精品解析：河南省南阳市南召县云阳镇初级中学校2024--2025学年下学期九年级数学第一次评价试题

2025年春期九年级阶段练习 数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 若二次根式有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即，解不等式即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故选：C． 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数”是解题的关键． 【详解】解：， 故选C． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是： 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “三角形任意两边之差小于第三边”是必然事件 B. 在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定 C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，因此正面向上的概率是60% D. 检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用普查 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的意义分别分析得出答案． 【详解】解：、三角形任意两边之差小于第三边，是必然事件，正确； 、在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较小的同学成绩更稳定，故本选项错误； 、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，并不能说明正面向上的概率是，而是正面朝上的概率是，故本选项错误； 、检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用抽样调查，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题主要考查了随机事件、概率的意义、抽样调查以及方差的意义，正确把握相关定义是解题关键． 5. 如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．由等弧所对的圆周角相等得，由是的直径，进而可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 7. 已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 8. 书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所以有可能得结果，概率等于所求情况数与总情况数之比，据此即可得出答案． 【详解】解：设篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体分别用A、B、C、D、E表示， 根据题意，列出表格，如下： A B C D E A A，A B，A C，A D，A E，A B A，B B，B C，B D，B E，B C A，C B，C C，C D，C E，C D A，D B，D C，D D，D E，D E A，E B，E C，E D，E E，E 由表格可知，共有25种等可能的结果，其中小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的情况有1种， 小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为， 故选：D． 9. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围． 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C． 10. 如图1，在长方形中，E为的中点，点F从点E 出发，沿着的方向移动，直至到达点A，停止移动．设点F移动的距离为x，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查函数图象与动点问题，根据题意从函数图象获取相关信息是解题关键 根据题意得出第一个关键点的坐标是，意思是当点F在点E处时，的面积为6；第二个关键点的横坐标为3，此时点F从点E运动到点C处，移动的距离为3，第三个关键点的横坐标为m，此时点F移动到点D处，第四个关键点的坐标为，此时点F移动到点A处，结合图形求解即可 【详解】解：由图2得：第一个关键点的坐标是，意思是当点F在点E处时，的面积为6； 第二个关键点的横坐标为3，此时点F从点E运动到点C处，移动的距离为3， ∴， ∵E为的中点，∴， ∴C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴B选项错误，符合题意； 第三个关键点的横坐标为m，此时点F移动到点D处，移动的距离为， ∴； ∴A选项正确，不符合题意； 第四个关键点的坐标为，此时点F移动到点A处，移动的距离为， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“一元二次方程的两个根分别为、，则，”进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x， ∵一个根为1， ∴， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：2． 12. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，连接，则图中阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记公式是解题关键．先利用勾股定理求出，解直角三角形得到，易证是等边三角形，根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为：． 14. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 【答案】（－1，－2） 【解析】 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD═DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）， 【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 15. 如图，在纸片中，，，，点D，E分别在、边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．若点F在上，则菱形的边长为______；连接，则的长的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数．设，根据，列出方程求出的值，进而可以解决问题；连接交于点O，设与交于点G，根据菱形的性质可得点F在的平分线上运动，从而得到当时，再证明，可得，再证明，，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：点F在上， ， 是菱形， ，，， ，， 设， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的边长等于； 故答案为：； 如图2，连接交于点O，设与交于点G， 四边形是菱形， 平分， 点F在的平分线上运动， 当时，的长最小． 在菱形中 ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算： ； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方，特殊角的三角函数值，零次幂。负整数指数幂，算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1），， （2）B款更受用户欢迎，理由见详解 （3）对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数约为人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数，百分比的计算方法即可求解； （2）根据调查数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：对A款人工智能软件的所有评分数据中，共有20个评分，其中出现的次数最多， ∴， 为保证对A款人工智能软件和对B款人工智能软件的公平性，B款抽取的样本容量为20， ∴对B款人工智能软件评分在A组的数据为，在B组的数据为，在C组的数据为8，在D组的数据为， ∴中位数是第10和11的平均数，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：B款更受用户欢迎，理由如下， A款与B款的平均数相同，A款的中位数，众数均小于B款，且A款的方差大于B款的方差， ∴B款人工智能软件更好，更稳定， ∴B款更受用户欢迎； 【小问3详解】 解：（人）， ∴对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数约为人． 18. 我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的变形方程为，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，关键在于读题根据规定变形即可． （1）先将方程变形，再根据判别式解出范围即可． （2）先将变形前的方程列出来，化简求出a、b、c，相加即可求解． 【小问1详解】 解：用代替方程里的， 得． 整理，得 变形后的方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 解：．理由如下： 方程的变形方程为， 整理，得， 即 由于方程的变形方程为， 所以． 19. 如图，是的直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查圆的综合应用，考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题关键是找到等角证明等边，使用勾股定理求边长，然后找出相似三角形，利用相似比求出边长． （1）利用切线性质得到，然后等量代换求出等角推出等边即可． （2）先利用勾股定理求出边长，然后利用相似三角形的相似比代换出边长求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 是切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ∵D是的中点， ∴， ∴， ， ，， ， ， ． 20. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为自然数），每个月的销售利润为y元． （1）用含x的式子表示：每件商品的单件利润是__________元，每月的销售量为__________件； （2）直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1），； （2），； （3）每件商品的售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，列代数式，掌握相关知识是解题的关键．． （1）根据题意可直接列出代数式； （2）销售利润每件商品的利润（上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （3）结合（2）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，每件商品的单件利润是元， 每月的销售量为件， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， ∵每件售价不能高于35元， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，（，且为整数）， ∵， ∴当时，， ∴每件商品的售价为元时，可获得最大利润，最大利润是元． 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 22. 已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点； ①直接写出点B的坐标为 ； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点C，交于点D，求直线的解析式； （2）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出a的取值范围 ． 【答案】（1）①点② （2）或 【解析】 【分析】（1）①把点代入解析式即可求出抛物线为，由轴即可求出； ②过点D作，垂足H，由角平分线性质得，求出点，进而求得直线解析式为，； （2）分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在上方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①将代入中， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与y轴交于点A坐标为， 当时，即，解得：， ∴点． ②过点D作，垂足为H， 轴， 轴， 平分， ， ，， ， ， ，，， ， ， 设直线解析式为， ，即直线OC解析式为． 【小问2详解】 a的取值范围是或， 抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点为， ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， I．当抛物线的顶点在线段上时， 即：， 解得：， Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时， ， 当时，， ，对称轴为， ， ∵抛物线线段有且只有一个交点， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ， 解得：， 综上，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，抛物线与直线的交点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 23. 综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． （1）初步思考：求证：DE＝AC； （2）操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析 （3）A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为 【解析】 【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论； （2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论； （3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得； 选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长． 【小问1详解】 ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°−∠CDE=30°， ∴DE=2CD， ∵D是AC的中点， ∴AC=2CD， ∴DE=AC； 【小问2详解】 四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， 由（1）知，DE=AC， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 选择A：如图3，由旋转的性质得：， ∵D'E'//BC， ∴， ∴， 即， 连接， ∵AC=BC，AC=DE，， ∴ ∵D'E'//BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵D是AC的中点， ∴， ∴； 选择B：如图4，过点C作于G， ∵AB=AC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵D'E'//AB， ∴∠CFG=∠A= 45°， ∵， ∴， 即旋转角α的度数为105°； ∵，，∠CFG = 45°， ∴，， ∴，CG=FG， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期九年级阶段练习 数学 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 若二次根式有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “三角形任意两边之差小于第三边”是必然事件 B. 在连续5次的测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学成绩更稳定 C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，6次正面向上，因此正面向上的概率是60% D. 检测某品牌笔芯的使用寿命，适宜用普查 5. 如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 书法是中国及深受中国文化影响过的周边国家和地区特有的一种文字美的艺术表现形式．“中国书法”是中国汉字特有的一种传统艺术，有篆书、隶书、楷书、行书、草书五种书体（如图所示）．小明和小红都是书法爱好者，他们准备从这几种书体中分别随机选择一种练习写“春”字．小明和小红都选择“楷书”练习“春”字的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图1，在长方形中，E为的中点，点F从点E 出发，沿着的方向移动，直至到达点A，停止移动．设点F移动的距离为x，的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 12. 抛物线 的对称轴是直线， 如果点、 在此抛物线上，那么 _____（填“”、“”或“”）． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点E，连接，则图中阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 14. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 15. 如图，在纸片中，，，，点D，E分别在、边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．若点F在上，则菱形的边长为______；连接，则的长的最小值为________． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）计算： ； （2）化简：． 17. 四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能软件的评分数据中C组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对A、B两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 85.5 b 96.6 B 86 a 88 69.8 抽取的对B款人工智能软件的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对A款人工智能软件进行了评分，有800名用户对B款人工智能软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 18. 我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 （1）若方程变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的变形方程为，直接写出的值． 19. 如图，是直径，点D在直径上，，，连接，与相交于点F，过点F作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若点D是的中点，，求的长． 20. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为自然数），每个月的销售利润为y元． （1）用含x的式子表示：每件商品的单件利润是__________元，每月的销售量为__________件； （2）直接写出y与x函数关系式和自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 22. 已知，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． （1）若抛物线经过点； ①直接写出点B的坐标为 ； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点C，交于点D，求直线的解析式； （2）已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出a的取值范围 ． 23. 综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． （1）初步思考：求证：DE＝AC； （2）操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $