第六章 平面向量初步 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 6 第六章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.已知线段上，，三点满足 ，则这三点在线段上的位置关系是( ) A A. B. C. D. 3 解析 由题意可知和共线同向，且 .故选A. 4 2.［山东菏泽2025期末］已知为内部一点，，设,, ，则 ( ) D A. B. C. D. 5 解析 依题意， .故选D. 6 3.［北京四中2025高一期末］如图，在中，点,满足， . 若，则 ( ) A A. B. C. D. 7 解析 由题知，则 ， ，则 ，故选A. 8 4.若不共线的向量,满足 ，则( ) C A. B. C. D. 9 解析 由向量，满足 ， 当，不共线时,可考虑构造等腰三角形,如图①所示,, , 则 . 不能比较与 的大小. 在图②中,,,,取点使，由可得 , 所以是 的直角三角形. 易知,,由三角形中大角对大边,得 .故选C. 在图①中,取点使，则, , 10 5.［江西新余四中2025月考］已知平面直角坐标系中，， ， ，若，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 11 解析 由已知得, ,则 ， 则,因为，所以，解得 ， 所以，即点的坐标为 .故选B． 12 6.［湖南师大附中2025高二开学考］已知点是平面上一定点，，， 是平面上不共线的三个 点，动点满足，则点的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 13 解析 ， , 令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线上的向量，即 在的平分线上.，,共线，故点的轨迹一定通过 的内心.故选B. 14 7.在中，若,，则 的面积的最大值为( ) D A. B. C. D. 15 思路导引 设,分别为,的中点，结合三角形相似推出，由题意可得 , ，确定四边形 面积的最大值，即可得答案. 16 解析 设,分别为,的中点，连接，, , 则，且,则，故,则 ，故 ， 又,，则,，故 , ， 当时，四边形面积最大，最大值为，故 的面积的最大值为 ，故选D. 17 8.［辽宁部分学校2025高一联考］如图，在中，为线段 上一点，且 ，为线段的中点，过点的直线分别交直线，于点， ， ，，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 18 解析 因为，所以，所以 . 因为为的中点，所以 ， 因为，，三点共线，所以设，则 ，所以 . 因为，，所以， ， 所以 ， 因为，不共线，所以所以 ， 19 所以，即 ， 所以 ， 当且仅当即 时，等号成立， 因此的最小值为 .故选C. 9.下列命题正确的是( ) ABD A.数轴上零向量的坐标为0 B.若与都是单位向量，则 的最小值为0 C.若,，则 D.若,，则线段的中点坐标为 21 解析 数轴上零向量的坐标为0,A正确； 若与都是单位向量，当方向相反时， 取最小值0,B正确； 若,，则 ，C错误； 若,，则线段的中点坐标为，D正确.故选 . 22 10.［辽宁省实验中学2025高一期末］下列命题正确的是( ) BCD A.若向量,共线，则,,, 必在同一条直线上 B.若,,为平面内任意三点，则 C.若点为的重心，则 D.已知向量,，若，则 23 解析 对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则,,, 不必在同一 直线上，故A错误； 对于B，由向量的线性运算知 ，故B正确； 对于C，若点为的重心，设的中点为，则 ，由重心性质 知，所以 ，故C正确； 对于D，因为向量,,，所以 ，化简得 ，故D正确.故选 . 24 11.［河北石家庄2025高二开学考］设点是 所在平面内一点，则下列说法正确的是 ( ) ACD A.若，则点是 的重心 B.若，则点在边 的延长线上 C.若在所在的平面内，内角，，所对的边分别是,, ，满足以下条件 ，则 D.若，且，则的面积是面积的 25 解析 对于A，，即 ， 则，所以点 是 的重心,故A正确； 对于B，若，则，所以点 在边 的反向延长线上，故B错误； 对于C，如图,延长到，到，使， ， 因为，所以 ， 以,为邻边作平行四边形，连接,分别交，于点, ,所以 ，则，即 ， 26 对于D，如图，设为 的中点， 因为，所以，即 ， 由，所以，所以,,三点共线，所以，故D正确.故选 . 因为，同理 ， ，所以 ， 故C正确； 12.设点在的内部，，分别为边，的中点，且 ，则 ___. 2 解析 如图，易知 . 28 13.某人骑车以每小时的速度向东行驶，感受到风从正北方向吹来，而当速度为 时， 感受到风从东北方向吹来，则实际风速为___________，方向为__________.（答对一空给3分） 西北方向 解析 设表示此人以的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为 ， 设实际风速为，那么此时人感到的风速为 . 设,,，因为 ， 所以 ，这就是感受到由正北方向吹来的风速. 因为，所以 ， 于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 . 由题意， ，， ， 从而，为等腰直角三角形，所以 ， 即 ， 所以实际风速为 ，方向为西北方向. 29 14.［四川成都石室中学2024期中］如图，在中， ,， 是正三 角形，点是的中心.若，则 ____. 30 解析 如图，设交于点 ,,点是 的中心， ，设，则， . 是的平分线，，.设，，， 三点 共线， ， , . 由，得 , ，, . 31 15.（本小题满分13分）［山东德州2025高一月考］已知非零向量, 不共线． （1）如果,,，求证：，， 三点共线； 【证明】因为,, , 所以 ， 所以,共线，且有公共点，所以，， 三点共线. （2）若和是方向相反的两个向量，试确定实数 的值． 【解】因为和 是方向相反的两个向量， 所以存在实数 ，使，且 . 又,不共线，所以解得或 因为，所以所以 . 32 16.（本小题满分15分）［辽宁部分学校2025高一期末联考］如图，在等腰梯形 中， ,,,，与交于点，记, ． （1）试用基底{,}表示, ； 【解】由题图可知 ， 因为,，所以 ． 因为, ，所以 . 33 （2）记的面积为，的面积为，求 的值． [答案] 由与交于点，可设, ． 则 ， 由（1）知,则 ， 则解得 设的边上的高为，的边上的高为，则 ， 则 ． 34 17.（本小题满分15分）已知四边形的顶点坐标为，， ，且 . （1）若点在第一象限，求实数 的取值范围； 【解】因为，，所以 . 设点的坐标为，则 . 由，得解得 因为点在第一象限，所以，，解得 . 故实数 的取值范围是 . 35 （2）若点为直线外一点，且，问实数 为何值时，点恰为四边形 对角线的交点. [答案] 由得 ， 即,所以 . 因为，所以 ， 又点恰为四边形对角线的交点，所以，则,又 ， 所以 . 36 18.（本小题满分17分）［辽宁大连二十四中2025高一期末］在中，点为边上靠近 的 三等分点，点为 内一点. （1）如图，若点满足，求与 的面积之比； 37 【解】是内一点，延长至使，连接, . ， ， 四边形 是平行四边形. ，.又， ， 在平行四边形中，，与 的面积之比为 . 38 （2）若点为的外心，点满足，的延长线交于点 ， ，求 的值. 39 [答案] ， . 设，， ， ， ， . 又， 解得所以 . 19.（本小题满分17分）［河北保定部分学校2025高一期中联考］已知平面直角坐标系中，点 ，点（其中，为常数，且），点 为坐标原点． （1）设点为线段上靠近的三等分点，，求 的值； 【解】因为 , 而点为线段上靠近点的三等分点，则，可得，所以 . 42 （2）如图所示，设点，，， ，是线段的等分点，其中， ，当 时，求的值（用含， 的式子表示）. 43 [答案] 由题意得，， ， ，所以 ， 事实上，对任意正整数,，且 时， ，，有 ， 所以 ， 所以 . 44 $$