4.7数学建模活动：生长规律的描述 教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该教案聚焦用函数构建数学模型描述生长规律，导入从数学建模的历史与定义切入，结合香港7岁以下女童身高数据情境，引导发现增长速度问题，搭建从建模一般过程到具体应用的学习支架。 特色是以真实数据驱动建模全流程，通过观察数据规律（数学眼光）、选择幂函数模型（数学思维）、对比数据验证模型（数学语言），发展数据分析与建模素养。实例中用身高数据建函数并检验误差，培养学生解决实际问题能力，为教师提供可操作的建模教学范例。

数学建模活动：生长规律的描述 【教学目标】 1．收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义. 2．通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养. 【教学重难点】 何借助函数刻画实际问题. 【教学过程】 一、激趣导入 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的. 问题 你知道什么是数学建模吗？ 提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题. 二、合作探究：生长规律的描述 1．发现问题，提出问题 生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.例如，香港特别行政区卫生署2010年发布的《香港特别行政区7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，香港7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时) 年龄/岁 0 0.5 1 1．5 2 2．5 3 身高/cm 49．7 66．8 75 81．5 87．2 92．1 96．3 年龄/岁 3．5 4 4．5 5 5．5 6 6．5 身高/cm 99．4 103．1 106．7 110．2 113．5 116．6 119．4 以上数据可用下图表示 从数据和图都可以看出，香港地区7岁以下女童身高的增长速度越来越慢，能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢？ 2．分析问题、建立模型 要描述生长规律，实际上是要描述当一个量(记为x)变化时，另外一个量(记为y)会怎样变化.例如，随着年龄的增长，身高将怎样变化？ 不难想到，我们可以借助函数y＝f(x)来描述生长规律. 因为从生长规律来说，当x增大时，y是增大的，这说明函数y＝f(x)在指定的范围内应该是增函数；又因为不同的时间段有不同的增长速度，所以函数y＝f(x)不能是一次函数. 为了简单起见，可以假设函数的变量x，y都是连续变化的(也就是说可以取某个区间内的任意值). 当然，根据不同对象的生长规律，可以选择不同的函数形式. 对于香港地区7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数y＝具有这种性质，因此生长规律可用g(x)＝a＋b来描述. 3．确定参数、计算求解 对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝a＋b来说，为了确定a，b的值可以在已有的数据中选择两对代入函数式，然后列方程组求解. 例如，如果选择的是g(0)＝49．7与g（4）＝103．1，则有 由此可解得a＝26．7，b＝49．7， 所以g(x)＝26．7＋49．7． 4．验证结果、改进模型 因为在求解时，我们都只用到了部分已有的数据，因此可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣. 例如，对于描述香港地区7岁以下女童身高的函数g(x)＝26．7＋49．7来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表. 年龄/岁 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 g(x) 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 年龄/岁 3.5 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 g(x) 99.7 106.3 109.4 112.3 115.1 117.8 由表可以看出，误差都在2 cm以内，因此g(x)＝26．7＋49．7能够较好地反映香港地区7岁以下女童身高的生长规律. 【课堂小结】 1．用函数构建数学模型解决实际问题的步骤 （1）观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析； （2）发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系； （3）收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型； （4）选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； （5）求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型； （6）检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的. 2．数学建模活动的要求 （1）组建团队；（2）开展研究报告；（3）撰写研究报告；（4）交流 学科网（北京）股份有限公司 $