第4.1节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 4.1 第4.1节综合训练 刷能力 2 建议用时：30分钟 1.［湖北荆州中学2024高一期中］ ( ) C A. B. C.12 D. 3 解析 . 故选C. 4 2.［辽宁锦州2025期末］若函数是上的单调函数，则实数 的取值 范围为( ) D A. B. C. D. 5 解析 ①若函数在 上单调递增， 则满足即解得 . ②若函数在 上单调递减， 则满足即 此时无解. 综上，实数的取值范围为 .故选D. 6 3.［广东佛山南海区一中2025高一月考］已知函数，若，则 的最大值和最小值分别是( ) B A.,0 B.,1 C., D.3，1 7 解析 由，得，令 ， 则可等价于，又图象的对称轴为直线 ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时， 取得最 大值，最大值为 ， 当时，取得最小值，最小值为 ， 所以的最大值和最小值分别是 ,1.故选B. 8 4.（多选）［湖南长沙明德中学2024高一开学考试］如图，某湖泊蓝藻的面积 （单位：）与时间（单位：月）的关系满足 ，则下列说法正确的 是( ) ACD A.蓝藻面积每个月的增长率为 B.蓝藻每个月增加的面积都相等 C.第4个月时，蓝藻面积就会超过 D.若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，， ，则一 定有 9 解析 由题图可知,函数的图象经过点,即,则,, 不是常数.由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍,则每个月的增长率为 ,A正确,B 错误； 当时, ,C正确； 若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,,则,, , ,则,D正确.故选 . 10 5.（多选）已知函数 是奇函数，则下列选项正确的是( ) ABD A. B.,，且，恒有 C.函数在上的取值范围为 D.，恒有成立的充分不必要条件是 11 解析 函数的定义域为,又是奇函数,所以 ,解得 ,代入验证可知,所以 ,故A正确； ,由于函数在 上单调递 增且,函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,则, ,且 ,恒有 ,故B正确； 因为在上单调递增,,,所以函数在 上的取值范围为 ,故C错误； 若,恒有成立,则,则的解集为 , 12 当时,,解得 ,不符合题意, 当时,要使得解集为,则有解得 , 综上,若,恒有成立,则 ,因此其成立的充分不必要条件可以 是,故D正确.故选 . 6.［四川成都部分学校2025高一期末联考］已知函数，对任意的 , ，若，恒有，则实数 的取值范围为________. 解析 由题意得在上是单调函数，而 ， 令，则在 上单调. 又在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，所 以只需，即 . 14 7.已知,，其中, . （1）若，求 的取值范围； 【解】由的定义域为,且,得 为偶函数. 当时, , 当时,,,则 , 当时,,,则 . 因此,,即在 上单调递增. 若,即,则 ,两边平方可得 ,即 , 解得,所以的取值范围为 . 15 （2）设，若,，恒有，求实数 的取值范围. [答案] 设,,依题意可知时, . 因为 , 则 , 当时,令,由（1）可知,在上单调递增,在 上单调 递增, 则在上单调递增,可得在 上单调递减, 所以 . 因为 16 , 由以上分析知在上单调递增,则在 上单调递增, 可得在 上单调递增, 所以 . 因此 恒成立, 设,则,,整理得,解得 ,则 , 所以,解得且 , 结合,可得 , 所以实数的取值范围为 . 规律方法 1.,,则等价于 ； 2.,,则等价于 ； 3.,,则等价于 ； 4.,,则等价于 . 18 $$