精品解析：江苏省泰州市泰兴市实验初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

泰兴市实验初中教育集团 初三数学阶段试题 2025.3 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 18 ▂ ▂ 由于表格污损，15岁、16岁的人数不清楚，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 5. 如图，的边交于A、B、C、D，、、、的度数分别为α、β、γ、θ，若要确定的大小，则需要确定的弧的度数是（ ） A. α、β B. β、γ C. γ、θ D. α、γ 6. 若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 8. 分解因式：=____. 9. 我国陆地面积大约为万平方千米，东部和南部大陆海岸线万多千米，内海和边海的水域面积约多万平方千米．数据万用科学记数法可表示为____________． 10. 底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为______cm2． 11. 方程 的解为 ___________． 12. 如图，在网格正方形中，每个小正方形边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是________． 13. 已知，是方程的两根，则的值为________． 14. 已知一次函数与反比例函数图象的两个交点横坐标分别为1和3，则不等式的解集为______． 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①______ ②______ B 72 ③______ 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 21. 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，如图（2）．（ 参考数据：） （1）求车架档的长； （2）求车链横档的长． 22. 某商店决定购，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元．用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． （1）求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价元/件 销售量（件） 求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 23. 如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 24. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 （2）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ； ② ． （3）若点在函数图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 25. 已知二次函数、的图像如图所示，过点作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右） （1）若直线轴，则__________（填“或” ） （2）设直线l的函数表达式为，A、B、C、D四点的横坐标分别为，记，． ①若，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由； ②若，求的值． 26. 已知，点D在的延长线上，，以为边，在的同侧作正方形，经过E、F两点作且与边相切于点G，连接，点P是边的中点， （1）求的半径； （2）如图1，当点P在上，连接，若，求证：是的切线； （3）如图2，若，且，连接交于点H，设，①求y与m的函数关系式；②当点P在上时，求y的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市实验初中教育集团 初三数学阶段试题 2025.3 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形（一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合）与中心对称图形（一个图形绕某一点旋转后能与它自身重合）的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 4. 某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 18 ▂ ▂ 由于表格污损，15岁、16岁的人数不清楚，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据有40位同学，而13、14岁的共5+18=23位同学，可得众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵共有40位同学，13、14岁的共5+18=23位同学，14岁的占18位同学， ∴14为众数， ∴第20个数和第21个数都是14， ∴数据的中位数为14． 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数与方差，解题的关键是熟知它们的定义． 5. 如图，的边交于A、B、C、D，、、、的度数分别为α、β、γ、θ，若要确定的大小，则需要确定的弧的度数是（ ） A α、β B. β、γ C. γ、θ D. α、γ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，，，，，首先根据圆周角定理得到，，然后结合外角的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，，， ∵， ∴， ∴ ∴若要确定的大小，则需要确定的弧的度数是α、γ． 故选：D． 6. 若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的解的情况求参数，解不等式组，根据题意可得，再由得到，则，根据方程的解为整数，得到或或或或，据此可推出的值，根据的值，看方程是否有两个不同的整数解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵x为整数， ∴或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，或，当时，或，当时，（即两个相等的实数根），不符合题意，舍去， ∴这样的P有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 8. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 9. 我国的陆地面积大约为万平方千米，东部和南部大陆海岸线万多千米，内海和边海的水域面积约多万平方千米．数据万用科学记数法可表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故答案为：． 10. 底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为______cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15πcm2. 故答案为：15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 11. 方程 的解为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 12. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长到D，连接，由网格可得，即得，可求出答案． 【详解】解：延长到，连接，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 13. 已知，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 已知一次函数与反比例函数图象的两个交点横坐标分别为1和3，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数小于一次函数，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示： 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ， ， 当时，， 即当时，的值为． 故答案为：16． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键． （1）原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的意义计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，最后将字母的值代入，分母有理化即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关键． 19. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①______ ②______ B 72 ③______ 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）款，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义． （1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， 则其众数为72， 方差为， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 故填空如下： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①72 ②17.8 B 72 ③71 69 14 小问2详解】 解：B款无人机运行时间更有优势， 款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， 款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取到《周髀算经》这本书的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3本书，每本书被小明抽到的概率相同， ∴小明抽到《周髀算经》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的结果有4种， ∴小明和小红抽取的两本书中有《九章算术》的概率． 21. 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，如图（2）．（ 参考数据：） （1）求车架档的长； （2）求车链横档的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是勾股定理、平行线的性质. （1）利用勾股定理解题即可； （2）先过点B作, 得出，求出，设, 则，， 根据 , 求出的值, 从而得出的长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：，且， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 则 ， ∵，， ， ∵, ∴， ， 设, 则， , 则 ， 解得： ， ， 答: 车链横档的长约为. 22. 某商店决定购，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元．用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． （1）求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价元/件 销售量（件） 求当何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1），两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进A种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （）设利润为元，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可； 【小问1详解】 设设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程得解， ∴纪念品每件的进价是元， 答：， 两种纪念品每件的进价分别是和元． 【小问2详解】 设利润为元，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当时， ， ∵， ∴当时，利润最大为：元， 答：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．的解 23. 如图，矩形中，，E是边上一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1）见解析 （2）2或8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． 24. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 （2）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ； ② ． （3）若点在函数的图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）1，画图见解析 （2）函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 把图象补充完整如图所示； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：①函数图象关于轴对称， ②函数值， 故答案为：函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：把代入得，， ， 设， 的面积为， ， 解得或，（舍去）或（舍去）， 或． 25. 已知二次函数、的图像如图所示，过点作直线l与这两个函数图像交于A、B、C、D四点（点A、B、C、D依次从左往右） （1）若直线轴，则__________（填“或” ） （2）设直线l的函数表达式为，A、B、C、D四点的横坐标分别为，记，． ①若，请你判断s、t中哪一个是黄金分割数，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】（1）； （2）①是黄金分割数，理由见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，两点间的距离公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设直线为，求得，，，，再求出的值，即可得出结论； （2）①先求出，，，，当时，则，，，，求得，，即可得出答案； ②当时，即，得到，再求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线轴， ∴设直线为， 联立得：， 解得：， ∴，， 联立得：， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：联立得：， 解得：， ∴， ∴， 联立得：， 解得：， ∴，， ∴， ①当时，则，，，， ∴，， ∵黄金分割数为， ∴是黄金分割数； ②当时，即， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 26. 已知，点D在延长线上，，以为边，在的同侧作正方形，经过E、F两点作且与边相切于点G，连接，点P是边的中点， （1）求的半径； （2）如图1，当点P在上，连接，若，求证：是的切线； （3）如图2，若，且，连接交于点H，设，①求y与m的函数关系式；②当点P在上时，求y的值． 【答案】（1）的半径为； （2）证明见解析； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）如图，连接并延长交于，连接，证明，设，再进一步利用勾股定理求解即可； （2）如图，连接，证明，可得，再进一步可得结论； （3）①作于，证明，可得，证明是等边三角形，可得，求得，证明，再进一步解答即可； ②如图，连接并延长交的延长线于，连接，过作于，证明，可得，求解，，而，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长交于K，连接， ∵切于，正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴的半径为2.5； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 【小问3详解】 解：①作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 结合（1）可得：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ②如图，连接并延长交的延长线于，连接，过作于， ∵， ∴， 而为的中点， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，画出符合题意的图形，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$