第6章 习题课 平面向量的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学平面向量综合问题，系统梳理共线向量定理应用、平面向量基本定理应用、线性运算最值范围及三角形中的向量应用，构建从定理理解到综合问题解决再到练习巩固的学习支架。 资料以平行四边形、直角梯形等几何模型为载体设计例题，通过多解法（如例2两种方法）培养推理能力，结合坐标法与基底法提升数学表达，课中助力教师高效授课，课后学生可通过跟踪训练与对点练查漏补缺，深化数学思维。

习题课　平面向量的综合问题 学习目标　会利用向量的有关知识去解决平面向量的综合问题. 一、共线向量定理的应用 例1　如图所示，在平行四边形ABCD中，=，=，CE与BF相交于G点，记=a，=b，试用基底{a，b}表示. 解　∵E，G，C三点共线， ∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数x使得=x+(1-x)， ∵==a，=a+b， ∴=x×a+(1-x)(a+b) =a+(1-x)b. ① 又∵F，G，B三点共线，∴由平面内三点共线可得：存在唯一的实数λ使得=λ+(1-λ)·， ∵==b， ∴=λa+(1-λ)b. ② 由①②两式可得 ∴∴=a+b. 反思感悟　本题的解法中由两组三点共线(F，G，B以及E，G，C三点分别在一条直线上)，利用平面内三点共线构造方程组求解，避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算，达到了简化解题过程的目的. 跟踪训练1　如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中=，=，=λ，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为=，=， 所以=，=2. 由向量加法的平行四边形法则可知， =+，所以=λ=λ(+) =λ=λ+2λ， 由E，F，K三点共线， 可得λ+2λ=1，解得λ=. 二、平面向量基本定理的应用 例2　如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，=3，F为AE的中点，则等于(　　) A.- B.- C.-+ D.-+ 答案　C 解析　方法一　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以==-=-， 所以=+=+ =+=+， 于是=-=- =-=-+. 方法二　=+=+ =-+ =-+ =-+++++) =-+. 反思感悟　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 跟踪训练2　(1)在平行四边形ABCD中，=e1，=e2，=，=，则=　　　　　　　　；(用e1，e2表示)  (2)如图，已知=a，=b，=3，则=　　　　　　　　.(用a，b表示)  答案　(1)-e1+e2　(2)a+b 解析　(1)如图，=-=+2=+=-+-)=-e2+(e2-e1) =-e1+e2. (2)=+=+=+-)=+=a+b. 三、向量线性运算中的最值与范围问题 例3　如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足=m+n(m，n均为正实数)，求+的最小值. 解　由题意得=+=-， 所以=m+n =m+n =+n， 由P，B，C三点共线得， m-n+n=m+n=1(m，n>0)， 所以+= =++≥+2 =+=(当且仅当3n2=4m2时取等号)， 即+的最小值为. 反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用均值不等式求最值. 跟踪训练3　如图，在长方形ABCD中，AB=6，AD=4，点P满足=λ，其中λ∈，则|+|的取值范围为　　　　.  答案　[8，10] 解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(6，0)，C(6，4)，D(0，4)， 设P(s，4)，因为=λ，所以(s，0)=λ(6，0)，即s=6λ，故P(6λ，4)，λ∈， 则+=(-6λ，-4)+(6-6λ，-4)=(6-12λ，-8)， |+|===，因为λ∈，当λ=时，|+|取得最小值8，当λ=0时，|+|取得最大值10，所以|+|的取值范围为[8，10]. 四、向量在三角形中的应用 例4　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足=+λ(+)，λ∈(0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案　C 解析　由原等式，得-=λ(+)，即=λ(+)， 根据平行四边形法则，知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心. 反思感悟　充分利用向量知识找到三角形中边或角之间的关系是解题的突破口. 跟踪训练4　已知△ABC满足-=k(其中k是非零常数)，则△ABC的形状一定是(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案　C 解析　如图，取=， =， ∴||=||=1. 又∵-=k， ∴-=k， ∴=k，∴EF∥BC， ∴=， ∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形. 1.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为(　　) A.m= B.m≠ C.m≠ D.m≠ 答案　B 解析　若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线， 因为=-=(3，1)， =-=(2-m，1-m)， 所以3(1-m)≠2-m，即m≠. 2.如图，设P为△ABC内一点，且2+2+=0，则S△ABP∶S△ABC等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设AB的中点是D(图略)， 因为+=2=-， 所以=-， 所以P为CD的五等分点， 所以△ABP的面积为△ABC的面积的. 3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若=λ+μ，则λ=　 　　，μ=　　 　.  答案　　 解析　以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略).不妨设AB=1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1).=(-2，2)，=(-2，1)，=(1，2)， ∵=λ+μ， ∴(-2，2)=λ(-2，1)+μ(1，2)， ∴解得 4.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为　　　　.  答案　5 解析　以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a，DP=x(0≤x≤a)， ∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， =(2，-x)，=(1，a-x)， ∴+3=(5，3a-4x)， |+3|2=25+(3a-4x)2≥25， 当x=时取等号. ∴|+3|的最小值为5. 课时对点练 [分值：65分] 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.如图，在△ABC中，=a，=b，=3，=2，则等于(　　) A.a+b B.a-b C.a+b D.-a+b 答案　D 解析　由平面向量的三角形法则，可知=+=+=-)-=-+=-a+b. 2.如图所示，||=||=1，||=，∠AOB=60°，OB⊥OC，设=x+y，则(　　) A.x=-2，y=-1 B.x=-2，y=1 C.x=2，y=-1 D.x=2，y=1 答案　B 解析　过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC，如图所示. 因为∠AOB=60°，OB⊥OC，所以∠COD=30°， 在Rt△ODC中，||=，∠OCD=90°， OD==2=2CD， 因为||=1，所以CD=OB=1， 所以四边形OBCD为平行四边形， 所以=+=-2+， 因为=x+y， 所以x=-2，y=1. 3.我国东汉末三国初的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“勾股圆方图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若=a，=b，=3，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案　B 解析　因为“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且=a，=b，=3， 则=+=+=++)=+=-+，解得=+， 所以=a+b. 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一个动点，若=x+y(x>0，y>0)，则的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　设BD，AE交于点O(图略)， 因为DE∥AB， 所以△AOB∽△EOD，所以==2， 所以AO=2OE，则=， 所以=x+y=x+y， 因为O，F，B三点共线， 所以x+y=1，即2-3x=2y， 因为x>0，y>0， 所以==， 4y+≥2=4， 当且仅当4y=，即y=时，等号成立，此时x=， 所以=≤=. 二、多项选择题(共6分) 5.下列结论正确的是(　　) A.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B.已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，-1)，P2(-1，3)，且=，则点P的坐标为 C.向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k).若A，B，C三点共线，则k的值为-2或11 D.已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且=x+y，则x+y=1 答案　BCD 解析　对于A，向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误； 对于B，设P(x，y)，由=，得(x-2，y+1)=(-1-x，3-y)， 则解得B正确； 对于C，=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)， =-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k). ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴(k-4)(12-k)-7(k-10)=0， 整理得k2-9k-22=0， 解得k=-2或k=11，C正确； 对于D，∵A，B，C三点共线， ∴存在λ∈R，使=λ， ∴-=λ(-)， ∴=(1-λ)+λ， ∴x=1-λ，y=λ， ∴x+y=1，D正确. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在线段AB的延长线上，且||=||，则点P的坐标为　　　　.  答案　(8，-15) 解析　∵点P在线段AB的延长线上， 且||=||， ∴=， ∴=+2=(4，-3)+2(2，-6) =(8，-15). 所以点P的坐标为(8，-15). 7.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若=+，则m=　　　　.  答案　 解析　因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以 =+=+-)=m+=m+， 因为B，P，N三点共线， 所以+m=1，m=. 8.已知△ABC的三个顶点都在圆O上，=+，且||=10，则圆O的面积为　　　　.  答案　25π 解析　设BC的中点为D，因为=+=+)=×2=， 所以点O与点D重合， 即△ABC的外接圆的圆心是边BC的中点， 因此△ABC是以BC为斜边的直角三角形， 因为||=10， 所以OA=OB=OC=||=5， 故圆O的面积为π·52=25π. 三、解答题(共24分) 9.(11分)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=CD=4，点P在线段AD上运动.求|+|的取值范围. 解　以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(8，0)，D(2，2)， 设=λ(λ∈[0，1])， 易知点P的坐标为(2λ，2λ)， 则+=(-2λ，-2λ)+(8-2λ，-2λ) =(8-4λ，-4λ)， 则|+|= =8=8， 又∵λ∈[0，1]， ∴|+|max=8，|+|min=4， ∴|+|∈[4，8]. 10.(13分)已知平行四边形ABCD中，=2，=2，=2. (1)用，表示；(5分) (2)若||=6，||=3，∠BAD=45°，如图建立直角坐标系，求和的坐标.(8分) 解　(1)=+， =+，又=2，所以-=2(-)， 所以=+=+. (2)过点D作AB的垂线交AB于点D'，如图所示， 在Rt△ADD'中，由∠BAD=45°可知，AD'=3， 根据题意得各点坐标为A(0，0)，B(6，0)，D(3，3)， F(7，1)，=+ =(6，0)+(3，3)=， 所以G， 所以==， =(4，-2). 学科网（北京）股份有限公司 $