第四章 指数函数、对数函数与幂函数 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统覆盖指数对数计算、函数性质比较、零点问题及应用等核心考点，通过考点分层梳理、归纳总结及高考真题与原创题结合，将概念公式性质应用串联成完整知识网络，帮助学生构建系统的函数知识体系。 其亮点在于采用“真题演练-归纳方法-变式拓展”复习策略，如比较大小考点通过同底异底分类归纳方法，零点问题结合图像分析培养数学思维的推理能力，函数应用题联系生活实际发展数学眼光的抽象能力与数学语言的模型意识。这种设计兼顾基础巩固与能力提升，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

数学 必修第二册 RJB 1 4 第四章高考强化 刷真题 2 1.［北京2024·9，4分］已知,是函数 的图象上两个不同的点，则( ) B A. B. C. D. 考点1 指数、对数的计算 3 解析 ,, 等号取不到， 即 .故选B. 考点1 指数、对数的计算 4 2.［天津2021·7，5分］若,则 ( ) C A. B. C.1 D. 考点1 指数、对数的计算 5 解析 因为，所以，，所以 ，故 选C. 考点1 指数、对数的计算 6 3.［浙江2022·7，4分］已知,,则 ( ) C A.25 B.5 C. D. 考点1 指数、对数的计算 7 解析 因为，所以， ，所以 ，故选C． 考点1 指数、对数的计算 8 4.［全国甲理2024·15，5分］已知且,则 ____. 64 考点1 指数、对数的计算 9 解析 因为,所以.又 ,故 ，解得 . 考点1 指数、对数的计算 10 5.［北京2023·11,5分］已知函数，则 ___. 1 考点1 指数、对数的计算 11 解析 因为 , 所以 . 考点1 指数、对数的计算 12 6.［天津2023·3，5分］设,,，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 13 解析 依题意,函数在上单调递增,因为,所以,即 . 又,所以 .故选D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 14 归纳总结 解答指数、对数式比较大小问题的方法：①同底数的指数或对数式可以利用指数或对数函数的单 调性比较大小；②不同底的指数、对数式，先看是否能化成同底，如不能，则可借助于中间值 0,1等比较大小. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 15 7.［全国新高考Ⅱ2021·7，5分］设，， ，则( ) C A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 16 解析 因为，，所以 .故选C. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 17 8.［全国甲文2022·12，5分］已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 18 思路导引 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 19 解析 因为，所以 . 又因为，所以 ，即 .故，所以 . 因为，所以，即 . 故，所以.综上 ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 20 9.［全国甲文2023·11，5分］已知函数.记,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 21 解析 由题意得,则函数的图象关于直线对称,且在 上单 调递增,在 上单调递减. 因为,所以,.因为 ,所以 ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 22 10.［全国新课标Ⅰ2024·6，5分］已知函数在上单调递增,则 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 23 解析 当时，函数，若函数在 上单 调递增，则有，即；当时，函数，函数在 上单调递增.因为函数在上单调递增，所以，解得 .综上可得 .故选B. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 24 快解 当时，显然函数在 上不单调，可排除 C选项和D选项；当时，当从0的左侧趋近于0时， ， 而，所以函数在 上不单调，可排除A.故选B. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 25 归纳总结 单调分段函数的解题策略 （1）首先在各段上具有相同的单调性；（2）在分段端点处函数值要保证“有效”衔接. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 26 11.［全国新课标Ⅱ，2023·4，5分］若为偶函数，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 27 解析 由,得或,故的定义域为.由 为偶函数可 知,即,化简得 . 又,即,所以,解得 ,故选B. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 28 多种解法 设,,则 .因为 ,所以为奇函数.又为偶函数,所以 为奇 函数,所以 ,故选B. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 29 12.［全国新课标Ⅰ2023·4，5分］设函数在区间单调递减，则 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 30 解析 因为在上是增函数,所以函数在 上单调递减,所以 ,解得,即的取值范围是 ,故选D. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 31 13.［北京2023·4，5分］下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 32 解析 对于A,因为在 上单调递增, 所以在 上单调递减,故A错误； 对于B,在 上单调递减,故B错误； 对于C,因为在 上单调递减, 所以在 上单调递增,故C正确； 对于D,因为,, , 所以在 上不单调,D错误.故选C. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 33 14.［全国新课标Ⅱ2024·8，5分］设函数.若,则 的最小 值为( ) C A. B. C. D.1 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 34 解析 可看作与在定义域 内同正同负，因此两函数图象与 轴的交点重合，如图所示. 令，，得，即 ， ，所以的最小值为 ，故选C. 考点3 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 35 15.［课标全国Ⅰ理2018·9，5分］已知函数.若 存在 2个零点，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 36 解析 函数存在2个零点， 函数的图象与 的图象有2个交点.如图， 平移直线,可以看出当且仅当即时，直线与 的图象有2 个交点.故选C. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 37 16.［山东理2017·10,5分］已知当时，函数的图象与 的图象 有且只有一个交点，则正实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 38 解析 当时，的值域为，且在 上单调递增. . 由，当,即时，函数在 上单调递减，值域为 .两函数图象有且只有一个交点，如图①. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 39 图① 图② 当,即时，函数在上单调递减，在 上单调递增，值域为 .如图②,若两函数图象在上有且只有一个交点，则 解 得 . 综上，的取值范围是 .故选B. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 17.［北京2021·15,5分］已知函数 ，给出下列四个结论: ①当时， 恰有2个零点; ②存在负数，使得 恰有1个零点; ③存在负数，使得 恰有3个零点; ④存在正数，使得 恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. ①②④ 考点4 指、对、幂函数的零点问题 41 思路导引 考点4 指、对、幂函数的零点问题 42 解析 令，得.对①，当时，，即或 ，则 或，所以方程有两个不等实数根，即 有2个零点，故①正确. 对②和③，的零点个数即为函数与函数 图象的交点个数，画出函数 的图象，如图，的图象过定点.当 时，由图象可以看出，当 与函数的图象相切时，两函数图象有一个公共点，即，使得 有1 个零点，而两函数图象最多有两个交点，所以当时， 不可能有3个零点，故②正确，③ 错误； 当时，由图象可以看出，与函数 的图象可能有一个、两个或三个交点， 所以,使得 有3个零点，故④正确.正确的序号为①②④. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 43 名师点拨 的零点个数即为方程的根的个数，也为函数与函数 图象的 交点个数. 考点4 指、对、幂函数的零点问题 44 18.［天津2023·15，5分］设,函数.若 恰有两个零点， 则 的取值范围为________________________. 思路导引 令判断的正负分类讨论去绝对值,化简 的解析 式 的取值范围 考点4 指、对、幂函数的零点问题 45 解析 令,则 , 当时,,恒成立,此时 . 当时,令,则,当 时, , 有且仅有两个零点； 当时,, 有且仅有一个零点,不符合题意, 所以或或 . 当或时,,方程有两个不等实根,设为,, , 所以 考点4 指、对、幂函数的零点问题 46 设,令,解得或 ；设 ,令,解得或 . 当时,,,所以 有且仅有两个零点,符合题意. 当时,因为,且 , 所以 有且仅有两个零点,符合题意. 综上所述,的取值范围为 . 考点4 指、对、幂函数的零点问题 19.（多选）［全国新课标Ⅰ2023·10，5分］噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音 的强弱，定义声压级,其中常数是听觉下限阈值， 是实际声压.下表为不 同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,, ,则( ) ACD A. B. C. D. 考点5 函数的应用 48 解析 由,对于燃油汽车,即 , ,即 ；同理,对 于混合动力汽车；对于电动汽车,则 , ,,选项C正确.,选项A正确. , 则,选项B错误.,则,选项D正确.故选 . 考点5 函数的应用 49 20.［北京2022·7，4分］在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带” 使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作 出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和 的关 系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是 .下列结论 中正确的是( ) D A.当， 时，二氧化碳处于液态 B.当, 时，二氧化碳处于气态 C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态 D.当, 时，二氧化碳处于超临界状态 考点5 函数的应用 50 解析 对于A选项，当，时， ，根据题图可知，二 氧化碳处于固态； 对于B选项，当，时， ，根据题图可知，二氧化碳处于液态； 对于C选项，当，时，，且 接近于4，根据题图 可知，二氧化碳处于固态； 对于D选项，当，时， ，根据题图可知，二氧化碳处于超 临界状态.故选D. 考点5 函数的应用 51 21.［全国甲理2021·4，5分］青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据 满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 考点5 函数的应用 52 解析 将代入,得,即 ,故选C. 考点5 函数的应用 名师点拨 （1）且, . （2） . 考点5 函数的应用 54 4 第四章高考强化 刷原创 55 1.已知指数函数为增函数，且图象过点,,，则 满足( ) C A.当时，有最大值 B.当 时，有最大值5 C.当时，有最小值32 D.当 时，有最小值2 56 解析 因为为增函数,所以,又,,则, , , , 又,取倒数后整理可得 . ,则,当时,, ,故 ,由对勾函数的性质知在 上单调 递增,故 . 又由于递增,递减,且, ,则 ,B，D错误.当时，, ,故 ,当且仅当 时等号成立,C正确.故选C. 57 2.实数,,, 从小到大排列为_____________________. 解析 因为,,则由在上单调递增,在 上单调递增, 知,故,又由函数 为增函数,得 ,则 . 58 3.已知函数 . （1）判断函数 的单调性，并证明； 【解】函数在 上单调递增. 证明：对,,则,则函数的定义域为 . 又,即,故函数 为奇函数. 任取 ,则 ,故,因此 ,所以函数 在区间 上单调递增. 又函数为上的奇函数,所以函数在 上单调递增. 59 （2）函数，若对任意满足的正数,，都有 ，求实 数 的取值范围. [答案] 因为,在上单调递增,所以,即 , 故 , 当且仅当时等号成立,所以,因此 , 所以 的取值范围为 . 60 4.已知函数 （1）若，，使得，求解关于的方程 ； 【解】由题意知,因为 为减函数,故 .若,则时,,,与 矛盾,不符合题 意,故 . 当时，在上单调递增，故在 处取得最大值且为 ,即.要使,即,因为,当 时， 的最大值为0，且在处取得，故,即 . 所以方程的解集为 }. 61 （2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数 的取值范围. [答案] 因为曲线关于直线对称的曲线为,则函数 的图象上若存在关于 直线对称的点,即曲线与的图象在 上有公共点, 故,使,即在 时成立. 因为函数在上单调递增,所以函数在 上单调递增,当 时, ,当时, . 所以,即的取值范围为 . 62 $$