4.2.3 对数函数的性质与图象-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 4.2 4.2 对数与对数函数 2 4.2 4.2.3 对数函数的性质与图象 刷基础 3 1.给出下列函数：；；； . 其中是对数函数的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型1 对数函数的概念 4 解析 ①不是对数函数，因为这是多项式；②不是对数函数，因为②中对数的真数不是只含有自 变量 ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 题型1 对数函数的概念 5 归纳总结 判断一个函数是对数函数，函数必须具有且 的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的常数； ③对数的真数仅有自变量 . 题型1 对数函数的概念 6 2.若函数是奇函数，当时，，则 ( ) C A.2 B. C. D. 题型1 对数函数的概念 7 解析 因为函数是奇函数，所以，所以 . 因为当时，，所以 .故选C. 题型1 对数函数的概念 8 3.［云南曲靖2025高一期末］已知对数函数且的图象过点 ，则 ( ) C A. B. C.2 D.4 题型1 对数函数的概念 9 解析 因为对数函数且的图象过点，所以，即 ，所 以，则 .故选C. 题型1 对数函数的概念 10 4.已知函数且 的图象如图所示，则以下说 法正确的是( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 11 解析 由题图可知在定义域内单调递增，所以 . 令，即，所以函数的零点为 ，结合函数图象可知 ，所以，因此 ，故A错误； ，又因为，所以，因此 不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以 ，故C正确； 因为，所以，即 ，故D错误.故选C. 题型2 对数函数的图象 12 5.为得到函数的图象，可以将函数 的图象( ) A A.向下平移3个单位长度 B.向上平移3个单位长度 C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度 题型2 对数函数的图象 13 解析 由，将函数 的图象向下平移3个单位长 度得到 的图象.故选A. 题型2 对数函数的图象 14 6.［广东茂名2025高一期末］如图，①②③④中不属于函数 , , 对应图象的一个是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 题型2 对数函数的图象 15 解析 根据题意函数,,中两个底数 ，函数单调递增，根据增长 规律，“在第一象限内，自左向右底数越来越大”，知③对应，④对应 . 由于函数，则它与的图象关于轴对称，且①与④关于 轴对称.故函 数 对应的图象为①. 则②不属于函数,, 对应图象的一个.故选B. 题型2 对数函数的图象 16 规律方法 对数函数且底数的大小决定了图象相对位置的高低,不论是 还是 ,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数都逐渐变大. 题型2 对数函数的图象 17 7.函数且 的图象过定点( ) C A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 18 解析 由于函数且的图象恒过点，则令，得 ， ，故函数且的图象恒过定点 .故选C. 题型2 对数函数的图象 19 规律方法 一般地，对数函数的图象过定点 ,据此，可解决形如 的图象过定点的问题，即令,得 ,所以函 数图象过定点 . 题型2 对数函数的图象 20 8.（多选）［辽宁大连二十四中2025高一段考］函数 的图象可以为( ) ACD A. B. C. D. 题型2 对数函数的图象 21 解析 由题意得函数的定义域为, . ①当时，函数单调递增，且，又 ，故A满足 题意，B不满足题意. ②当时，函数单调递减，且，又 ， 当时， ，故C满足题意； 当时，，故D满足题意.故选 . 题型2 对数函数的图象 22 归纳总结 底数和对数函数且 单调性的关系 （1）当时,对数函数为增函数；（2）当时,对数函数 为减函数. 题型2 对数函数的图象 23 9.［山东济宁2025高一期末］函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 24 解析 由题意得，解得或，所以函数 的定义域为 .故选B. 题型3 对数函数的性质 25 链接教材 此题由教材第27页例3拓展而来,求对数型函数的定义域时,需要注意底数大于0且不等于1,且真数 大于0，若有根号、分母还需要注意根号里的数大于或等于0、分母不等于0等. 题型3 对数函数的性质 26 10.［浙江杭州重点中学2024高一期中联考］函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 27 解析 ,设 ,则 ,故函数的值域为 .故选C. 题型3 对数函数的性质 28 11.（多选）下列各组对数值的大小比较中正确的一组是( ) ABC A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 29 解析 根据在 上为减函数，易知A正确； 由 可知B正确； 由 可知C正确； 由可知，，D错误.故选 . 题型3 对数函数的性质 30 归纳总结 对数值大小的比较 （1）若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. （2）若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 题型3 对数函数的性质 31 12.［山东新泰一中2025高一期中］函数 的单调递增区间为( ) A A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 32 解析 由对数函数的定义知，解得 ， 因为函数的图象开口向下，对称轴为直线 ， 所以函数在上单调递增，在 上单调递减. 又，则函数 为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为 .故选A. 题型3 对数函数的性质 33 归纳总结 利用复合函数的单调性求形如函数且 的单调区间： （1）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递增（减）区间或 其子集； （2）若,则函数的单调递增（减）区间即为函数 的单调递减（增）区 间或其子集. 注：复合函数的单调性满足“同增异减”,且复合函数的单调区间一定是其定义域的子集. 题型3 对数函数的性质 34 13.［辽宁大连2024高一期末］设,为实数，则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型3 对数函数的性质 35 解析 因为函数为上的增函数，又，所以 ，所以 ，又函数在上单调递减，所以，所以“ ” 是“”的充分条件.因为函数在上单调递减，又 ，所以 ,当为负数时，没有对数值，所以“”不是“ ”的必要条件， 所以“”是“ ”的充分不必要条件，故选A. 题型3 对数函数的性质 36 特别注意 求解与对数函数有关的不等式问题，主要是利用对数函数的单调性转化为比较真数的大小，转化 时不要忽略对数的真数大于0的条件. 题型3 对数函数的性质 37 14.函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意，均有 ， 则 ( ) B A. B. C. D. 题型3 对数函数的性质 38 解析 设，则 ， 而是定义在上的单调函数，故 为常数， 所以且，故 ， 设，因为,均为 上的增函数， 所以为 上的增函数. 因为，故的解为 ， 所以，故 ，故选B. 题型3 对数函数的性质 39 15.［湖南长沙雅礼中学等2025高一期末联考］已知偶函数在单调递减， ， 若，则实数 的取值范围是______. 解析 因为偶函数在单调递减，，所以在 上单调递增， ， 所以等价于，所以 ， 所以，解得.所以实数的取值范围是 . 题型3 对数函数的性质 40 16.［河北邯郸2024高一月考］已知，且满足不等式 . （1）求实数 的取值范围； 【解】因为，，所以，所以 . （2）解不等式 ； [答案] 因为，所以等价于 解得 , 所以的解集为 . （3）若函数在区间上有最小值，求实数 的值. [答案] 因为，所以函数在 上单调递减，所以 ，所以,即,所以 . 题型3 对数函数的性质 41 17.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 42 解析 当时，,解得，所以此时的取值范围为;当 时，,解得，所以此时的取值范围为.综上，实数 的取值范围 是 .故选D. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 43 易错警示 由于对数函数的单调性与对数的底数有关，因此当对数的底数含参数时，要研究与函数单调性有 关的问题（如最值、不等式等），需要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点1 忽略对底数的讨论导致单调性的不同而致错 44 18.函数 的单调递增区间是( ) D A. B. C. D. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 45 解析 令，解得或 . 由于函数在上单调递减，在上单调递增，且在 上单调递增，所以的单调递增区间是 ，故选D. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 46 易错警示 求解与对数函数有关的复合函数问题时首先要保证对数的真数大于0，另外复合函数的单调性的 判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致时单调递增，内外层单调性相反时单调递减.由于 函数的单调区间必然是定义域的子集，因此本题的易错点是忽视函数的定义域以及复合函数单调 性的判断方法. 易错点2 忽略复合函数中函数的定义域而致错 47 19.［辽宁丹东2025期末］已知函数在上单调递减，则实数 的 取值范围为______. 解析 设， . 由函数在 上单调递减， 得函数在上单调递减，且 ， 故解得 . 故的取值范围为 . 易错点3 含参数的对数函数问题中忽视真数大于0的条件而致错 48 易错警示 求解与对数函数有关的含参数的复合函数问题时,参数不但要结合复合函数单调性的性质列出不等 式求取值范围,还要满足对数的真数在所给的单调区间上大于0这一条件. 易错点3 含参数的对数函数问题中忽视真数大于0的条件而致错 49 20.已知函数满足时，恒有 成立，那么实 数 的取值范围是_ _____. 解析 由条件时，恒有成立，可知函数 单调递增. 由单调递增，可知,且 , 由单调递增，可知,即 . 由在上单调递增，可得 ，解 得.综上, . 易错点4 忽略分段函数定义域的分界点而致错 50 易错警示 函数单调性的一致性，要求分段函数中端点值的大小关系也是确定的. 易错点4 忽略分段函数定义域的分界点而致错 51 4.2 4.2.3 对数函数的性质与图象 刷提升 52 1.［重庆八中2024高一月考］已知函数，则 的定义域为 ( ) A A. B. C. D. 53 解析 由题得则,得,的定义域为 , 的定义域为 .故选A. 54 2.［江苏西交大附中2025高一期中］已知，，，则实数,, 的大小关 系正确的是( ) C A. B. C. D. 55 解析 因为，，所以.而， ， 易知函数在 上单调递减， 因为，所以，即.综上可得， .故选C. 56 链接教材 本题是教材第26页例1的延伸，考查比较大小的常用方法： （1）根据单调性比较大小； （2）作差法比较大小； （3）作商法比较大小； （4）中间量法比较大小. 57 3.已知函数在内恒有，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 58 解析 由，得.若恒成立，则， . 59 4.［山东德州部分学校2025联考］函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 60 解析 易知函数定义域是 ，关于原点对称，又 ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除 . 当时， ，排除B.故选A. 61 5.［辽宁重点学校2025联考］设函数，则使得成立的 的 取值范围为( ) D A. B. C. D. 62 解析 由题知为偶函数，且在上单调递增，因为 ，所以 ， 即，所以 ， 所以或 .故选D. 63 6.［河南南阳2025高一期末］我们已经学习和研究了对数函数，且 的图象 和性质.如果将解析式中的，互换位置，底数变为自变量，即可得到形如 ，且 的函数.设，且，则关于函数 的图象或性质表述正确的 是( ) D A.的图象只能出现在第一象限 B. 的图象可以出现在第一、第二象限 C.的值域为 D.在区间和 上单调递减 64 解析 由题意知，，且函数的定义域为 . 当时，，所以 ，图象位于第四象限； 当时，，所以 ，图象位于第一象限， 所以的图象出现在第一和第四象限，值域为，故 错误. 当时，单调递增，所以 单调递减； 当时，单调递增，所以 单调递减， 所以函数在区间和 上单调递减，故D正确.故选D. 65 7.［四川成都2024高一期中］若 ，则( ) D A. B. C. D. 66 解析 ,即 . 设,则函数在 上单调递增, ,即,故 ； ,即,故 . 综上所述, .故选D. 67 8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为 “出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经 过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题： 已知函数满足，且当 时的解析式为 则函数在时的图象与直线 所围成的封闭 图形的面积为( ) C A.4 B.8 C.16 D.32 68 解析 由题意知，的图象关于直线 对称， 而当时， 且， ， 在时，及 的图象如图所示， 将所围成的图形在轴下方的阴影区域分成两部分补到 轴上方的阴 影区域， 可得到由轴、轴、直线、直线 所围成的矩形区域， 函数在时的图象与直线 所围成的封闭图形的 面积为 .故选C. 69 9.（多选）已知函数若（,, 互不相等），则 的值可以是( ) BC A. B. C.0 D.1 70 解析 因为的图象是由的图象保留轴上方的图象，再把 轴下方的图象沿着 轴往上翻折得到的图象，所以分段函数 的图象如图所示. 不妨设， ， 由的图象关于直线对称可得 ， 又，所以 ， 故的值可以是,0，故选 . 71 10.若是方程的实数解，则 属于区间( ) C A. B. C. D. 72 解析 令,则在定义域 上单调递增, 又, , , , 所以 , 所以在上存在唯一零点,即存在使得 .故选C. 73 11.［湖南师大附中2024高一期中］函数且 的图象恒过定点 .若对任意正数，都有，则 的最小值是( ) D A.2 B. C.1 D. 74 解析 对于函数且 , 令,可得,且,所以,即, . 对任意的正数,都有,即,则 , 所以 , 当且仅当即 时,等号成立. 所以的最小值是 .故选D. 75 12.（多选）［浙江金华十校2025高一期末联考］已知函数 ，则 下列正确的是( ) ACD A.函数的定义域为 B.函数在 上单调递减 C.将函数的图象向左平移10个单位长度得到函数的图象，则 D.当时， 76 解析 对于A，由函数，得 解得 ，由，得，因此的定义域为 ，A 正确； 对于B，，因为函数在 上单调递增， 函数在上单调递增，所以函数在 上单调递增，B错误； 对于C，依题意， ，则 ，C正确； 对于D，当时，，， ， 因为,都是减函数，所以在 上单调递减， 77 当时，，则 ， ，又 ，因此 ， 则，由的定义域为 ，关于原点对称，且 ， 得函数为上的奇函数，则 ， 即，D正确.故选 . 13.［陕西西安部分学校2025高一联考］函数的定义域为，若满足：在 内是单 调函数；②存在使得在上的值域为，那么就称 为“减半函数”.现 有函数是“减半函数”，则 的取值范围是_____ _____. 79 解析 由题意可知函数 在其定义域内为增函数， 若 为“减半函数”， 则在上的值域为 . 所以 即 所以方程 必有两个不同的实数根， 所以，即 . 80 令，则方程 有两个不同的正根， 所以解得，即的取值范围是 . 14.［山东青岛2024高一月考］已知函数， . （1）当时，求函数 的值域； 【解】 当时，， , ， ， ， 函数的值域为 . 82 （2）若函数的最小值为，求实数 的值. [答案] 令 ， 即函数,的最小值为 . 函数图象的对称轴为直线 ， 当时，，解得 ； 当时，，解得 ； 当时，，解得 （舍去）. 综上，实数的值为或 . 83 规律方法 求对数型函数的值域 （1）对于形如 的复合函数，其值域的求解步骤如下： 首先分解成,这两个函数,然后分别求出的定义域和 的取值范围,最后利用 的单调性求解. （2）对于形如的复合函数,可利用换元法，设 ,则函数 的值域就是 的值域. 84 15.［辽宁抚顺一中2025高一开学考］已知函数 . （1）当时，解方程 ； 【解】当时， ， 所以, ， 所以可化为 ， 即，所以或 ， 所以或 ， 即方程的解为或 . 85 （2）若对，函数在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2， 求实数 的取值范围. 86 [答案] 因为对,在 上总有意义， 所以对,在 上恒成立. 令，则 ， 因为，所以在上单调递减，所以 . 因为,恒成立，即，所以 . 因为在上单调递减，所以在 上单调递减， 所以, ， 由题意知 ， 即 ， 所以，即 ， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 综上，实数的取值范围为 . 16.（多选）［清华大学2024强基计划］ ，则( ) ACD A. B. C. D. 89 解析 对于D，构造，易得在 上单调递增， 而， ， 所以有唯一的正根，且该根位于区间 上. 因为 ， 所以 ， 所以，故， ， 所以 ，故D正确； 对于C，而，，故，又 ， 所以 ，故C正确； 对于，由，知,,, . 则 ，故A正确，B错误. 故选 . 90 17.［2025中国科学技术大学少年班创新班入围考］若关于 的方程 有实数解，则实数 的取值范围是________. 解析 设 , 则 . ,其只有一根 ， 则,即 有解, 解得 . 91 $$