6.3 平面向量线性运算的应用-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 6.3 6.3 平面向量线性运算的应用 刷基础 2 1.已知满足 （其中是非零常数），则 的形状一定是( ) C A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 题型1 向量在平面几何中的应用 3 解析 因为在中，（其中 是非零常数）， 所以，即 ， 所以 . 又，不共线，所以，所以，即 一定是等腰三角形. 故选C. 题型1 向量在平面几何中的应用 4 2.（多选）若正方形中，为正方形所在平面内一点，且,, ， 则下列说法正确的是( ) ABD A. 可以是平面内任意一个向量 B.若，则点在直线 上 C.若，，则 D.若，则 题型1 向量在平面几何中的应用 5 解析 对于A，由题意知，又,,，所以在以, }为基底的坐标 系中，根据平面向量基本定理易知 可以是平面内任意一个向量，故A正确； 对于B，由向量共线的推论知,若，则点在直线 上，故B正确； 对于C，由题设，则 ，所以 ，故C错误； 对于D，由，得，取为 的中点，连接，则，即，且 ，如图所示，所 以，故D正确.故选 . 题型1 向量在平面几何中的应用 6 3.［山东聊城一中2025月考］在中，,, ，， , ,交于点，则 ( ) C A. B. C. D. 题型1 向量在平面几何中的应用 7 解析 以为坐标原点，所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由已知可得,, ， 又，，则,，则.过点作 于 点，则,.因为,所以为的中点,所以为 的中点,所 以 ， 所以 ，故选C. 题型1 向量在平面几何中的应用 4.［甘肃白银2025模拟考试］在平面四边形中，已知的面积是 的面积的2倍.若 存在正实数,使得成立，则 的最小值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 向量在平面几何中的应用 9 解析 如图，连接，设与交于点，过点作于点，过点 作 于点 ， 的面积是的面积的2倍， . ,,,根据相似三角形的性质可知， ， , . 设 ， , , ，即, ，即 ， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为1.故选A. 题型1 向量在平面几何中的应用 10 5.用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、 下两底边. 题型1 向量在平面几何中的应用 11 【证明】因为所以 又因为，分别为，的中点，所以, ， 所以 . 因为,共线且同向，所以.不妨设 ,则 ，所以.又,无公共点，所以 .同理 . 所以梯形的中位线定理即证. 题型1 向量在平面几何中的应用 12 链接教材 此题是教材第174页例1的变式.用向量法解决平面几何问题的两种思想 （1）几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，再进行计算. （2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、 平行等问题转化为代数运算. 题型1 向量在平面几何中的应用 13 6.［黑龙江齐齐哈尔2024高二月考］如果一架飞机向西飞行，再向东飞行 ，记飞机 飞行的路程为，位移为，那么 ( ) A A. B. C. D. 题型2 向量在物理中的应用 14 解析 依题意，, ，所以 .故选A. 题型2 向量在物理中的应用 15 7.［广东佛山2024质检］如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接， 每根绳子与铅垂线的夹角均为 ，已知礼物的质量为 ，每根绳子的拉力大小相同， 则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（重力加速度 ）( ) C A. B. C. D. 题型2 向量在物理中的应用 16 解析 设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为，则 ，故 ，故选C. 题型2 向量在物理中的应用 17 8.［陕西韩城2024高一期中］已知一个物体在三个力，， 的作用下，处 于静止状态，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 向量在物理中的应用 18 解析 因为该物体静止，所以，所以 又因为 ，所以 .故选B. 题型2 向量在物理中的应用 19 9.［山东聊城一中2025高一月考（改编）］河中水流自西向东流速为，小船自南岸 点出 发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时 ，该小船行驶的方向 为________________，小船在静水中的速度为__________． 北偏西 方向 题型2 向量在物理中的应用 20 解析 如图所示，的方向代表水流方向，且， 的方向代表小船实际行驶的方向， 的方向即为小船行驶的方向，且，， ， 则，故 ， 故 ，小船行驶的方向为北偏西 方向， 且，即小船在静水中的速度为 . 题型2 向量在物理中的应用 21 10.一个所受重力大小为的物体从倾斜角为 ，斜面长 的光滑斜面顶端下滑到底端，则 重力做的功是_____. 解析 因为物体的重力为，物体在重力方向上的位移大小是 ,所以重力做 的功为 . 易错点 不能正确结合物理知识利用向量 22 易错警示 结合物理知识利用向量，注意力（或位移）的正交分解知识的应用，确定所求做功的力的大小与 所求做功的力的方向上位移的大小. 易错点 不能正确结合物理知识利用向量 23 6.3 6.3 平面向量线性运算的应用 刷能力 24 建议用时：30分钟 1.［云南师大附中2024高一月考］设表示“向东走”，表示“向南走 ”，则 所表示的意义为( ) A A.向东南走 B.向西南走 C.向东南走 D.向西南走 25 解析 因为表示“向东走”，表示“向南走”，所以 所表示的 意义为“向东走，向南走”，等价于“向东南走 ”.故选A. 26 2.一只鹰正以与水平方向成 角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在水 平地面上的影子的速度是 ，则鹰的飞行速度为( ) C A. B. C. D. 27 解析 设鹰的飞行速度为，鹰在地面上的影子的速度为，则 .因为鹰的运动方向 与水平方向成 角向下，所以 .故选C. 28 3.［四川宜宾2024高二开学考］在平面上有及其内一点 满足关系式： ，即称为经典的“奔驰定理”.已知的内角,, 所对的边分别为，，，若，则为 的( ) B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 29 解析 记点到，，的距离分别为，，，则， ， .因为 ，则 ，即 ，又因为 ，所以，所以点是 的内心.故选B. 30 4.［黑龙江大庆实验中学2025期中］勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、 工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以三角形 边长为半径作圆弧， 由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形的边长为60，点， 分别为 线段，的中点，点为圆弧上的一动点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 31 解析 如图，连接，取的中点为，的重心为，连接, ,易得 ， ， 则 ， 设，则，设的中点为，连接 , 则， ， 则 ，则 ， 在扇形中，当,,三点共线时，最小，所以 的最小值为 ，的最小值为 .故 选B. 32 5.（多选）［湖北武汉武钢三中2024月考］若的三个内角均小于 ，点 满足 ，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点 被人们称为 费马点.根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量,满足，且 ， 则 的取值可以是( ) AB A.10 B. C.3 D. 33 解析 因为，，所以可设， ， 三点的距离之和，则是等腰锐角三角形.如图，由费马点的性质可知，当点 满 足 时，点 到三角形三个顶点的距离之和最小，因为 ，所以，故，, ,则 的最小值是.故选 . ，则，即为点到, , 34 6.已知飞机从地按北偏东 的方向飞行到达地，再从地按南偏东 的方向飞行 到达地，再从地按西南方向飞行到达地.求地到 地位移的大小. 35 【解】如图，以为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在轴正半轴上， 点在第四象限， 由已知可得，为正三角形，，所以 ． 过点作,交于点,又 ，，则,则点 是的中点，可知直线垂直平分线段 ， 所以，所以地到地位移大小为 . 36 7.已知，向量， . （1）如图，若四边形为平行四边形，求点 的坐标； 【解】设点的坐标为，由，，，可得, ， 则，若四边形为平行四边形，则 ， 则解得故点的坐标为 . 37 （2）若点为线段上靠近点的三等分点，求点 的坐标. [答案] 设点的坐标为，由（1）可知,，则 , . 若点为线段上靠近点的三等分点，则，则解得 故点的坐标为 . 38 $$