精品解析：河北省保定市竞秀区北京师范大学保定实验学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

北京师范大学保定实验学校2024-2025学年 第二学期第一次月月清九年级数学 一、选择题 1. 下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．根据差与倍数关系得出代数式解答即可． 【详解】解：的3倍与7的差，表示为：． 故选：D． 2. 为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， ∴， 故选：A． 3. 如图，，则直线与所成的锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了角的概念，邻补角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握邻补角的定义，三角形的内角和定理是解决问题的关键．延长交于点E，先根据邻补角的定义求出，然后根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：延长交于点E，如下图所示： ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4. 整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一、结论二都正确 D. 结论一、结论二都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，故结论一正确； ∵， ∴，的公因式为，故结论二不正确； 故选：A． 5. 如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图， 本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是：明确旋转后的主视图． 【详解】解：根据逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图， 由图可知，左视图的小正方体数量为3，面积为3， 故选：． 6. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 7. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据平行线的性质，得到，，圆周角定理得到的度数，，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵连接并延长，交于点， ∴为直径， ∴， ∴； 故选C． 8. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数轴．根据，，逐一判断各选项即可． 【详解】解：， 原点在的右侧，故段①排除，选项A不符合题意； 假设：当原点在段②时，，，，可得，故原点不在段②，选项B不符合题意； 假设：当原点在段③时，，，，可得，故原点在段③，选项C符合题意； 假设：当原点在段④时，，，，可得，故原点不在段④，选项D不符合题意； 综上，原点落在段③， 故选：C． 9. 九位评委对参加演讲比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下的7个分数的平均分作为选手的比赛得分，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平均数、中位数、众数、极差的意义，正确理解各意义并用于解题是关键.根据平均数、中位数、众数、极差的意义分别判断即可得到答案. 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分后一定会影响平均分、极差，有可能影响众数，但是这组数据的中间两个数没有变化故一定不会影响中位数， 故选：B. 10. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法（因式分解法、公式法、配方法），解题关键是熟练掌握各方法的规则：因式分解法需保证因式分解的准确性，避免除以含未知数的式子；公式法需准确识别a、b、c的值；配方法需遵循“配方后等式两边加一次项系数一半的平方”的规则．本题需逐一分析甲、乙、丙、丁四位同学的解法，判断其是否符合一元二次方程的解题规则（如因式分解时不能随意除以含未知数的式子、公式法中系数对应准确、配方法步骤正确等），从而确定完全正确的解法． 【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误； 原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误； 原方程整理为， ， ，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误； 原方程整理得，配方得， ， ， ， 丁的解法正确。 综上，只有丁的解法完全正确， 故选：D． 11. 如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和矩形的性质．设正方形的边长为，则根据题意得到数据：，，结合矩形的面积公式和已知条件“长方形纸条和的面积相等”列出方程并解答． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意，得． 解得． 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．由题意可得，将绕原点O顺时针旋转，旋转6次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，，⋯，可得，从而求得，点在x轴的负半轴上，据此求解即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴，， ∵每一次旋转角是， ∴旋转6次后，正好旋转一周，点在x轴的正半轴上， ∵，点在x轴的负半轴上，点在第三象限内， ∴点在x轴的负半轴上， ∵每次旋转后，，，，⋯， ∴，，，⋯， 依次类推，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 13. 化简： ___________． 【答案】 【解析】 【分析】化简二次根式即可； 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 14. 规定一种新运算：，如． （1）计算：__________； （2）如果，则x的值为__________． 【答案】 ①. ②. 1或 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算可得：，从而整理得：，然后按照解一元二次方程因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：☆5 ， 故答案为：； ☆， ， 整理得：， ， 或， 或， 故答案为：1或． 15. 如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，勾股定理求出的长，角平分线的性质结合等积法求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴点到的距离等于点到的距离，即的长， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键． （1）正方形的两个相对的顶点，分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点，在正六边形内部（包括边界），点，分别是正六边形的顶点． （2）当正方形的顶点、、、在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长的值最小，是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，， 则，， 是正六边形的一条对角线， ， 在中，，， ， ， 故答案为：； 如图①，当正方形的对角线在正六边形一组平行的对边的中点上时， 正方形边长的值最小，是正方形的对角线， ， ， 如图②，当正方形的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长的值最大，是正方形的对角线， 设时，正方形的边长最大， ， ， 设直线的解析式为，，， ， ， 直线的解析式为， 将代入得， 此时，取最大值， ， 正方形边长的取值范围是：． 故答案为：． 三、解答题 17. 琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算减法即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30，36 （2） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出的人数，再除以总人数求出的值，360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 19. 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，求B关于x的表达式； （2）若，求关于x的方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； 【小问1详解】 解：依题意，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵关于x的方程， ∴， ∴； 20. 如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． （1）当时，求所作圆的半径；（结果精确到） （2）保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作于点C，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． （2）过点A作于点D，根据题意，得，故，根据三线合一性质，正弦函数的意义解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点O作于点C， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得， 故， 故折断的部分长为， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 21. 某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升．两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为． （1）求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间的函数关系图象； （2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） ，函数的图象如图． （2）能，9m． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式， （1）设，函数的图象经过，两点，运用待定系数法求解即可；根据题意可以直接写出函数的解析式，根据图象过点，，即可得到函数图象； （2）令，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 设， 由图象知，函数的图象经过，两点． 将，分别代入得：， 解得：． ． 由题意得：． 当，， ∴在直角坐标系中描点，，即可得到函数图象． 【小问2详解】 在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下： 当时，，解得． 此时． 答：此时两架无人机高度为． 22. 如图，在中，，，点D在上，且，以B为圆心，将顺时针旋转形成半圆，P为半圆上任意一点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）若与半圆相切，求的长度； （3）当时，求的度数以及此时扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或150°，扇形的面积是或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据相切得到，利用勾股定理求解即可； （3）过P作与H，根据求出，利用三角函数求出， 再利用公式求出扇形的面积． 【小问1详解】 证明：∵线段绕着点C顺时针旋转，得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵与半圆相切， ∴， ∴； 【小问3详解】 过P作与H，如图， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，， 当点P在半圆的左边时，如图 ∴， ∴，即， 扇形的面积． 当点P在半圆的右边时， ∴， ∴，即， 扇形DBP的面积 综上所述，或，扇形的面积是或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角形函数求角度，扇形面积的计算公式，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键． 23. 如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． （3）在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 【答案】（1） （2） 乙能碰到篮球，理由如下： 当时，， ， 乙能碰到篮球； （3） 篮球没有入筐，理由如下： 设后仰跳投时的抛物线解析式为， 把和代入解析式，得： ， 解得：， 后仰跳投时的抛物线解析式为， 当时，， ， 篮球没有入筐． 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求出y的值，然后与3.2比较即可得出结论； （3）根据题意，设后仰跳投时的抛物线解析式为，再把和代入解析式求出，的值，即可求得后仰跳投时的抛物线解析式，然后把代入解析式求出的值，与3.05比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入解析式，得： ， 解得：， 此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，求函数值，有理数大小比较的实际应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 24. 在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形． （1）如图1，当点N在线段上时， ①若，求的长； ②求的值． （2）如图2，当时， ①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围； ②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长． 【答案】（1）①2；② （2）①（）；②或或3或 【解析】 【分析】（1）①先根据已知可得为 的中位线，则，由平行线的性质和矩形的性质可得，从而可得的长；②如图2，过点作于点，于点．先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由中位线定理可得，都为的中位线，证明，列比例式可解答； （2）①先证明四边形为正方形，①当点落在边上时，如图3，过点作于点，证明，可得，可得的值；当点在上时，如图4，点，重合，此时；从而可得当矩形在内部（包括边界）时的取值范围；如图5，当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，由勾股定理可得结论；②分四种情况：分别画图根据图形和相似三角形，全等三角形的性质和判定可解答． 【小问1详解】 解：①当时，如图1， ， 此时点是的中点， 是的中点， 为 的中位线． ， 在矩形中，， ． 点是的中点． 为中位线． ； ②过点作于点，于点，如图2， ， ， 四边形为矩形， ， 由①同理得，都为的中位线． ，， ， ， ． ． ， ． ， 在中，； 【小问2详解】 解：在矩形中，当时，四边形为正方形． ，， ①当点落在边上时，过点作于点，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ，此时； 当点在上时，点，重合，如图4，此时； 当矩形在内部（包括边界）时，的取值范围是：； 当矩形在内部（包括边界）时，点在上（不与点重合），过点作于，如图5， ， ，， ， 在中， ； ②分四种情况： 如图4， ，即在矩形内部的线段长为； 过点作于，过点作于，如图6， 同理得：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即在矩形内部的线段长为； 过点作于，如图7， 则， ，即在矩形内部的线段长为3； 如图8， 则， ， ，在矩形内部的线段长为； 综上，在矩形内部的线段长为或或3或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，三角函数，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，同时在求边的长度时，利用同角三角函数也可以求边长或表示边长，比利用相似或勾股定理简单． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学保定实验学校2024-2025学年 第二学期第一次月月清九年级数学 一、选择题 1. 下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是（　　） A. B. C. D. 2. 为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗距地球亿千米的行星命名为“苏步青星”，将亿用科学记数法表示为，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 如图，，则直线与所成的锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 整式，，下列结论： 结论一：． 结论二：，的公因式为． 下列判断正确的是（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一、结论二都正确 D. 结论一、结论二都不正确 5. 如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 7. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点分别表示数a，b，c且，，则原点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 9. 九位评委对参加演讲比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下的7个分数的平均分作为选手的比赛得分，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 10. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图，在正方形纸片上进行如下操作： 第一步：剪去长方形纸条； 第二步：从长方形纸片上剪去长方形纸条． 若长方形纸条和的面积相等，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 化简： ___________． 14. 规定一种新运算：，如． （1）计算：__________； （2）如果，则x的值为__________． 15. 如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为______． 16. 图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形的两个相对的顶点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．已知正六边形的边长为2，正方形边长为a． （1）连接，的长为__________； （2）a的取值范围是__________． 三、解答题 17. 琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“■”被墨水污染了． （1）琪琪猜测被污染的数字“■”，请计算； （2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“■”． 18. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 19. 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例，A经过处理器得到． 若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，求B关于x的表达式； （2）若，求关于x的方程的解． 20. 如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，使用时，以点为支撑点，铅笔芯端点可绕点旋转作出圆．已知． （1）当时，求所作圆的半径；（结果精确到） （2）保持不变，在旋转臂末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到） （参考数据：） 21. 某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度与上升时间的函数图象如图所示；2号机从高度，以的速度上升．两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为． （1）求1号机所在高度与上升时间x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间的函数关系图象； （2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由． 22. 如图，在中，，，点D在上，且，以B为圆心，将顺时针旋转形成半圆，P为半圆上任意一点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）若与半圆相切，求的长度； （3）当时，求的度数以及此时扇形的面积． 23. 如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） （1）求此抛物线的解析式； （2）若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． （3）在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 24. 在中，，，，点P是的中点，M在上（不与点C重合），连接，在的左侧作矩形． （1）如图1，当点N在线段上时， ①若，求的长； ②求的值． （2）如图2，当时， ①若矩形在内部（包括边界），设，写出的长与x的函数关系式，并求x的取值范围； ②若矩形的两个顶点落在的同一条边上，直接写出在矩形内部的线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $