广东实验中学越秀学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

广东实验中学越秀学校2025学年第一学期开学测试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 在△中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（ ） A. 190 B. 210 C. 220 D. 420 8. 已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2026 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. 相互独立 B. C. D. 10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则（ ） A. 平面 B. 四面体是鳖臑 C. 是四面体外接球球心 D. 过A、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是 11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点的直线与C交于，两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为，线段的延长线交于点，则（ ） A. B. C. 直线与相切 D. （为坐标原点）有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，，，若为纯虚数，则__________． 13. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________. 14. 一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望_______________． 四、解答题 15. 如图，在直三棱柱中，为的中点，. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）请利用散点图说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （参考数据：，的方差为200） （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 设数列满足 （1）证明：为等差数列并求； （2）设，求． （3）求 18. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 广东实验中学越秀学校2025学年第一学期开学测试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） 连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） 【16题答案】 【答案】（1），140.5 （2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 【17题答案】 【答案】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， 所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）最大值和最小值分别是； （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ， 把代入消y得， 由题意知.设，，， 则由韦达定理可知，， 则， 所以， 所以，所以， 同理可得，所以Q，O，R三点共线， 又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称. ；②是定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $