精品解析：福建省龙岩市上杭县第三中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

上杭三中2024-2025学年第二学期3月综合练习 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，分式的知识，解题的关键是掌握分式意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式计算即可得答案． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， ∵分式中，分母不为， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A. 是最简二次根式，故本选项符合题意； B. 不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. 不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. 不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 的对角线，相交于点O，则下列与边一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质即可知与边AB一定相等的是CD． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AB=CD， ∴与边AB一定相等的是CD． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 4. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．分别写出各项的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A选项的逆命题为“如果，那么”，错误，为假命题，故A选项不符合题意； B选项的逆命题为“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，故B选项不符合题意； C选项的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，错误，为假命题，故C选项不符合题意； D选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，为真命题，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相垂直 D. 内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； B、两组对边分别平行，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； C、对角线互相垂直，是平行四边形不一定具有的性质，故此选项符合题意； D、内角和为，是平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．先判定是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ． 故选：C． 7. 若，，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. B. m，n互为相反数 C. m，n互为倒数 D. m，n绝对值相等 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算求解． 【详解】解：∵， ∴m，n互为倒数； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 8. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，平行四边形的面积为，，为中点，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用平行四边形性质得出，再利用平行四边形的面积求出，最后利用中位线性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，平行四边形的面积为， ∴， 得：， ∵为中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，点，在斜边上，且满足，点在直角边上，且满足，则这样的点个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短，勾股定理，直角三角形性质；运用轴对称知识，作线段的等量转换是解题的关键．作F关于的对称点，连接交于点O，则，连接交于P，过作于H，先利用两点之间，线段最短，得出的最小值为线段的长度，利用勾股定理和直角三角形性质求出，再分别判断：当P在点B处时，；当P在点C处时，，当P在边上时，存在两个点P使． 【详解】解：作F关于的对称点，连接交于点，则，    连接交于P，过作于H， ∵F，关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当P在点B处时，， 当P在点C处时，连接，，过C作于M，    ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中， ， ，， ∴， 在中，，，， ∴， 当P在C处时，， ∴当P在边上时，存在两个点P使， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D=_____． 【答案】130° 【解析】 【详解】解：由平行四边形对角相等可得∠A=∠C， 又因∠A+∠C=100°， 所以∠A=∠C=50°. 根据平行四边形的邻角互补可求的∠D=130°. 考点：平行四边形的性质. 12. 一直角三角形两条边长分别为1和2，则该三角形的斜边长为______． 【答案】或##2或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的知识．注意2可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当1和2都是两条直角边时， 斜边； 当1是直角边，2是斜边时， 斜边为． 故答案为：或2． 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 14. 如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在 中，，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 15. 如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是，高是，现在要从圆柱上点沿表面把一条彩带绕到点，则彩带最短需要______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ，，， 由勾股定理得：． 故答案为：13． 16. 点、、、，以、、、四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标_______________ 【答案】、、 【解析】 【分析】本题考查了根据平行四边形的性质来确定点的坐标，关键在于利用平行四边形对角线互相平分这一重要性质，并通过分情况讨论来全面求解； 因为平行四边形有三种可能的情况：为对角线、为对角线、为对角线，所以需要分情况讨论来求解． 【详解】解：已知点、、、，由平行四边形的性质，对角线中点重合，分三种情况讨论： ①以为对角线 的中点坐标为， 的中点坐标为， ， 解得：， 点； ②以为对角线 的中点坐标为， 的中点坐标为， ， 解得：， 点； ③以为对角线 的中点坐标为， 的中点坐标为， ， 解得：， 点； 综上，所有满足条件的点的坐标为、、． 故答案为：、、． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先进行乘除运算，化为最简二次根式后再合并同类二次根式； （2）先利用完全平方公式和二次根式的除法计算，最后进行加减运算． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ， ， ． 18. 已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简：，再从选一个你喜欢的无理数代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简后代入符合条件的一个无理数计算得出答案即可． 【详解】解： ， 当或或时，分式没有意义， ∴取，则原式． 20. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，再利用平方差公式可得，然后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）设，则，代入计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 所以的长为． 21. 已知， （1）求代数式的值 （2）求代数式的值 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键． （1）原式可化为，根据的值即可求得结果． （2）将、值代入原式根据平方差公式即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ， ． 22. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的风网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． （1）使三边的长度都是有理数的直角三角形． （2）使三边的长度都是无理数的直角三角形． （3）使一边长为且面积为6的平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：如图1中，即为所求作． AB=4，BC=3，AC==5， 故△ABC符合要求； 【小问2详解】 解：如图2中，即为所求作． AB=，AC=，BC=， 故△ABC符合要求； 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求作． ∵AD=BC=2，ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形， AB=CD=， ， 故四边形ABCD符合要求； 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握利用勾股定理进行网格作图是解题的关键． 23. 如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）见解析，80米 （2）超速，见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【小问1详解】 过点A作，交l于点D． ， 在中，， 由勾股定理得 ， 新路长度是80米． 【小问2详解】 该车超速 在中，， 由勾股定理得 ， 该车经过区间用时 ∴该车的速度为 该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 24. （）填空（只填写符号：，，） 当，时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， （）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明； （）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 【答案】（）；；；；（），证明见解析；（）． 【解析】 【分析】（）把各组的值分别代入和中计算，即可判断它们的大小关系； （）由，利用完全平方公式展开，变形后即可得到 ； （）设长方形的长宽分别为，则，利用()中的结论得到，则，进而可确定镜框周长的最小值； 本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 【详解】解：（）当时，，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 故答案为：；；；； （）． 证明：∵， ∴， ∴； （）设长方形的长为，宽是，则， ∵， ∴， ∴， 即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是． 25. 已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】（1）； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； 小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2024-2025学年第二学期3月综合练习 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 的对角线，相交于点O，则下列与边一定相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 5. 下列选项中，平行四边形不一定具有性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相垂直 D. 内角和为 6. 如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A B. C. D. 7. 若，，则下列关于m，n的说法正确的是（ ） A. B. m，n互为相反数 C. m，n互为倒数 D. m，n绝对值相等 8. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，平行四边形的面积为，，为中点，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 10. 如图，在中，，，点，在斜边上，且满足，点在直角边上，且满足，则这样的点个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠D=_____． 12. 一直角三角形的两条边长分别为1和2，则该三角形的斜边长为______． 13. 已知n是正整数，是整数，则n最小值是_______． 14. 如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________ 15. 如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是，高是，现在要从圆柱上点沿表面把一条彩带绕到点，则彩带最短需要______． 16. 点、、、，以、、、四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的点D的坐标_______________ 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证： 19. 先化简：，再从选一个你喜欢的无理数代入求值． 20. 如图，在中，边上垂直平分线与、分别交于点和，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 已知， （1）求代数式的值 （2）求代数式的值 22. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的风网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． （1）使三边的长度都是有理数的直角三角形． （2）使三边的长度都是无理数的直角三角形． （3）使一边长为且面积为6的平行四边形． 23. 如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 24. （）填空（只填写符号：，，） 当，时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， （）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明； （）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？ 25. 已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $