4.6 函数的应用（二）-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 4.6 4.6 函数的应用（二） 刷基础 2 1.［四川内江2025高一期末］某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：）与时间（单位：）间的关系为（其中， 是正常数），如果在 前消除了的污染物，那么污染物减少 需要花费的时间约为( ) （参考数据：, ） D A. B. C. D. 题型1 指数函数的应用 3 解析 根据题意可知,当时,为最开始的污染物含量.当 时,废气的污染物含量为 ，所以.所以当污染物减少时,可设 所以 ,所以,则.所以,所以 . 故选D. 题型1 指数函数的应用 4 2.［重庆一中2024高一期中］宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁 给了“阿秒光脉冲”，光速约为，1阿秒等于.现有一条 的线段，第一次 截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则 需要截（参考数据：, ）( ) B A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 题型1 指数函数的应用 5 解析 根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为 . 设截次后,剩余的长度为（单位:）,则 . 令,可得 , 结合函数 的单调性,两边同时取对数可得 , 所以 .所以应当截31次.故选B. 题型1 指数函数的应用 6 3.［湖北恩施部分学校2025高一期末联考］生物体死亡后，它的机体内原有的碳14含量 会按确 定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（ 为常数），大约每 经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2022年某遗址文物出土时碳14的 残余量约为原始量的 ，则可推断该文物属于( ) 参考数据： ； 参考时间轴： C A.战国 B.汉 C.唐 D.宋 题型1 指数函数的应用 7 解析 当时,,故,解得,所以 . 由题意得,,解得 , 而 ,则可推断该文物属于唐.故选C. 题型1 指数函数的应用 8 4.恩格尔系数，国际上常用恩格尔系数 来衡量一个地区家庭的富 裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕.某地区家庭2021年底恩格尔系数为 ，刚达到小 康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加 ，依 据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足 达到富裕水平，至少经过 （参考数据：，，， ）( ) C A.8年 B.7年 C.4年 D.3年 题型1 指数函数的应用 9 解析 设经过年达到富裕水平，依题意有，即 ， 两边同时取以10为底的对数得，即 ， 故至少经过4年，可使该地区家庭恩格尔系数满足 达到富裕水平.故选C. 题型1 指数函数的应用 10 5.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利 息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为 ，若放入某理财产品，年利率可达 .如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息____元．（参考数据： ，， ） 99 题型1 指数函数的应用 11 解析 将1 000元存入该理财产品，选择复利的计算方法， 则存满5年后的本息和为 （元）， 故共得利息 （元）， 将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为 （元）， 即获得利息（元），故可以多获利息 （元）. 题型1 指数函数的应用 12 6.［辽宁沈阳2025高一期中］某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8 万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为 万元，则 多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.如 果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是( ) D A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元 题型2 对数函数的应用 13 解析 由题意知，当时， ； 当时， , 所以 当时，，故小江的销售利润 ， 所以，解得 ， 所以小江的销售利润是20万元.故选D. 题型2 对数函数的应用 14 7.我国的通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农 公式，香农提出 并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式 ， 其中是信道带宽，是信道内所传信号的平均功率，是信道内部的高斯噪声功率 ， 其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至 ，使得 大约增 加了，则 的值大约为（参考数据： ）( ) C A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 题型2 对数函数的应用 15 解析 由题意得 ， 则， ， .故选C. 题型2 对数函数的应用 16 8.（多选）［江苏南通2024高一质量检测］研究表明，地震时释放的能量（单位： ）与地震里 氏震级之间的关系为 ，则( ) BD A.震级为2级的地震释放的能量为 B.释放能量为 的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D.释放能量之比为 的两场地震的震级相差2级 题型2 对数函数的应用 17 解析 对于A,当时,,解得 ,A错误； 对于B,当时,,解得 ,B正确； 对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为 ,则 ,于是 ,C错误； 对于D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为 , 则,且,两式相减得 ,解得 ,D正确.故选 . 题型2 对数函数的应用 18 9.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度 （单位：A） 与电线半径（单位：）的三次方成正比.若电流通过半径为 的电线时，电流强度为 ，则电流通过半径为 的电线时，电流强度为( ) D A. B. C. D. 题型3 幂函数的应用 19 解析 由已知，设比例系数为，则 . 由题意，当时，，故有，解得，所以 . 故当时， .故选D. 题型3 幂函数的应用 20 10.（多选）［河北保定部分学校2025高一联考］在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通 过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位： ）的四次方成正比，当气体 在半径为的管道中时，流量为 ，则( ) AC A.当气体在半径为的管道中时，流量为 B.当气体在半径为的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 题型3 幂函数的应用 21 解析 依题意可设， 为常数. 当气体在半径为的管道中时，流量为，所以，解得 ，则 .当时， ，故A正确，B错误. 由，解得，故C正确，D错误.故选 . 题型3 幂函数的应用 22 11.［北京陈经纶中学2024高一期中］某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间 进 行一次记录，用表示经过的单位时间数，用 表示病毒感染人数，得到的观测数据如表： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：；.若经过 个 单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（参考数据： ， ，， ）( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 易错点1 错用函数模型而致错 23 解析 若选,将和代入得 解得所以,代入有 ,不合题意. 若选,将和代入得 解得所以.代入有 ,符合题意. 依题意可令 , 即 , 则,又, , 所以,又 , 所以 的最小值为11.故选C. 易错点1 错用函数模型而致错 24 易错警示 （1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长较慢； 当值较大 时,增长较快. 易错点1 错用函数模型而致错 25 12.［贵州黔西南2025高一期末］近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再 上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视；另一方面，与莘莘学子 的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值” “天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天 性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提 升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步 ，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步 ．则大约经过____年，小王的 “聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：， ， ） 16 易错点2 忽视指数与对数的运算方法而致错 26 解析 设两人开学时的“年提升值”为，则经过 年，小王的“聪慧值”为 ，小李的“聪慧值”为 . 由题意可得，即 ， 取对数可得 ， ， 所以大约经过16年，小王的“聪慧值”是小李的2倍． 易错点2 忽视指数与对数的运算方法而致错 27 4.6 4.6 函数的应用（二） 刷能力 28 建议用时：25分钟 1.［山东新泰一中2024高一月考］人们通常以分贝（符号是 ）为单位来表示声音强度的等级.一 般地，如果强度为的声音对应的等级为（单位：），则有 .一架小型飞 机降落时，声音等级约为，轻声说话时，声音等级约为 ，则小型飞机降落时的声音 强度是轻声说话时声音强度的( ) C A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍 29 解析 设当声音等级为时声音强度为，由题意，得 ，即 ，则， 设当声音等级为时声音强度为，由题意，得，即 ， .因为 ，所以小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声 音强度的 倍.故选C. 30 2.［湖北荆州中学2025高一期中］为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减 少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为 ，则2029年的耕地面积为( ) D A. B. C. D. 31 解析 设某地的耕地面积每年减少，因为在最近50年内减少了 ，所以 ，故 . 由题意得2029年的耕地面积为，即 .故选D. 32 3.［辽宁辽南协作体2025联考］近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了 蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位： ） 与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为 常数.为测算某蓄电 池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间 ；当放 电电流时，放电时间.若计算时取,，则该蓄电池的 常数大约为______.（精确到 ） 2.25 33 解析 由题意知 ， 所以，两边取以10为底的对数，得 ，所以 . 34 4.［广东佛山2024高一期末］表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式 中的参量 提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能.阿伦尼乌斯公式中的为反应速率常数， 为 摩尔气体常量，为热力学温度（单位为开尔文，简称开）， 为频率因子.已知某化学反 应的温度每增加10开，反应速率常数变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时， ________.（参考数据： ） 8 400 35 解析 根据题意,温度每增加10开,反应速率常数 变为原来的2倍, 则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数变为300开时的 倍, 由 , 当开时, , 当开时, , 所以 , , , , , . 36 5.某市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 的老房子进行“平改坡”（“平改坡”是指 在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善 住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年“平改坡”面积的百分比相等.若改造 到原来面积的一半，所用时间需10年.已知到今年为止，“平改坡”剩余面积为原来的 . （1）求每年“平改坡”的百分比. 【解】设每年“平改坡”的百分比为，则，即 ，解得 .即每年“平改坡”的百分比为 . 37 （2）问到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了多少年？ [答案] 设到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了年，则，即 ， 解得 ，所以到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了5年. 38 $$