精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级下学期第一次水平调研数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A. B. C. D. 2. 的算术平方根的倒数是（ ） A. B. C. D. 3. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 4. 在四边形中，交于点 ，在下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达 B 点，则它运动的最短路程为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 3 7. 已知，，，则的值是（ ） A. 24.72 B. 53.25 C. 11.47 D. 114.7 8. 在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（ ）个 A. B. C. D. 9. 如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，、同时出发设运动时间为t（），当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． A. 或 B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，在平行四边形中，过两条对角线的交点，若，，，则四边形的周长是______． 12. 数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是_________． 13. 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是_________． 14. 如图，在中，是的中点，平分，，，，则________． 15. 已知a，b满足等式，则______． 16. 若一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，则a的值是________． 17. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别是0和2，且，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是__________． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接，，若，，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求平方根． 21. 课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； （2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； （3）用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 22. 【阅读理解】 ，． 的整数部分为2，小数部分为． ，的整数部分为1 ．的小数部分为． 【解决问题】已知：a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a、b的值． （2）的平方根． 23. 如图，已知M在正方形ABCD的一边BC上，连接AM，并过点M作，交正方形ABCD的外角的平分线于点N，求证：． 24. 图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 25. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第一次水平调研数学试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一个自然数的算术平方根为，先求解这个自然数及与之相邻的下一个自然数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这个自然数是，则相邻的下一个自然数是， 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是解题的关键． 2. 的算术平方根的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的性质以及算术平方根，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用实数的性质结合算术平方根以及倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：，则4的算术平方根为2， 故2的倒数是：． 故选C． 3. 小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店． A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，必须能够确定平行四边形的大小和形状，根据平行四边形的判定即可判断． 【详解】A、①②只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； B、②④两块两个角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边延长线的交点就是平行四边形的顶点，所以能确定平行四边形的四个顶点，因而能确定其大小和形状，故符合题意； C、②③只能确定平行四边形的形状，还能确定一组对边的大小，但另一组对边的大小无法确定，故不符合题意； D、①③只能确定平行四边形的形状，无法确定两组对边的大小，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是理解确定一个平行四边形，既要考虑形状，又要考虑大小，两者同时确定了才可确定一个平行四边形． 4. 在四边形中，交于点 ，在下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，全等三角形的性质与判定等等，对于A、B可先证明四边形为矩形，再由矩形的判定定理判断即可；对于C可先证明两组对边平行，则四边形是平行四边形，再由对角线垂直只能证明是菱形，不能证明是矩形；对于D先证明，再证明得到，即可证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，则由对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形为矩形，故次选项不符合题意； B、，则两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形为矩形，故次选项不符合题意； C、， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，此时不能证明四边形是矩形，故此选项符合题意； D、 如图所示： 在和中， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 连接，先求出的长，再证明四边形是矩形，得，然后由垂线段最短，得出当时，线段的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：A． 6. 如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达 B 点，则它运动的最短路程为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，连接AB，根据勾股定理求出AB的长即可． 【详解】解：如图1所示， 则AB==2； 如图2所示， AB==10， 故它运动的最短路程为10， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 7. 已知，，，则的值是（ ） A. 24.72 B. 53.25 C. 11.47 D. 114.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答． 【详解】解： =1.147×10=11.47． 故选C． 【点睛】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 8. 在，，，，，，2.010010001…中，有理数有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数，熟练掌握无理数、有理数的定义是解题的关键． 先化简，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在，，，，，，2.010010001…中， 有理数有：，，，，，共5个， 故选：B． 9. 如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，、同时出发设运动时间为t（），当（ ）时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 由平行四边形的判定可得当时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，列出等式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴或4， 故选：D 10. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，当点M与点B重合时，最大，从而可得到的取值范围．． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 当点M与点B重合时，最大值8，最大值为4， ∵点M为边上的动点（不与点B重合）， ∴． 故选D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，在平行四边形中，过两条对角线的交点，若，，，则四边形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 由在平行四边形中，过两条对角线的交点，易证，则可得，，继而求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形的周长是：， 故填：． 12. 数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作轴于，点B的坐标是，由勾股定理可得，在矩形中，，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作轴于， ∵点B的坐标是， ∴，，由勾股定理可得： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 故答案为：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练运用勾股定理和矩形的性质对角线相等是解题的关键． 13. 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是_________． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PF=BC，PE=AD，根据题意得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点， ∴PF=BC，PE=AD， 又AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF=30°， ∴∠EPF=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 如图，在中，是的中点，平分，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，确定E为某线段中点，再结合D是中点利用中位线定理求解． 延长交于点F，利用平分得，结合得，可证，得，；由得，因D是中点，E是中点，故是的中位线，进而得． 【详解】延长交于点F， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ． ∴，（即E是的中点） ∵， ∴． ∵D是的中点，E是的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半， ． 故答案为：1． 15. 已知a，b满足等式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方和算术平方根的非负性、代数式求值，利用完全平方公式，得出，根据平方和算术平方根的非负性，得出，，求出与的值，再代入计算即可，熟练掌握平方和算术平方根的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 故答案为：． 16. 若一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，则a的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2a+1+a-4=0，解方程即可求出a． 【详解】由题可知：2a+1+a−4=0， 解得：a=1. 故答案为1. 【点睛】考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 17. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别是0和2，且，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC，再由AD=AC即可确定点D所表示的数． 【详解】解：如图：AC= ∴AD=AC= ∴点D所表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理、实数与数轴的关系等知识点，正确运用勾股定理求出AC的长以及理解数轴上的点与实数的对应关系是解答本题的关键． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接，，若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．根据菱形的性质以及已知条件，勾股定理求得的长，得出的长，进而根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 菱形的面积， 即， 解得：． 故答案为：4． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算算术平方根，乘方运算，立方根，绝对值，再合并即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算乘法，最后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求平方根． 【答案】± 【解析】 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a−1与3a＋b−9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a＋2b＋c，根据平方根的求法可得答案． 【详解】解：根据题意，可得2a−1＝9，3a＋b−9＝8； 故a＝5，b＝2； 又有2＜＜3， 可得c＝2； 则a＋2b＋c＝11； 则11的平方根为±． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 21. 课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； （2）若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； （3）用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 【答案】（1）60，61 （2）， （3），， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将11代入第一个数即可； （2）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将代入第一个数即可； （3）根据勾股定理来验证即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为60，61； 【小问2详解】 由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为，； 【小问3详解】 由题意可得，， 勾股数的规律是，，． 【点睛】本题是规律性问题，考查了勾股数之间的关系和勾股定理，能够根据条件分析数字规律以及熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22. 【阅读理解】 ，． 的整数部分为2，小数部分为． ，的整数部分为1 ．的小数部分为． 【解决问题】已知：a是的整数部分，b是的小数部分． （1）求a、b的值． （2）的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算、求代数式的值、平方根，根据无理数的估算方法求出a、b的值是解题的关键． （1）先用夹逼法估算，进而得出的取值范围，即可求出a和b的值； （2）先将a和b的值代入求值，再求出其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 的小数部分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的平方根为． 23. 如图，已知M在正方形ABCD的一边BC上，连接AM，并过点M作，交正方形ABCD的外角的平分线于点N，求证：． 【答案】 证明：在AB边上截取点F，使，连接FM， 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°， 则：， 在中，BF=BM， 所以， 故， 因为CN平分，， 故， 故， 因为，， 故， 在和中， ， 所以， 所以． 【解析】 【分析】在AB边上截取点F，使，连接FM，证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线并证明两个三角形全等是关键与难点． 24. 图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F． （1）求证：EO＝OF； （2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由 【答案】 （1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴EO＝FO． （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下： ∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， 又∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵FO＝CO， ∴AO＝CO＝EO＝FO， ∴AO+CO＝EO+FO， 即AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，得出EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论； （2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论． 【详解】（1）略． （2）解：略． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图，作于，于，则，     点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $