精品解析：福建省漳州市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷（华东师大版）

2024-2025学年福建省漳州市七年级（下）期末数学试卷（华师大版） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列人工智能图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 在解方程时，去分母的过程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 6. 如图，已知公园和车站到学校的距离分别是和，则公园和车站的距离可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在方程中，如果，那么______． 12. 若代数式和的值互为相反数，则x的值是______． 13. 如图，将沿方向平移得到，若则平移的距离是______． 14. 用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 15. 在中，，，平分则的度数为______． 16. 若关于x、y的二元一次方程，当时，；当时，，若，则整数b的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组 19. 解不等式组：，并把它的解集在下面数轴上表示出来． 20. 如图，在中，，的平分线与的外角平分线相交于点D，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵平分， ∴（角平分线的定义）． 同理可得________ ∵是的外角， (__________) ∴，① ∵是的外角， ∴． ∴，② ∴将①与②相比较可得__________． ∵， ∴__________． 21. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． （1）请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； （2）若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 22. 如图，已知． （1）利用尺规作图作出的边上的中线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）在(1)的条件下，若，且与的周长差为6，求、的长． 23. 科技改变世界，越来越多的高科技应用于日常的生产生活中，比如：快递分拣机器人，无人机放牧，智能化无人码头装卸等．宇树科技有限公司开发了两款智能机器人用于搬运货物．若A型机器人每台工作1小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以搬运840件货物；若A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以搬运920件货物． （1）求两款机器人每台每小时各搬运多少件货物； （2）为了进一步提高效率，某快递公司计划购进A，B两款机器人共150台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总搬运量不少于26000件，求至少应购进A型机器人多少台？ 24. 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，其中秤盘质量10克，重物质量x克，秤砣质量40克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．通过实验发现l、a、x、y存在以下数量关系：． 【设计杆秤】设定最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为40厘米． （1）①当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ②当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ③请根据所列的两个方程，求出l和a的值． （2）用含有x的代数式表示y． （3）请确定刻线的位置，从零刻线开始，计算出每隔100克在杆秤上的对应刻线到零刻线的距离，并写出相邻刻线间的距离． 25. 【问题背景】 现有一副三角板（和），把它们按如图1放置，与重合，，，．点O是的中点，保持不动，将绕着点O顺时针旋转，旋转角，旋转过程中，直线与直线相交于点N，直线分别与直线、相交于点M、G． 【问题探究】 （1）当时，求的度数； （2）请分别求出和的度数（用含x的代数式表示），并直接写出和存在的数量关系； 【问题拓展】 （3）在旋转的过程中，当与有一组边互相平行时，请直接写出符合条件的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省漳州市七年级（下）期末数学试卷（华师大版） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列等式中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（）方程中只含有个未知数；（）含未知数项的最高次数为一次；（）方程是整式方程，据此判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二元一次方程，该选项符合题意； 、只含有个未知数，且方程不是整式方程，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，不是二元一次方程，该选项不合题意； 、只含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是二元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 人工智能技术的突破性发展，正在全球范围内掀起一场“软件定义世界”的革命浪潮，下列人工智能图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项C的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此， 由 得n=5． 故选B． 4. 在解方程时，去分母的过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法：去分母即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得． 故选：D． 5. 若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可． 【详解】解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 故选：D． 6. 如图，已知公园和车站到学校的距离分别是和，则公园和车站的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设公园和车站的距离是，得到，即可得到答案． 【详解】解：设公园和车站的距离是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴公园和车站的距离可能是． 故选：B． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，两边同时减去5得，则A不符合题意， 若，两边同时除以6得，则B不符合题意， 若，两边同时除以得，则C不符合题意， 若，两边同时除以得，则D符合题意， 故选：D． 8. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱”，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：∵买9件，剩余3钱， ∴总钱数； ∵买11件，不足4钱， ∴总钱数． ∴根据题意可列方程为． 故选：C． 9. 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀． 先根据不等式组有解，求出不等式组的解集，然后根据关于x的不等式组有且只有两个整数解，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有两个整数解， ∴整数解为：， ∴， 故选：A． 10. 如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在方程中，如果，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的代入求值，解题的关键是将已知的x值代入方程，转化为关于y的一元一次方程并求解． 将代入中解得y的值即可． 【详解】解：在方程中，如果， 那么， 解得：， 故答案为：1． 12. 若代数式和的值互为相反数，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数，掌握解一元一次方程的方法，相反数的性质是解题的关键． 根据题意，由相反数性质可得方程：，再根据解一元一次方程的方法：去括号，移项、合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】解：∵代数式和的值互为相反数， ∴， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：2． 13. 如图，将沿方向平移得到，若则平移的距离是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了图形平移的性质，解题的关键是明确平移距离等于对应点之间的距离，且对应点连线长度相等． 根据平移性质可知，平移距离等于对应点间的距离，即；结合点E在之间，可得，而，通过这些关系建立等式求解平移距离． 【详解】解：设平移的距离为x． 由平移的性质可知，对应点之间的距离等于平移距离，即． ∵点E在之间， ∴． 又∵，且， ∴． 化简得，解得． 故答案为：6． 14. 用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的原理，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形内角之和必须为，并结合正六边形的内角度数进行计算． 先根据多边形内角和公式求出正六边形每个内角的度数，正六边形内角和为，每个内角为其除以6；再用除以正六边形每个内角的度数，得到围绕一顶点拼在一起的正六边形个数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 则每个内角的度数为． 因为围绕一点拼在一起的多边形内角和需为， 所以围绕一顶点拼在一起的正六边形个数为． 故答案为：3． 15. 在中，，，平分则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义和垂直定义． 先根据三角形内角和定理和已知条件求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据垂直定义求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， , ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x、y的二元一次方程，当时，；当时，，若，则整数b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程的解，结合已知条件列得正确的不等式组是解题的关键． 将，及，分别代入中计算并作差，再结合已知条件得到关于b的不等式组，解不等式组并确定b的整数解即可． 【详解】解：已知关于x、y的二元一次方程， ∵当时，；当时，， ∴①，②， ①②得：， 则 ∴ 解得：， 则b的整数解为， 即整数b的值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项求解即可． 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】先用加减消元法求出x的值，再用带入法求出y的值即可． 【详解】解： ①×2+②，得：7x＝14，x＝2 把x＝2代入①，得：y＝0 所以这个方程组的解是 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，关键是掌握加减消元法和代入消元法，逐步得出x、y的值． 19. 解不等式组：，并把它的解集在下面数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下所示： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 20. 如图，在中，，的平分线与的外角平分线相交于点D，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵平分， ∴（角平分线的定义）． 同理可得________ ∵是的外角， (__________) ∴，① ∵是的外角， ∴． ∴，② ∴将①与②相比较可得__________． ∵， ∴__________． 【答案】，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线将角进行倍数关系转化，结合三角形外角性质建立角之间的等量关系． 先根据角平分线定义得到角的倍数关系，再利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）列出等式，通过等式变形求出与的关系，进而计算出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴（角平分线的定义）． 同理可得． ∵是的外角， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴，① ∵是的外角， ∴． ∴，② ∴将①与②相比较可得． ∵ ∴． 故答案为：，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，. 21. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． （1）请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； （2）若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解题意并求得方程的解是解题的关键． （1）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得与方程互为“成双方程”的解为，据此写出一个方程即可； （2）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得的解为，将其代入解得m的值即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， 则与方程互为“成双方程”的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）； 【小问2详解】 解： ， 解得：， ∵关于x的方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 则， 解得：． 22. 如图，已知． （1）利用尺规作图作出的边上的中线；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）在(1)的条件下，若，且与的周长差为6，求、的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，尺规作图，作垂线．掌握垂直平分线的作图方法是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点D，连接，即为所求； （2）设，，由是的中线，得到，根据与的周长差为6，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴设，， ∵是的中线， ∴， ∵与的周长差为6， ∴ ， ∴， ∴， ∴，． 23. 科技改变世界，越来越多的高科技应用于日常的生产生活中，比如：快递分拣机器人，无人机放牧，智能化无人码头装卸等．宇树科技有限公司开发了两款智能机器人用于搬运货物．若A型机器人每台工作1小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以搬运840件货物；若A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以搬运920件货物． （1）求两款机器人每台每小时各搬运多少件货物； （2）为了进一步提高效率，某快递公司计划购进A，B两款机器人共150台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总搬运量不少于26000件，求至少应购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每台每小时搬运200件货物，B型机器人每台每小时搬运160件货物 （2）至少购进A型机器人50台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A型机器人每台每小时搬运x件货物，B型机器人每台每小时搬运y件货物，根据 “A型机器人每台工作1小时，B型机器人每台工作4小时，一共可以搬运件货物；A型机器人每台工作3小时，B型机器人每台工作2小时，一共可以搬运件货物”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台，根据要保证新购进的这批机器人每小时的总搬运量不少于件，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A型机器人每台每小时搬运x件货物，B型机器人每台每小时搬运y件货物， 根据题意得：， 解得：； 答：A型机器人每台每小时搬运件货物，B型机器人每台每小时搬运件货物； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为． 答：至少购进A型机器人台． 24. 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，其中秤盘质量10克，重物质量x克，秤砣质量40克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．通过实验发现l、a、x、y存在以下数量关系：． 【设计杆秤】设定最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为40厘米． （1）①当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ②当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l和a的方程； ③请根据所列的两个方程，求出l和a的值． （2）用含有x的代数式表示y． （3）请确定刻线的位置，从零刻线开始，计算出每隔100克在杆秤上的对应刻线到零刻线的距离，并写出相邻刻线间的距离． 【答案】（1）①；②；③，；（2）；（3）4厘米 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键． （1）①②根据题意可直接进行求解；③联立①②可求解； （2）把求得的a、l的值代入进行求解； （3）分别计算x为… 克时对应的y值，求出相邻刻线间的距离． 【详解】（1）①根据题意得：，，代入得：，则； ②根据题意得：，，代入得： ，； ③联立①②得：，解得：； （2）把代入， 可得：，得：； （3）由（2）可知：， 当克时，厘米； 当克时，厘米； 当克时，厘米； 当克时，厘米； …… 当克时，厘米． 相邻刻线间的距离为厘米． 即相邻刻线间的距离为4厘米． 25. 【问题背景】 现有一副三角板（和），把它们按如图1放置，与重合，，，．点O是的中点，保持不动，将绕着点O顺时针旋转，旋转角，旋转过程中，直线与直线相交于点N，直线分别与直线、相交于点M、G． 【问题探究】 （1）当时，求的度数； （2）请分别求出和的度数（用含x的代数式表示），并直接写出和存在的数量关系； 【问题拓展】 （3）在旋转的过程中，当与有一组边互相平行时，请直接写出符合条件的的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）当与有一组边互相平行时，符合条件的的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理及其推论，分类讨论的思想方法，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理得到，，再利用邻补角的意义解答即可； （2）利用（1）中的方法解答即可得到，，而得到，将与相加即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法画出符合题意的图形，再利用平行线的性质和（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ， ， ， ，， ， ， ． ； （2），， ， ， ∴， ∵，， ， ， ∴． ∴． ∴． ∴和存在的数量关系为． （3）①当时，如图， ∵，， ， ∴； ②当时，如图， ，， ， ， ， ， 由（2）知：， ； 点N不存在，没有符合条件的； ③当时，如图， 此时点E与点A重合，没有符合条件的 综上，当与有一组边互相平行时，符合条件的的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $