐步衔接元素互异性、集合相等与表示，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是按题型系统分类，融入湖南、辽宁等地名校真题，通过规律方法总结（如元素确定性判断）和易错点提示（如忽略互异性致错），培养学生用数学眼光抽象对象、用数学思维推理逻辑的能力。教师使用可高效巩固基础，学生能提升解题规范性与思维严谨性。

数学 必修第一册 RJB 1 1.1 1.1 集合 2 1.1 1.1.1 集合及其表示方法 刷基础 3 1.［天津南开区2024注高一质量检测］ 下列给出的对象能构成集合的有( ) ①某校2024年入学的全体高一年级新生; 的所有近似值;③某个班级中学习成绩较好的所有 学生;④不等式 的所有正整数解. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 集合的含义与元素的特征 4 解析 对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生,对象确定,能构成集合,故①正确； 对于②： 的所有近似值,根据近似值的标准不一样得到的近似值不一样,因此对象不确定,故不能 构成集合,故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好的学生是相对而言的,故这些学生对象不确定,不能构成集合,故 ③错误； 对于④：不等式 的所有正整数解有1,2,3,能构成集合,故④正确.故选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 5 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定,即是否能找到一个明确的标准,确定 任意一个对象是不是给定集合中的元素. 题型1 集合的含义与元素的特征 6 2.［湖南部分学校2025高一联考］集合,, 中的三个元素表示某一个三角形的三边长度， 那么这个三角形一定不是( ) A A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 题型1 集合的含义与元素的特征 7 解析 根据集合中元素的互异性得,, ，故这个三角形一定不是等腰三角形.故选A. 题型1 集合的含义与元素的特征 8 3.由实数,,,,, 所组成的集合，最多可含有的元素个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 题型1 集合的含义与元素的特征 9 解析 由题意可知，,,可分别化为，，，所以由实数,,, , ,所组成的集合，最多可含有3个元素，分别为，，，此时且 ．故 选B. 题型1 集合的含义与元素的特征 10 名师点拨 判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满 足互异性． 题型1 集合的含义与元素的特征 11 4.［山东临沂一中2025高一段考］给出下列6个关系式：，， ， ，， ，其中正确的个数为 ( ) A A.4 B.2 C.3 D.5 题型2 元素与集合的关系 12 解析 ，，，，因此①③④⑤正确;， ，因此 ②⑥不正确.所以正确的个数为4.故选A. 题型2 元素与集合的关系 13 5.［辽宁鞍山2025高一段考］若,3,4,，则 所有可能取值的集合为( ) B A. B. C.,0,3, D. 题型2 元素与集合的关系 14 解析 由,3,4,，得或或或.当时， ，不满足集合 中元素的互异性，故不符合题意；当时，，符合题意；当时， ，符 合题意；当时，得（舍去），此时，符合题意.所以 所有可能取值的 集合为 .故选B. 题型2 元素与集合的关系 15 6.［四川遂宁部分学校2025联考］已知集合,,, ， ，则( ) C A.且 B.且 C.且 D.且 题型2 元素与集合的关系 16 解析 根据题意可得,集合表示的是27的倍数的正整数，集合 表示的是111的倍数的正整数.易 知，可得 既是27的倍数，又是111的倍数， 因此且 .故选C. 题型2 元素与集合的关系 17 7.已知集合 . （1）若，求集合 （用列举法表示）； 【解】因为，所以，解得，解方程,可得 或 ，所以集合 ． （2）若中至多有一个元素，求实数 的取值范围. [答案] 当时，方程为，此时集合 ; 当时，集合中至多有一个元素,只需，即，即 . 综上所述，实数的取值范围是或 . 题型2 元素与集合的关系 18 特别注意 本题中方程不一定是一元二次方程，因此求解时不要忘记讨论 时的特殊情况. 题型2 元素与集合的关系 19 8.［山东泰安2024高一月考］有下列四个说法： 是空集； ②若，则 ； ③集合 有两个元素； ④集合 是有限集. 其中正确说法的个数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 集合的分类与集合相等 20 解析 中有一个元素0，不是空集，①不正确； 当 时不成立，②不正确； 有两个相等的实数根，因此集合 中只有一个元素，③不正确； 集合 是有限集，④正确.故选B. 题型3 集合的分类与集合相等 21 9.（多选）下列集合是无限集的是( ) ABD A.是能被3整除的数} B. C.,,} D. 是面积为1的菱形} 题型3 集合的分类与集合相等 22 解析 对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合 为无限集； 对于C，该集合可表示为,, ，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选 ． 题型3 集合的分类与集合相等 23 10.［安徽亳州2025高一月考］已知集合，则下列与 相等的集合的个数为( ) ； }； ； , }. C A.0 B.1 C.2 D.3 题型3 集合的分类与集合相等 24 解析 对于①， . 对于②，}中解得 ，故 . 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，，所以, , . 对于④，,.所以与 相等的集合的个数为2.故选C. 题型3 集合的分类与集合相等 25 11.［贵州贵阳2025高一月考］若含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成, , ，则 ___. 1 解析 由,,以及集合中元素的性质可知且,则, , ,则 , （舍去）, . 题型3 集合的分类与集合相等 26 归纳总结 两集合相等的常见考法及解法 （1）若两个集合相等,则所含元素完全相同,与顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素互异性或 与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限个,则要看两集合的代表元素是否一致,再看代表元素满足的条件 是否一致，若均一致,则两个集合相等. （3）证明集合与相等的常用思路是证“且 ”. 题型3 集合的分类与集合相等 27 12.［湖南株洲二中2025高一月考］集合, }用列举法表示为( ) C A.,,0,1, B.,0,1, C. D. 题型4 集合的表示方法 28 解析 由，解得，所以, }= .故选C. 题型4 集合的表示方法 29 13.［辽宁多校2025高一月考］方程组 的解集是( ) C A., B., C., D.,或, 题型4 集合的表示方法 30 解析 由解得或所以方程组的解集是, . 故选C. 题型4 集合的表示方法 31 链接教材 本题是教材第9页练习B第2题第（2）问的变式与延伸，考查集合元素类型的辨析,正确解出方程组, 方程组的解是有序实数对,其解集是由有序实数对构成的集合,容易出现概念混淆,把解集的形式弄错. 题型4 集合的表示方法 32 14.［福建泉州2025高一期中］已知集合，则 ( ) C A.,, B.,, C.,, D.,, 题型4 集合的表示方法 33 解析 因为集合，根据集合中5个元素的特点知，, ，所 以,, .故选C. 题型4 集合的表示方法 34 15.（多选）下列集合写成区间的形式后可以含有“ ”的有 ( ) AC A. B. C. D. 题型5 区间及其表示 35 解析 根据集合与区间的关系可知，只有选项A,C中的集合写成区间的形式后含有“ ”. 题型5 区间及其表示 16.若区间的长度不超过5，则实数 的取值范围用区间表示为______. 解析 由题意可知，所以，即实数的取值范围是 . 题型5 区间及其表示 37 17.已知集合,1,.若，则实数 的值构成的集合为______． 解析 因为集合,1,，且 ， 所以或 . （1）当时，， ,符合题意. （2）当时，解得或 . 当 时，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时， ,符合题意. 综上可知,实数的值构成的集合为 . 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 38 易错警示 本题是含参数的集合问题，根据题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的 互异性.本题的易错之处是忽视检验 时是否满足集合中元素的互异性. 易错点1 忽略集合中元素的互异性而致错 39 18.［湖北新高考协作体2025高一期中联考］用列举法表示集合 的结果为________ __. 解析 由可知为6的约数，所以 ,2,3,6. 又，所以,7,6,3，此时,3,2,1，因此集合 用列举法表示为 . 易错点2 混淆集合的表示方法而致错 40 易错警示 注意集合的表示方法应规范. 易错点2 混淆集合的表示方法而致错 41 19.［辽宁省实验中学2025高一月考］已知集合,,, , ,,,，定义集合 , ，则 中有____个元素. 63 易错点3 不理解新定义的集合（运算）而致错 42 解析 ,,,,,,,, , ,, ，有9个元素（即9个点）， ,,,,,,,, , ,,,,,,，，, , ,,,,,,,,,,,,, , ,,,,，有 个元素（即35个点）， 所以或或或或0或1或2或3或4，共有9个值，或或 或0或 1或2或3，共有7个值， 所以,中的元素有 个. 易错点3 不理解新定义的集合（运算）而致错 43 易错警示 若集合中的元素是自定义的,对自定义的正确理解是解题的关键. 易错点3 不理解新定义的集合（运算）而致错 44 20.集合,，,，,，且 ， ，则有( ) B A. B. C. D.不属于，， 中的任意一个 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 45 解析 因为,所以 . 因为，所以，则 .故选B. 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 46 易错警示 注意理解集合中元素的确定性，即元素满足的特定要求及元素的形式. 易错点4 不理解集合中元素的确定性而致错 47 21.［厦门大学2024强基计划］以下数集与自然数集等势的是( ) 注：若存在从集合到集合的一一对应，则称与 等势. B A.实数集 B.整数集 C.无理数集 D.以上均是 48 解析 ，时可令对应中的,时可令对应中的 ，即可建立一一对应 关系，故整数集与自然数集等势；实数集、无理数集与自然数集之间都无法建立一一对应关系， 故选B. 49 22.［南京大学2024强基计划］集合,为120的倍数，则 的元素个数为 ____. 19 50 解析 由，可知, 的奇偶性相同， 又为120的倍数，所以, 均为偶数， 由，可知, 中必有一个为10的倍数， 结合带余除法可知：从10开始10的倍数除以3的余数依次为1,2,0,1,2,0, ， ①若10的倍数除以3的余数为1，则其加2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ②若10的倍数除以3的余数为2，则其减2为3的倍数， 可知为10的倍数，为3的倍数，此时 的值是唯一的； ③若10的倍数除以3的余数为0（即为30的倍数），符合题意， 可知，均可为10的倍数，此时 的值有2个； 且，即, ， 在1到151中，可知10的倍数有15个，30的倍数有5个，考虑到150的唯一性， 所以的元素个数为 . 51 特别注意 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）. 52 $$