4.5 增长速度的比较-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 4.5 4.5 增长速度的比较 刷基础 2 1.［山西朔州2025高二月考］函数在区间 上的平均变化率为( ) B A.6 B.3 C.2 D.1 题型1 函数的平均变化率及大小比较 3 解析 函数在区间上的平均变化率为 ．故选B. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 4 链接教材 本题与教材第40页例1类似，考查求函数在区间 上的平均变化率的一般步骤：（1） 求函数值的变化量 ; （2）计算平均变化率 . 题型1 函数的平均变化率及大小比较 5 2.函数的图象如图，则函数 在下列区间上平均变化率 最大的是( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 6 解析 由题图可知，在区间上，函数的图象最陡，即最大，所以函数 在区间 上的平均变化率最大.故选C. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 7 3.某公司的盈利（元）和时间（天）的函数关系是，假设 恒成立， 且， ，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) D A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 8 解析 函数 的平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了， 但还是增加的.故选D. 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 9 4.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八， 不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.如图所示是一段登山路线图,同样是登山，从 处 到处会感觉比较轻松，而从处到 处会感觉比较吃力,想想看，为什么？你能用数学语言来量化 段曲线的陡峭程度吗？ 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 10 【解】根据题图A,,的坐标计算出山路从到高度的平均变化率和山路从到 高度的平均变 化率，根据变化率越大山路越陡峭即可得结论.山路从到高度的平均变化率 ,山 路从到高度的平均变化率，， 山路从到比从到 要陡 峭．故从处到处会感觉比较轻松,而从处到 处会感觉比较吃力. 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 11 5.［安徽安庆2025高一期末］从甲地到乙地的距离约为 ，经多次实验得到一辆汽车每小时 耗油量（单位：）与速度（单位：） 的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是 ( ) B A. B. C. D. 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 12 解析 由图表中数据可知函数模型满足①定义域为 ；②在定义域内单调递增；③函数图象 过原点. 函数和在定义域内单调递减，不满足条件②，故 错误； 函数 中，0不在函数的定义域内，不满足条件①,故D错误； B选项：当,,时， 满足条件①②③，故B正确.故选B. 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 13 6.（多选）［辽宁盘锦辽河油田一高2025高一月考］函数,, 在区 间 上( ) ABC A.的递增速度越来越快 B. 的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于 的递减速度 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 14 解析 作出三个函数在区间 上的图象，如图所示， 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知在区间 上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误.故选 . 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 4.5 4.5 增长速度的比较 刷能力 16 建议用时：25分钟 1.［陕西汉中2025高二月考］下列函数中，增长速度最慢的是( ) C A. B. C. D. 17 解析 根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数的增长速度最慢， 故选C. 18 2.［江苏南京六校2025高一期中联考］某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三 种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误 的是( ) D A.注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一 B.注入时间恰为4小时，不采用方案三 C.注入时间恰为6小时，采用方案二 D.注入时间恰为10小时，采用方案二 19 解析 对A，由题图可知，注入时间在3小时以内（含3小时）时，方案一的注入量大于其他两种 方案，故A正确； 对B，当注入时间恰为4小时时，由题图可知，方案三的注入量小于其他两个方案，故B正确； 对C，当注入时间恰为6小时时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确； 对D，当注入时间恰为10小时时，由题图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误.故选D. 20 3.（多选）［河南开封五县2024高一期中］在同一坐标系中，对于函数与 的 图象，下列说法错误的是( ) AC A.与 的图象有两个交点 B.与 的图象有三个交点 C.，当时，的图象恒在 的图象的上方 D.，当时，的图象恒在 的图象的上方 21 解析 ,,,,,, , , 则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示. 显然两函数的图象有三个交点,, ,故A错误,B正确； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度, 所以当时,的图象恒在的图象的上方,故C错误,D正确.故选 . 22 4.如图所示为物体甲、乙在时间0到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是____. ③ ①在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. 23 解析 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①,②错误.在到 范围内，甲的平均速 度为，乙的平均速度为.因为，，所以 ，故 ③正确，④错误． 24 5.某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润（单位：元）与生产量 （单位：台）之 间的关系式为, . （1）求生产量为1 000台时的生产总利润与平均利润. 【解】生产量为1 000台时的生产总利润为 （元），平均利润为 （元/台）． （2）求生产量由1 000台增加到1 500台时，生产总利润的平均改变量. [答案] 当生产量由1 000台增加到1 500台时，生产总利润的平均改变量为 （元/台）． 25 （3）当生产量由1 500台增加到2 000台时，生产总利润的平均改变量相比由1 000台增加到 1 500台时的平均改变量是增大还是减小，这说明什么问题？ [答案] 当生产量由1 500台增加到2 000台时，生产总利润的平均改变量为 （元/台），所以生产总利润的平均改变量相比由1 000台 增加到1 500台时的平均改变量减小了，这说明生产总利润并非随着生产量的增加而增加，就本 题来看当生产量达到1 750台时生产总利润达到最大值，再增加生产量利润反而会降低. 26 $$