第6.2节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 第6.2节 第6.2节 综合训练 刷能力 2 建议用时：60分钟 1.［山东部分学校2025联考］已知向量,，若 ，则向 量 的坐标为( ) D A. B. C. D. 3 解析 向量,，若 ，则 .故选D. 4 2.［辽宁沈阳二中2024高一期末］已知向量，，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 5 解析 由题知 ， ，且 ，所以 ，即，解得 .故选B. 6 3.若{ ， }是一组基底，向量，则称为向量 在基底 ， 下的坐 标.现已知向量在基底，下的坐标为，则 在另一组基底 ， 下的坐标为( ) D A. B. C. D. 7 解析 因为在基底，下的坐标为，所以 . 令，所以 解得 所以在基底，下的坐标为 .故选D. 8 4.［河南部分名校2024段考联考］已知为等边三角形，分别以， 为边作正六边形，如图所示，则( ) A A. B. C. D. 9 解析 选取,为基底，则， ， . 设 ， 即 故选A. 10 5.［内蒙古赤峰部分名校2025联考］已知在中，是线段 上异于端点的任意一点．若向 量，则 的最小值为( ) C A.6 B.12 C.18 D.24 11 解析 由是线段上异于端点的任意一点，向量,可得，且 ， ，所以，当且仅当 ， 结合，即，时，等号成立，故 的最小值为18．故选C. 12 6.已知非零向量，，，其中与是相反向量，且，，则 ( ) B A. B. C. D.8 13 解析 由题可知 ， 则即 解得所以 .故选B. 14 7.在平面直角坐标系中，点,分别在轴和轴上运动，且，点和点 满足 ，则 的最大值为( ) D A.2 B. C. D. 15 解析 设，，，则，， ， 由，得即由 ，得 ，故 ， 即，即有，且 ， 则 ，由 ， 可知当时，有最大值，且的最大值为 . 故选D. 16 8.［山东泰安2025质检］如图所示，在正六边形中，点是 内 （包括边界）的一个动点，设，则 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 17 解析 在正六边形中，连接，以直线为轴，线段 的垂直平分线 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 令，则,,,,, ， 因此,，因为 ，所以 ，所以点坐标为.又点是 内 （包括边界）的一个动点， 由图可知点纵坐标的取值范围为,即，则，则 的取值 范围是 .故选B. 18 9.（多选）［辽宁五校2025高一期末联考］下列各组向量中，不能作为基底的是( ) ABD A., B., C., D., 19 解析 要使平面中两个向量能作为基底，必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系， A中含零向量，不能作为基底，故A符合；对于B，，则与 共 线，不能作为基底，故B符合；对于D，由，与 共线， 不能作为基底，故D符合；对于C，两向量不存在倍数关系，可以作为基底，故C不符合.故选 . 20 10.（多选）［江西景德镇第一中学2025高一期末］如图，在四边形中，， 为 的中点，与交于点，与交于点，设， ，则下列结论正确的是 ( ) AC A. B. C. D.若，则 21 解析 对于选项A，因为，所以，且，所以 ，所以 ，故A正确； 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点，所以，与, 相交于 点 矛盾，故B错误； 对于选项C，因为为的中点，所以 ，故C正确； 对于选项D，方法一：由题意可设， ， 所以 ， 又，所以，，所以 ，故D错误. 方法二：因为,,三点共线，所以，且 ，又 ，，所以， ，所以 ，故D错误.故选 . 22 11.［山东济宁2025高一质检］已知向量， ． （1）求 ； 【解】因为向量， ， 所以 所以 . （2）若向量满足，求向量 ； [答案] 因为，所以 ，所以 . 23 （3）在（2）的条件下，若，求实数, 的值. [答案] 由（2）知，，因为，所以 . 所以解得 24 12.［山东部分学校2024高一联考］如图，在中，是 边上的中线. （1）取的中点，试用和表示 . 【解】因为为的中点，所以.又为 的中点， 所以 . 25 （2）若是上一点，且，直线过点，交于点，交于点.若 ， ，求 的最小值. [答案] 由，，得， ， 又 ， 所以 . 又因为，， 三点共线， 所以，则，当且仅当 ， 即时取等号，所以 的最小值为 . 26 13.已知点，，，为坐标原点.若，且，求 的取值范围. 【解】因为，，且 ， 所以，即 . 又因为，所以 因为，所以，解得，所以 ，所 以，即的取值范围是 . 27 14.［辽宁部分重点学校2025高一期末联考］如图，在等腰梯形中， ， ，为线段的中点，与交于点，连接，为线段 上的一 个动点. （1）用基底,}表示 ； 【解】由向量的线性运算可得①， ， 因为为线段的中点，所以 . 由题意可得 ， 则得，整理得 ， 则 28 解析 多种解法 因为 ， ， 将②代入①得 . 29 （2）求 的值； [答案] 设 ③， 设，则，即 ， 由③④得消去 得，所以，所以，所以 . 30 （3）设，求 的取值范围. 31 [答案] 由题意，可设 ， 则 . 又，所以可得 所以 . 因为，且函数在 上单调递减， 所以 . 因为函数在 上单调递减， 所以， ， 所以的取值范围为 . 15.［2024集英苑冬季竞赛］平面向量,，则 ( ) B A.3 B.5 C.7 D.11 33 解析 因为,，所以 ，所以 .故选B. 34 16.［2024全国数学高中联赛吉林赛区预赛］在四边形中， ，设 .若，则 ( ) B A. B. C.1 D.2 35 解析 如图，过作，交于点,又, 四边形 是平行四边形， .又,, ， ，即.又,，则 ．故选B． 36 $$