4.2.1 对数运算+4.2.2 对数运算法则-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“对数与对数函数”，系统覆盖对数概念、运算、换底公式及对数恒等式等核心知识点。课堂导入从指数式与对数式互化切入，衔接指数函数知识，搭建从概念理解到运算应用的学习支架，帮助学生逐步掌握对数的本质及应用。 其亮点在于通过“刷基础”“刷提升”分层题型设计，结合易错点警示和多种解法示例，培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和符号表达（数学语言）。例如细菌繁殖问题中用对数求解代数表达式，让学生在实际情境中发展探究能力，教师可借助分层练习和归纳总结提升教学针对性与效率。

数学 必修第二册 RJB 1 4.2 4.2 对数与对数函数 2 4.2 4.2.1 对数运算+4.2.2 对数运算法则 刷基础 3 1.有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以 为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 对数的概念 4 解析 ①③④正确,②不正确,只有且时, 才能化为对数式. 题型1 对数的概念 5 2.［辽宁五校2025高一期末联考］已知，，则 的值为( ) C A.15 B. C. D. 题型1 对数的概念 6 解析 由，得，即，而，所以 .故选C. 题型1 对数的概念 7 3.［河北石家庄二中2025高一月考］下列各式：; ； ，其中正确的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型2 对数的运算 8 解析 ,故①错误； , , ，故②错误； ，故③正确. 故选B. 题型2 对数的运算 9 4.［吉林通化2025高一开学考］生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各 代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（参考数据： , ）( ) C A.第7代种子 B.第8代种子 C.第9代种子 D.第10代种子 题型2 对数的运算 10 解析 设第代种子的数量为 ， 种子数量为100万粒时，得 ， 即.因为 ，所以种子数量首次超过100万粒的是第9代种子.故 选C. 题型2 对数的运算 11 5.［安徽十校2024高一联考］求值： ___. 1 解析 . 题型2 对数的运算 12 6.［重庆巴蜀中学2024高一期中］设，， 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) D A. B. C. D. 题型3 对数的换底公式 13 解析 A选项, ,所以A错误. B,D选项,由于 ,所以B错误,D正确. C选项,不妨设,则, , 此时 ,所以C错误.故选D. 题型3 对数的换底公式 14 7.（多选）［山东德州2025高一期末］以下计算正确的是( ) BCD A. B. C. D.若实数且满足，则 的值为4 051 题型3 对数的换底公式 15 解析 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为且 ， 所以，所以，即 ， 所以，故D正确.故选 . 题型3 对数的换底公式 16 8. ___. 3 解析 原式 . 题型3 对数的换底公式 17 链接教材 此题由教材第23页例3改编，对于对数的乘法,尤其是不同底对数的乘法,最好的方法就是将所有对 数换成同底对数的商,这样能很好地化简式子. 题型3 对数的换底公式 18 9.已知,，则_ _______.（用, 表示） 解析 由,得,又 , 所以 . 题型3 对数的换底公式 19 规律方法 用代数式表示对数的关键在于将所有字母和所求对数表示为同底的对数,然后代入化简即可. 题型3 对数的换底公式 20 10.已知，且，则 的值为_____. 解析 由题可得,,由换底公式可得,.因为 ,所以 ,则.又因为,所以 . 题型3 对数的换底公式 21 多种解法 因为,所以,,从而.又因为 ,所 以 . 题型3 对数的换底公式 11.［山东菏泽2024高一月考］若方程的两根为 ， ，则 的值为( ) C A. B.6 C.36 D.1 题型4 对数恒等式 23 解析 方程的两根为 , ,所以 ,故 .故选C. 题型4 对数恒等式 24 12. ____. 98 解析 , ,所以原式 . 题型4 对数恒等式 25 13.［江苏常州部分学校2025高一期中］若有意义，则实数 的取值范围是_______ ________. 解析 要使有意义，则即解得或 ，故实数 的取值范围是 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 26 易错警示 对数式中底数大于0且不等于1,真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 27 14.方程 的解为______. 解析 原方程可化为,即 ,所以 ,即,解得或 . 又且,所以 . 所以 不满足题意,因此应舍去. 故方程的解为 . 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 28 易错警示 求解对数方程,利用对数运算性质转化为关于真数的方程时,要注意等价变化,同时要满足真数大于0. 易错点 忽略底数与真数的范围而致错 29 4.2 4.2.1 对数运算+4.2.2 对数运算法则 刷提升 30 1.求值： ( ) C A.1 B. C.2 D. 31 解析 .故选C. 32 规律方法 对数式恒等变形的常用策略：一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底；二看真数,利用对数 的运算法则将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值. 33 2.已知 ，给出下面四个等式： ； ； ； . 其中正确的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 34 解析 当,时,, ,故①②错误；当 时,,,③正确；当 时,④错误. 因此只有一个正确,故选B. 35 3.［陕西西安铁一中学2025高二期末］数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 较大 时，，常数 .利用以上公式，可以估算 的值为( ) C A. B. C. D. 36 解析 由题意得 ， . 两式相减得 .故选C. 37 4.［山东部分学校2025高一联考］已知，， ，则 的值为( ) A A.或0 B.1 C. D.1或0 38 解析 因为 , ， 所以由 ， 得，化简得，即 ，解得 或 . 又 ， 所以当时， . 当时， . 综上，的值为 或0. 故选A. 39 5.［江西部分学校2025高一期末联考］大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究 蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速（单位：）可以表示为，其中 表示鱼的耗氧量 的单位数.若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的( ) B A.3倍 B.9倍 C.18倍 D.27倍 40 解析 设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为 ，提速后的耗 氧量的单位数为 ， 则 所以 ， ，故 ， 所以若蛙鱼的游速每增加 ，则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.故选B. 41 归纳总结 对数式与指数式的互化 且可转化为且 . 42 6.［天津第一中学2025高一期末］计算 ____. 解析 . 43 7.［河北秦皇岛2024高一月考］已知,，若,，则 的取值 范围是______. 解析 因为,,,,可知 , 则,所以的取值范围是 . 44 8.已知，是方程的两个实数根，则 _ _. 解析 因为,是方程 的两个实数根, 所以由根与系数的关系得, , 则 . 45 多种解法 因为的实数根为或 , 不妨设,,则, , 所以 . 46 9.设，，若，则 的最大值为_ _. 解析 由得,又,,所以 . 同理可得 . 因为 , 所以,所以 . 故 . ①当,且时,, . 由均值不等式知 ， 当且仅当,即 47 即, 时等号成立. ②当,且时, . ③当,且时, . ④当,且时,不满足 . ⑤当或时, . 综上所述,的最大值为 . 10.［辽宁沈阳二中2025高一月考］求下列各式的值： （1）（其中， .注意：结果用分数指数幂表示）. 【解】原式 . 49 （2） . [答案] 原式 . 50 11.［2023全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛（A卷）］若正实数,满足, , 则 的值为____. 20 解析 . , . 51 12.［厦门大学2024强基计划］表示不超过的最大整数，则 ________. 52 解析 若是整数，则 ； 若不是整数，则，故 . 而是整数，，故由 知 ，所以 . 记，则 . 对于 当,10,100,时，是整数，此时 ； 当,10,100,时，不是整数，此时 . 故 . 53 13.［清华大学2023强基计划］已知,,求 的可能取值. 【解】由题意可知 ,① 同理, ,② 可得 , 则或 . 54 $$