第四章 指数函数、对数函数与幂函数 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件系统梳理了函数的定义域、单调性、奇偶性、图像特征及导数应用等核心知识，通过例题解析与名师点拨串联知识点，构建“概念-性质-应用”的逻辑网络，帮助学生形成完整的函数知识体系。 其特色在于采用“基础题-变式训练-综合应用”的分层设计，如通过函数图像判断口诀培养数学眼光，结合导数分析单调性发展数学思维，利用分段函数不等式求解提升数学语言表达能力。这种设计兼顾不同水平学生，教师可精准诊断学情，提高复习效率。

数学 必修第二册 RJB 1 4 第四章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.［吉林长春八中2025高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 3 解析 由题意得解得且，则函数的定义域为 .故选D. 4 2.［山东淄博部分学校2025高一期中联考］若,，则 ( ) C A. B. C. D. 5 解析 因为，所以，所以 .故选C. 6 3.已知函数的定义域为，在任意区间内的平均变化率均比 的平均变化率大， 则下列不等式正确的是( ) D A. B. C. D. 7 解析 取区间，则有 ，即 .而 , . 8 4.［江苏苏州十中2025高一段考］函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 9 解析 因为，所以的定义域为 ，关于原点对称， 又因为 ， 所以函数 是奇函数， 所以 的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为,，所以 ，故C错误； 因为， ， 又，所以，则 ， 所以，即，所以在 上并不单调递增， 故D错误； 由于排除了选项，而且选项A中的图象满足上述 的性质，故A正确.故选A. 10 名师点拨 判断函数图象的口诀：一定二奇偶三单调四特值. 11 5.已知，,，，则，， 的大小关系正确的为( ) B A. B. C. D. 12 解析 由，得 ， 由指数函数的单调性，单调递减，故 ， 由幂函数的单调性，在上单调递增，故 ， 综上， .故选B. 13 6.若 ，则( ) B A. B. C. D. 14 思路导引 观察题中不等式，两侧底数相同，但是指数参数不相同，可以尝试移项得 ，则可构造函数，利用函数的单调性判断, 之 间的关系. 15 解析 ， . 设，则原不等式等价于 . 函数在上单调递增， ， ，故选B． 16 7.［福建福州一中2025高一段考］设函数和，若两函数在区间 上的单调 性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数 的 “稳定区间”，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 17 解析 函数在上单调递减，函数在 上单调递增, 若区间为函数 的“稳定区间”， 则函数与函数在区间 上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间 上恒成立， 可得解得 ； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间 上恒成立， 18 即 不等式组无解； 综上所述, . 故选C. 8.［浙江杭州2025模拟］对，不等式 恒成立，则( ) D A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 20 解析 由得 ， 对于选项A,B，若，可令，不等式可化为 ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， ， ， 当时，, ， 要使恒成立，则需，即 恒成立， 21 ， 综上可得，不存在使得不等式 恒成立，选项A,B错误. 对于选项C,D，若 ， ， ， ， 要使不等式恒成立，则需 ， 函数,在 为增函数， 函数, 有相同的零点， 由得，由得，，即 ， ， ，选项C错误，D正确. 故选D. 9.［山东临沂2024高一阶段测试］如图表示一位骑自 行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 的甲、乙 两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数 关系，下列说法正确的是( ) AB A.骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到 B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发 后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发 后与骑自行车者速度一样 23 解析 由时间轴可知，骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到 ，A正确； 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与 时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确； 摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者 ，自行车后两小时的速度为 ，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发 后追上了 骑自行车者，故C，D错误.故选 . 24 10.［辽宁沈阳第一二零中学2025高一质检］已知函数 若 ，且 ，则下列结论正确的是( ) BCD A. B. C. D. 25 解析 由函数解析式可作出 的大致图象如图所示： 由图知 ，A错误； 由知，即 ， ，B正确； ，而当时，有，即 或2， ，在 上单调递减， 可得 ， 即 ，C正确； ，，D正确.故选 . 26 11.［河北邯郸部分学校2024高一联考］已知函数（， 为自 然对数的底数），则( ) ABC A.函数 至多有2个零点 B.当时，，总有 成立 C.函数 至少有1个零点 D.当时，方程 有3个不同实数根 27 解析 对于A选项,令,可得,令,得,可得 , 故当时,函数有2个零点,所以函数 至多有2个零点,A正确. 对于B选项,当时,函数在 上单调递增, 函数在上单调递增,且 , 所以当时,函数在 上为增函数, 故当时,,不妨设,则,则 ,B正确. 对于C选项,当时,函数在上无零点,在上有唯一零点 ； 当时,函数 有两个零点； 当时,函数在上有唯一零点,在 上无零点. 综上所述,函数 至少有一个零点,C正确. 28 对于D选项,当时, 令,则方程为 . 当时,由可得,解得 ； 当时,由可得,解得 . 当时,由可得,即,解得 , 由可得,即,解得 ； 当时,由可得,即 ,该方程无解, 由可得,解得 . 综上所述,方程的解集为,,, , 所以当时,方程有4个不同实数根,D不正确.故选 . 12.［河南二十名校2025高一联考］已知函数，且 的图象恒过点 ，则函数 的单调递减区间为__________. 解析 当时， ， 所以的图象过定点 ， 即, ， 所以 ， 令，解得或 ， 函数在上单调递减，在 上单调递增， 又 在 上单调递增， 所以在 上单调递减， 即的单调递减区间为 . 30 13.,表示，两者中较大的一个．记,， ， ，则 的最小值为___． 2 解析 如图，作出函数， 的图象， 则实线部分即为函数 的图象， 由图可知，当时， 有最小值2， 所以， 的最小值为2. 31 14.设函数则不等式 的解集为________. 解析 函数的大致图象如图所示，由图可知，函数是 上的增 函数，当时， . （1）当时， ，不等式显然成立. （2）当时， ， ，不等式 成立. （3）当时， ，解得 . 综上所述，不等式的解集为 . 32 15.（本小题满分13分）［湖南株洲二中2025高一期中］ （1）计算： ； 【解】 . （2）已知，，求 的值. [答案] 因为， ， 所以 . 33 16.（本小题满分15分）［湖北荆门2024高一期末］已知函数 ． （1）若对任意，不等式恒成立，求实数 的最小值； 【解】不等式，即为 ， 化简，即对任意 恒成立， 记 . 由于时，，则 ， 所以，故 的最小值为2. 34 （2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称 为 “可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数 的取值范围． [答案] 由于函数 是“可构造三角形函数”， 所以恒成立，所以 . 根据条件知，必有 . 当时，是上的增函数，则的值域为，则，得 . 当时， ，符合题意； 当时，是上的减函数，则的值域为，则，得 . 综上，实数的取值范围为 . 35 思路导引 第（1）问直接利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围后 即可得参数的最小值；第（2）问根据已知条件将问题转化为， ，再利 用函数单调性与函数最值的关系求解. 36 17.（本小题满分15分）［江苏南京六校2025高一联考］某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名 著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分（单位：分）与当日阅读时间 （单位：分钟）的函数关系.要求如下： （ⅰ）函数的部分图象接近图示； （ⅱ）每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； （ⅲ）每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； （ⅳ）每日阅读最多得分不超过6分. 37 现有以下三个函数模型供选择: ； ； . （1）请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由. 【解】根据题意可得应选择增长速度为先快后慢的增长模型， 所以选对数函数模型，故选 . 38 （2）根据你对（1）的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式. [答案] 由题意及（1）可知点，在 的图象上， 所以解得， ， 所以 ， 令，可得，解得 ， 所以函数模型的解析式为 39 （3）若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） 注： . [答案] 令，可得 ， 即，解得 ， 所以每日的得分不少于5分，至少需要阅读66分钟. 40 18.（本小题满分17分）已知定义在上的函数满足：对任意, 都有 ，且当时， . （1）求的值，并证明： 为奇函数； 【解】令,可得,可得 . 因为函数的定义域为 , 在等式中,令,有 , 所以,所以 为奇函数. 41 （2）证明：函数在 上单调递增； 【证明】令, , 则 , 设,则,所以 . 所以 , 即 , 所以函数在 上单调递增. 42 （3）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 【解】因为 , 所以 , 又函数在上单调递增,所以,则 . 令,则,于是 , 当且仅当时, 取最大值1, 所以实数的取值范围为 . 43 19.（本小题满分17分）［辽宁大连育明高级中学2025高一期末］已知函数 ，且的图象过点 . （1）求函数 的解析式； 【解】由函数的图象过点，可得，解得 ， 故函数的解析式为 . 44 （2）若函数为的反函数，且在上单调递减，求 的取值范围； [答案] 因为函数为的反函数，所以 ， 易知在 上单调递减， 又在上单调递减，所以函数在 上单调递增，且 在 上恒成立， 因此解得 , 所以的取值范围为 . 45 （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数 ，对 于任意，都存在，使得等式成立，求实数 的取值范围. 46 [答案] 因为，所以 由为奇函数，为偶函数可知 ， 可得, . 又，对于任意都有 ， 因为对于任意，都存在，使得等式 成立, 所以在 上恒成立， 因为在上单调递减，在 上单调递增， 即在 上单调递减， 所以, . 47 令, ， 则 . 则在上恒成立等价于在, 上恒成立， 可得，因此 . 又 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 即 ， 因此实数的取值范围为 . $$