4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“数学建模活动：生长规律的描述”，核心围绕指数、对数、幂函数的增长差异及函数模型拟合应用，通过细菌分裂、火炬燃烧等实际情境导入，衔接函数概念，搭建从理论到建模实践的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体，如红柚成本变化、舆论指数增长等案例，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维分析数据，通过图象解读和模型拟合提升数学语言表达能力。教师可借助丰富实例与规律方法优化教学，学生能在探究中增强建模应用意识与创新思维。

数学 必修第二册 RJB 1 4.7 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 刷基础 2 1.（多选）已知函数，，，当在 上逐渐增大时，下列关于这三个函 数的描述正确的是( ) BD A.的增长速度越来越快 B. 的增长速度越来越快 C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于 题型1 不同的函数增长应用 3 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数，， 的图象， 如图所示， 由图可知 的增长速度没有变化，所以A错误； 在上， 的增长速度越来越快，所以B正确； 由图可知在上，的增长速度最慢，而在上， 的增长速度最 快，所以C错误，D正确.故选 . 题型1 不同的函数增长应用 2.下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型，且 的是( ) B A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） B.我国人口年自然增长率为 时，我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间 的函数关系 D.信件的邮资与其质量间的函数关系 题型1 不同的函数增长应用 5 解析 A，竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数 关系； B，我国人口年自然增长率为 时，我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系； C，如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间 的函数关系是反比例函数 关系； D，信件的邮资与其质量间的函数关系一般是分段函数关系，且每段都是常数函数.故选B. 题型1 不同的函数增长应用 6 3.［陕西汉中2025高一月考］有一组实验数据如表： 2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这组数据的最佳函数模型是( ) C A. B. C. D. 题型1 不同的函数增长应用 7 解析 通过所给数据可知，随 的增大而增大，且增长的速度越来越快，B选项中的函数增长速 度越来越慢，不正确，D选项中的函数增长速度没有变化，不正确，对于C选项，当 时， ；对于A，当时， ，误差偏大，故C选项正确.故选C. 题型1 不同的函数增长应用 8 规律方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是通过平均变化率观察函数图象上升 的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. 题型1 不同的函数增长应用 9 4.［四川资阳2025高一开学考］一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄 （单位：岁）的 关系可以用下面的分段函数来表示：其中, ，而且这种细胞从诞生 到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，则 ( ) B A.6.402 B.6.462 C.6.502 D.6.522 题型1 不同的函数增长应用 10 解析 由细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，即，所以 ，整理 得，又分裂速度变化是连续的，则，整理得 ， 所以，解得 .故选B. 题型1 不同的函数增长应用 11 5.［辽宁大连八中2024高一期中］杭州亚运会火炬如图①所示，小红在数学建模活动时将其抽象 为图②所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 ， 则关于时间 的函数的 大致图象可能是( ) A 图① 图② A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 12 解析 由题图可知，该火炬中间细，两端粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃 料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度 下降得越来越慢，结合所给的函数图象，A选项较为合适，故选A. 题型2 函数图象的解读 13 6.2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示.将年份作为自变量 ， 当年电影放映场次作为函数值 ，则下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次 逐年变化规律的函数是( ) D A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 14 解析 由题图可知在第一象限内，是关于的增函数.当时， 在第一象限内是减函数， 当时，在第一象限内没有图象，故 最不适合.故选D. 题型2 函数图象的解读 15 7.植物研究者在研究某种植物 年内的植株高度时，将得到的数据 用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在 年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( ) B A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 16 解析 由散点图可知，植株高度增长越来越缓慢，故选择对数型函数模型.故选B. 题型2 函数图象的解读 17 8.［湖南长沙一中2024高一开学检测］某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服 用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间 （单位：时） 之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当 时， 曲线是函数 图象的一部分.根据进一步测定，每毫升血液中含 药量不少于2微克时，治疗有效. （1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间 之间的函数关系式. 题型2 函数图象的解读 18 【解】当时，由题中图象可设 ， 将点的坐标代入上述解析式，解得 ， 即当时， . 当时，将点的坐标代入,解得 . 所以 题型2 函数图象的解读 19 （2）问服药多久之后开始有治疗效果，治疗效果能持续多少小时？（精确到 ，参考数据： ） [答案] 令 ， 解得或 （舍去）， 故服药约0.3小时之后开始有治疗效果. 令，即 ， 解得 . 又因为，所以 . 因为 ， 所以服药后的治疗效果能持续5.2小时. 题型2 函数图象的解读 20 9.［山东菏泽2025高一调研］某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成 本（单位：元/）与上市时间 （单位：天）的数据如下表： 时间 50 110 250 种植成本 150 108 150 根据上表数据，函数，，， .能够描述 西红柿种植成本与上市时间 的变化关系的是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 题型3 函数模型的拟合 21 解析 根据题中表格数据，西红柿种植成本与上市时间 的变化关系不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在 时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是 ，故选B. 题型3 函数模型的拟合 22 10.［广东十八校2025高一期末联考］舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋 势的指标.对于舆论事件出现的第天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于 ， 则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现的第 1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ；,且；,且 ,其中含 的项的系数均不为0. （1）请从①②③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； 【解】根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数型函数模型，故选③. 题型3 函数模型的拟合 23 （2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天的舆论场指数； [答案] 将题中表格数据代入，得解得 故函数模型为 ， 则第4天的舆论场指数为 . 题型3 函数模型的拟合 24 （3）若本次舆情不是严重的，求 的最小值. [答案] 若本次舆情不是严重的，则 恒成立， 即恒成立，故两边同时除以，得 ， 不妨设,，则，整理得 ， 由于在上单调递减，故只需要当时， 成立即可， 代入得，解得 ， 故的最小值为 . 题型3 函数模型的拟合 25 $$