4.1.2 指数函数的性质与图象-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象及性质，从基础概念辨析到图象特征分析再到性质应用，通过题型分类、规律方法总结和易错点提示搭建学习支架，衔接教材例题与各地联考真题。 其亮点在于以“数学眼光”选取细菌繁殖、声强级等真实情境例题，用“数学思维”强化底数分类讨论和逻辑推理，通过“数学语言”规范解析步骤。题型模块化设计帮助学生系统掌握知识，教师可直接利用真题提升教学效率。

数学 必修第二册 RJB 1 4.1 4.1 指数与指数函数 2 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图象 刷基础 3 1.［广东广州2025高一期中］下列是指数函数的是( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 4 解析 根据指数函数的特征：系数为1，底数满足且 ，自变量在指数位置可知，A，B， C不是指数函数，D是指数函数.故选D. 题型1 指数函数的概念 5 特别注意 （1）函数且叫做指数函数；（2）形如,且 , 且 的函数叫做指数型函数. 题型1 指数函数的概念 6 2.［湖南部分高中2025高一联考］“”是“ 为指数函数”的( ) C A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 指数函数的概念 7 解析 当时， 是指数函数； 若是底数为的指数函数，则，且，解得 ， 故“”是“ 为指数函数”的充分不必要条件.故选C. 题型1 指数函数的概念 8 3.［安徽淮北一中2025高一期末］衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新 丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为 .已知新丸经过25 天后，体积变为 ，则新丸经过75天后，体积变为( ) C A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 9 解析 设和时的体积分别为,，则，即 . 当时， .故选C. 题型1 指数函数的概念 10 4.［黑龙江绥化2025高一月考］已知两个指数函数， 的部分图象 如图所示，则( ) D A. B. C. D. 题型2 指数函数的图象 11 解析 由题图可知函数，均单调递增，则， . 当时，，得，所以 .故选D. 题型2 指数函数的图象 12 规律方法 不同底数的指数函数图象的规律 若,,,（,,, 均大于0且不等于1）的图象如图所示,则 . 简记规律：在第一象限,按照逆时针方向观察,对应的指数函数的底数逐渐增大. 题型2 指数函数的图象 13 5.［福建龙岩2024高一期中联考］已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 ，但又不与该直线相交，则 ( ) C A. B. C.1 D. 题型2 指数函数的图象 14 解析 因为函数 的图象过原点, 所以 , 又因为图象无限接近直线 ,但又不与该直线相交, 所以 是图象的一条渐近线, 所以,所以 .故选C. 题型2 指数函数的图象 15 6.要得到函数的图象，只需将函数 的图象( ) A A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 题型2 指数函数的图象 16 解析 因为,所以只需将函数 的图象向左平移1个单位 长度,即可得到函数 的图象.故选A. 题型2 指数函数的图象 17 7.［山东东营2025高一开学考］函数 的图象恒过的点为__________. 解析 对于函数，令，解得 ，此时 ，所以函数的图象恒过的点为 . 题型2 指数函数的图象 18 8.［山东青岛2024高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 19 解析 函数的自变量满足解得且 . 题型3 指数函数的性质 20 9.当时，函数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 21 解析 因为指数函数在区间上单调递增,所以 ,于是 ,即,所以的取值范围为 .故选C. 题型3 指数函数的性质 22 10.［四川泸州2025高一期中］下列说法正确的是( ) C A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 23 解析 对于A，函数在上单调递增，，则 ，A错误； 对于B，函数在上单调递减，，则 ，B错误； 对于C，函数在上单调递减，函数在 上单调递增，则 ，C正确； 对于D， ，D错误.故选C. 题型3 指数函数的性质 24 链接教材 本题由教材第12页例1改编而来,结合指数函数的单调性比较大小. 题型3 指数函数的性质 25 规律方法 指数式比较大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由指数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,指数为同一常数 借助不同底数的指数函数图象的高低比较大小 底数与指数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 题型3 指数函数的性质 26 11.［河南豫东名校2025高一期末联考］已知函数 则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 27 12.［云南昆明一中2025高一月考］设为实数，若关于的方程有实数解，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 28 解析 因为，所以 ， 令，则 ， 要使方程有实数解只需直线与 的图象有交点即可. 设，当时，单调递增，所以 ， 则，即 ， 故的取值范围是 .故选C. 题型3 指数函数的性质 29 13.函数在区间内不单调，则实数 的取值范围是______. 解析 令,则.因为在区间内不单调,所以 在区 间内不单调.又因为在上单调递减,在 上单调递增,所以 ,解得 . 题型3 指数函数的性质 30 14.［辽宁重点高中协作体2024高一期末］设函数，则使成立的 的取值范围是________. 解析 因为的定义域为,又,所以 为偶函数. 当时,令,则可转化为 , 因为函数在上单调递增,函数是 上的增函数, 所以在 上单调递增. 结合偶函数的性质可由,得,解得,所以的取值范围为 . 题型3 指数函数的性质 31 15.［辽宁大连八中2025高一段考］已知函数 为奇函数. （1）求 的值； 【解】由题意可得 ， 所以 ， 因为，所以 . 经验证当时， 为奇函数. 题型3 指数函数的性质 32 （2）解不等式 ； [答案] 不等式等价于，则 ，化简得 ， 所以，所以 ， 所以原不等式的解集为 . 题型3 指数函数的性质 33 （3）求 的值域. [答案] 令，则，整理得 ， 即 . 又，所以，解得或 ， 所以的值域为 . 题型3 指数函数的性质 34 16.已知函数为指数函数，则 ___. 1 解析 函数 为指数函数， 解得 . 易错点1 不能正确理解指数函数的定义而致错 35 易错警示 在指数函数的定义中，幂的系数为1，底数大于0且不等于1.因此求解含参数的指数函数时，一定 要检验所求参数是否满足条件. 易错点1 不能正确理解指数函数的定义而致错 36 17.已知且，若函数在区间上的最大值为10，则 _______. 或 解析 若，则函数在区间 上单调递增. 当时，取得最大值，即 . 又，所以 . 若，则函数在区间 上单调递减. 当时，取得最大值 , 所以.综上所述，的值为或 . 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 37 易错警示 由于指数函数的单调性与底数与1的大小有关，因此涉及底数含参数的指数函数的单调性问题时 要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 18.［山东淄博多校2025高一期中联考］设函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 39 解析 因为函数在上单调递增，而函数在区间 上单调递减，则函数 在区间 上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是 .故选D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 40 易错警示 对于形如,且 的函数的单调性的判断,常用复合函数法.复合函数的单调性:当 时,函数与函数的单调性相同;当时,函数与函数 的单调性相反. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 41 19.函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 42 解析 令，则，而，所以 .故 选B. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 43 易错警示 形如且的函数的值域问题，要注意根据函数的值域及底数 的取值 范围来确定. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 44 20.已知不等式的解集为集合，函数, . （1）求集合 ； 【解】由题意知，则，即 ， 即，解得，故集合 . 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 45 （2）求函数 的值域. [答案] ， 令，则可化为 . ，，函数的图象的对称轴为直线 ， 在区间上单调递减，在区间 上单调递增. 故在上的最大值为，在 上的最小值为 ，故函数的值域为 . 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 46 易错警示 形如,,且 型函数的性质问题可利用换元法转化为二次 函数的性质问题，注意换元后新元的取值范围. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 47 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图象 刷提升 48 1.［山东滨州2024高一期中］函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 49 解析 令，由，得，所以，所以，又 ， 所以函数的值域为 .故选B. 50 2.［山东部分学校2025联考］如图所示，若，函数与 的图象可能是 ( ) C A. B. C. D. 51 解析 因为，所以指数函数在 上单调递减，所以排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点，因为 ，所以B错 误，C正确.故选C. 52 3.［辽宁重点中学2025高一期末联考］设,,,，则,,, 的大小关 系是( ) B A. B. C. D. 53 解析 因为是增函数，所以，因为是减函数，所以 ， 故 ， 又函数在第一象限内为增函数，故 ， 又为减函数，故 ， 综上可得 .故选B. 54 4.［福建厦门2024高一月考］若满足不等式，则函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 55 解析 由可得，因为在 上单调递增，所以 ,即，解得，所以，即函数 的值 域是 ，故选B. 56 链接教材 本题是教材第14页习题 第1题的变式与延伸，考查指数中含有未知数的不等式，主要有以 下类型： 或或 . 解法：或 或 或 解决类似. 57 5.若存在正数，使得关于的不等式成立，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 58 解析 由题意知成立，即 成立. 令，显然在 上单调递增， 所以， ， 所以实数的取值范围是 .故选C. 59 规律方法 不等式恒成立与能成立问题 （1）若，都有恒成立 ; （2）若，都有恒成立 ; （3）若，有成立 ; （4）若，有成立 . 60 6.我们知道,比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位： ） 与声强级（单位：）的函数关系式为（， 为常数）．某型号高铁行驶在无村庄 区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为 ， 声强级为 .若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为( ) B A. B. C. D. 61 解析 由题意可知解得所以 ，易得当 越大时，越大，所以当时，达到安静环境要求下的 取得最大值 .故选B. 62 7.［河北邯郸大名一中2025高一月考］若函数且 满足对 任意，都有成立，则 的值可以是( ) D A. B. C. D.2 63 解析 因为对任意，都有 成立， 所以在 上单调递增， 所以解得 .故选D. 64 规律方法 分段函数单调不仅需要考虑每一段函数的单调性相同,还应考虑在端点处的衔接情况. 65 8.已知函数，，若存在实数,使得，则实数 的取 值范围是( ) B A. B. C. D. 66 解析 因为，所以函数的值域为，所以若存在实数, 使得 ，则.所以，解得 ，故 选B. 67 9.已知关于的方程的根为负数，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 68 解析 将化为，因为关于 的方程 的根为负数，所以实数的取值范围是函数 在 上的函数值的范围. 当时，，则 ， 即实数的取值范围是 .故选D. 69 10.设函数若互不相等的实数,,满足 ，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 70 解析 画出函数 的图象如图所示． 不妨令，则，则 ． 结合图象可得，故 ． 所以 ．故选B． 71 11.已知函数，若，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 72 解析 令,定义域为 ,则 , 所以 为奇函数. 不等式等价于 , 即 . 因为为奇函数,所以 . 因为,,均为减函数,所以 为减函数, 则,解得 .故选B. 73 12.（多选）［辽宁朝阳2025高一期末］已知函数，其中 ,则 ( ) ACD A.当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C.在上单调递增 D. 的图象恒过定点 74 解析 当时，，定义域为，因为，所以 为偶函数，A正确； 因为，所以，则 有最大值， 没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在 上单调递减, 又在 上单调递增， 所以在上单调递增，在 上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选 . 75 13.［宁夏银川一中2025月考］已知函数 ，则 的值为________. 2 025 解析 因为函数的定义域为 ， 所以 ， 所以 . 76 14.［山东青岛2024高一阶段考试］已知函数在上的取值范围为 ，则 实数 的取值范围为______. 解析 函数图象的对称轴为直线，且在 上单调递减，在 上单调递增.由函数在区间上的取值范围为 及 ,可得, . 77 规律方法 形如且,的函数图象的对称轴方程为 . 78 15.已知函数且在上的最大值为，最小值为 . 【解】①当时，在上单调递增，则的最大值 ，最小值 ； ②当时，在上单调递减，则的最大值 ，最小值 . （1）若，求实数 的值； [答案] ，，解得或 （舍去）. 79 （2）若，求实数 的值. [答案] ， 当时，，解得或 （舍去）； 当时，，解得或 （舍去）. 综上所述,或 . 80 16.［河南部分学校2025高一期中联考］已知定义在上的函数 . （1）当时，求 的值域； 【解】当时, , 令,则可转化为,即 , 的值域为 . 81 （2）若函数在上单调递增，求实数 的取值范围； [答案] 令,,,则可转化为 . 在 上单调递增, 要使在 上单调递增, 只需在 上单调递增即可. ①当时,在 上单调递减,不符合题意； ②当时, 的图象开口向下,不符合题意； ③当时,要满足解得 . 综上,实数的取值范围是 . 82 （3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称 为局 部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数 的局部对称点，求实 数 的取值范围. 83 [答案] 由是函数的局部对称点,得, , 代入整理得 .① 令,则,当且仅当时取等号，则 , 代入①式得,即 . 当时,函数和 均单调递增, 在 上单调递增, , , 实数的取值范围为 . 84 17.［2022THUSSAT 中学生标准学术能力诊断性测试］已知定义域为的偶函数 和奇函数 满足：.若存在实数，使得关于的不等式 在区间 上恒成立，则正整数 的最小值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 85 解析 由题可得，又 ，联立可得 ，.又的内层函数为（在 上单调递增），外层函 数为（在上单调递增），故由复合函数单调性知在 上单调递增， 故,.在上单调递增，故,.若 则 且为正整数，只需即可.若则且 为正整数，不成立. 综上，正整数 的最小值为2.故选B. 86 18.［2023 全国高中数学联赛山东预赛］已知, , ,则集合,, 的元素个数是___. 7 87 解析 , } ,,,0,1, , , } , , 所以,,,0,1,2, , 所以集合 的元素个数是7. 88 $$