精品解析：河南省新乡市原阳县路寨乡贾村实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

数学（1） 满分：120分 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则的值为（ ） A B. 2 C. 3 D. 2或 3. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 石墨烯是碳的同素异形体，具有优异的光学、电学、力学特性，单层石墨烯的厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 5. 把下列分式中的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 计算（）3•（）2÷（﹣）的结果是（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 8. 若关于x的分式方程的解为x =2，则m的值为( ) ． A. 2 B. 0 C. 6 D. 4 9. 飞跃体育用品商店购进一批足球和篮球，已知足球的单价是篮球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球用了1500元，购买篮球的个数比足球多2个，设篮球的单价为元，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 33 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 分式与的最简公分母是__________． 13 计算：_______． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 15. 解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知分式（m，n为常数）满足如下表格中的信息： x的取值 1 3 分式的值 无意义 0 q 则表中的q值为___________． 19. 若，求的值． 20. 在实数范围内定义运算“※”：，若，求． 21. 阅读两位同学的探究交流活动过程： 小杰在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ①． 小杰尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：②； ③；④． 小杰邀请同学小俊，根据上述规律写出第⑥个等式和第个等式（用含的式子表示，为正整数）；小俊对第个等式进行了证明．请解答下列问题： （1）第⑥个等式是_______； （2）第个等式_______； （3）请证明第个等式成立． 22. 某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料； （2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？ 23. 【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 解决问题】 （1）若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） （2）已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； （3）小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学（1） 满分：120分 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、B（）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若分式的值为0，则的值为（ ） A B. 2 C. 3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 【详解】解：根据题意得，，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 3. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 石墨烯是碳的同素异形体，具有优异的光学、电学、力学特性，单层石墨烯的厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据用科学记数法表示为， 故选：B 5. 把下列分式中的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式． 【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意； 故选：A． 6. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． 原式通分计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：C． 7. 计算（）3•（）2÷（﹣）的结果是（　　） A. B. ﹣ C. D. ﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】先计算乘方，再从左到右计算分式的乘法和除法，注意，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，三个分式相乘，负数项只有一个，所以结果为负. 【详解】原式 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，掌握运算规律及运算顺序是解题关键，也是易错点. 8. 若关于x的分式方程的解为x =2，则m的值为( ) ． A. 2 B. 0 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的解为x =2，把x =2代入方程即可求出m的值. 【详解】解：把x =2代入得， ， 解得 m=6. 故选C. 点睛：本题考查了分式方程的解，熟练掌握方程解得定义是解答本题的关键. 9. 飞跃体育用品商店购进一批足球和篮球，已知足球的单价是篮球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球用了1500元，购买篮球的个数比足球多2个，设篮球的单价为元，则根据题意可列方程（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． 设篮球的单价为元，则足球单价为元/个，根据购买篮球的个数比足球多2个，列出方程式即可． 【详解】设篮球的单价为元，则足球单价为元/个， 由题意得：． 故选：D． 10. 已知关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键． 先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ， 由得：， 由得：； ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； 综上可知a的整数解有：3，4，6，7，8， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是28． 故选：B． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义即分母不为0，由此计算即可． 【详解】解：若分式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是__________． 【答案】x(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 13. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，任意非零实数的零次幂的值均为1．根据零指数幂运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 14. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再根据分式乘法法则，分子乘分子、分母乘分母进行计算，最后约分得到结果．本题主要考查了分式的乘除运算以及分式方程的解法，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的求解步骤是解题的关键． （2）确定方程的最简公分母，然后方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后进行检验，确定是否为原分式方程的解． 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边同乘得： 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知分式（m，n为常数）满足如下表格中的信息： x的取值 1 3 分式的值 无意义 0 q 则表中的q值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当分母等于0时，分式无意义，求出的值，根据分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零，求出的值，再把，代入分式进行计算即可． 【详解】解：由表格可知：， ∴， ∴分式为：， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的求值．熟练掌握分式无意义和分式的值为零的条件是解题的关键． 19. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值；由已知得，将此整体代入分式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ． 20. 在实数范围内定义运算“※”：，若，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算，先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 21. 阅读两位同学的探究交流活动过程： 小杰在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ①． 小杰尝试写出了符合这个特征其他几个等式：②； ③；④． 小杰邀请同学小俊，根据上述规律写出第⑥个等式和第个等式（用含的式子表示，为正整数）；小俊对第个等式进行了证明．请解答下列问题： （1）第⑥个等式是_______； （2）第个等式是_______； （3）请证明第个等式成立． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，找规律，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式． （1）根据题干已知等式进行类比总结，即可得出答案； （2）根据题干已知等式进行总结归纳，即可得出答案； （3）利用分式的混合运算法则分别计算与，对其计算结果进行判断，即可解题． 【小问1详解】 解：由题干规律可知，第⑥个等式是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：第个等式是； 故答案为：． 【小问3详解】 解：第个等式右边 ； 第个等式左边 ； 第个等式左边右边， 故第个等式成立． 22. 某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料．其中型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料； （2）若每台型，型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？ 【答案】（1）种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料 （2）4台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意正确的列等式、不等式是解题的关键． （1）设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料，依题意得，，计算求出解，然后作答即可； （2）设购进型机器人台，则购进型机器人台，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； ∴， ∴种机器人每小时搬运千克化工原料，种机器人每小时搬运千克化工原料； 【小问2详解】 解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 依题意得，， 解得，， ∵为正整数， ∴的最大值为4， ∴ 最多可购进型机器人4台． 23. 【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） （2）已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； （3）小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】（1）> （2），理由见解析 （3）①，；②小李加油方式平均油价更低 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； 小问3详解】 ①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$