精品解析： 吉林省长春市赫行实验学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷

2024-2025学年吉林省长春市赫行实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、是是一元二次方程，故此选项符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 3. 如果ab=cd，且abcd≠0，则下列比例式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质，可得答案． 【详解】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积， 所给选项中，B、C、D都符合题意； 只有A不符合要求. 故选A. 4. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 5. 已知洛洛学会了单词表中的单词，上课期间老师随机听写了单词表中的两个单词，“洛洛恰好都写对了”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：洛洛学会了单词表中的单词，上课期间老师随机听写了单词表中的两个单词，“洛洛恰好都写对了”这一事件是随机事件， 故选：A． 6. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2向下平移3个单位可得到函数， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键． 7. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角．连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】解： . 故答案为：. 10. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数，掌握相关知识是解题关键．由数与字母的积组成的代数式是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，据此解题． 【详解】解：单项式的系数是： 故答案为： 11. 若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点坐标公式．根据二次函数的性质和轴上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 顶点的纵坐标是， 即， 解得， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点E，若，，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，垂直平分，得出，，再在中，由勾股定理得出的长，根据等面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，熟记勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：；；；，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，则点在的外接圆上，则，进而得，由勾股定理得，，由此可对结论进行判断；延长到，使，连接，则，证明和全等得，，由得，则，由此可判定和全等，则，进而得，据此可对结论进行判断；连接，过点作于点，的延长线交于点，先证明四边形和四边形都是矩形得，再证明和全等得，则，由勾股定理得，，则，据此可对结论进行判断；由勾股定理得，，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，如图所示：   ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是外接圆的直径， ∵， ∴， ∴点在的外接圆上， 根据圆周角定理得：， ∴是等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故结论正确； 延长到，使，连接，如图所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由可知：， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论正确； 连接，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由可知：， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， ∴，， ∴是等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， ∴， 故结论正确； ∵， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故结论不正确， 综上所述：正确结论的序号是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 四、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式是解题的关键． 根据增长（降低）率公式，可列出式子． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 18. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）． 【答案】、两点间的距离约为11千米． 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C作于点D 在中，，千米 （千米），（千米） 在中， 是等腰直角三角形 千米 （千米） 答：、两点间的距离约为11千米． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 19. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 21. 为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果整理如下： a：早高峰： b：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）早高峰10个数据的中位数是 ；晚高峰10个数据的众数是 （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是 （填“早”或“晚”）； （3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天)早高峰时段拥堵的天数为多少天？ 【答案】（1）196 ，192 （2）晚 （3）12天 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可； 本题考查了方差、中位数、众数的计算，解题的关键是熟练掌握方差、中位数、众数的计算方法． 【小问1详解】 解：由图可知，早高峰10个数据的中位数是按从小到大的顺序排序第5个和6个数的平均数 晚高峰10个数据出现次数最多的是192，晚高峰10个数据的众数是192， 故答案为：196，192 【小问2详解】 解：早高峰的平均数为： 早高峰的方差为： 晚高峰的平均数为： 晚高峰的方差为： 早晚高峰时段车流量更稳定的是晚； 故答案为：晚 【小问3详解】 解：由题意，得 (天) 估计该路口一个月30天，早高峰时段拥堵的天数为12天． 22. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 【答案】（1）①；②； （2）4； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）①以点定点为圆心，定长为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，由点B，点M关于直线对称，得到，则点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，再根据勾股定理求解即可； （3）①先证明，可得，，由余角的性质可证； ②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【小问1详解】 ①， 点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， 点P在以定弦为直径的上， 如图2，连接OC交于点P，此时最小， 点O是的中点， ， 在中，，，， ， 最小值为2， 故答案为：； 【小问2详解】 如图3，连接， 点B，点M关于直线对称， ， 点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， 当点M在线段上时，有最小值， ，， ， 的最小值为， 故答案为：4； 【小问3详解】 ①四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ∴，； ②连接，交于点O， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的， 点P的运动路径长为， 故答案为： 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春市赫行实验学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果ab=cd，且abcd≠0，则下列比例式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知洛洛学会了单词表中的单词，上课期间老师随机听写了单词表中的两个单词，“洛洛恰好都写对了”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 6. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：______． 10. 单项式的系数是______． 11. 若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是________． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为______． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点E，若，，连接，则______． 14. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，，交于，给出下面四个结论：；；；，上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 15. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 18. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）． 19. 如图，是直径，点C在上，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 21. 为了解某一路口汽车流量情况，小明同学在10天的早、晚高峰时间段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果整理如下： a：早高峰： b：晚高峰：192，189，200，190，180，192，185，173，192，181 （1）早高峰10个数据的中位数是 ；晚高峰10个数据的众数是 （2）若某时段的汽车数量方差越小，则认为该时段车流量越稳定，则早晚高峰时段车流量更稳定的是 （填“早”或“晚”）； （3）若早高峰时段该路口通过的汽车数量高于200辆则视为“拥堵”，试估计该路口一个月30天)早高峰时段拥堵的天数为多少天？ 22. 阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $