4.1　一元二次方程 导学案 2025—2026学年青岛版数学九年级上册

本文围绕一元二次方程展开，从实际问题情境抽象出概念，承接方程相关知识背景，为后续方程求解等内容奠基。通过实际问题引导、合作探究等环节，培养学生抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计创新点在于以实际问题引入，采用合作探究法。对学生而言，提升解决实际问题能力；对教师来说，提供清晰授课路径；从课堂效果看，能有效突破理解一般形式这一教学难点。

第4章 　一元二次方程 学习目标 课题 4.1　一元二次方程 课时 4.1　一元二次方程 学习目标 1.通过实际问题情境,抽象出一元二次方程的概念,使学生体会方程是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型. 2.了解一元二次方程的意义,掌握一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式. 3.探索一元二次方程的解或近似解,培养学生的估算意识和能力. 学习 重难点 重点:一元二次方程的概念和一般形式. 难点:理解和掌握一般形式中的a≠0,“项”和“系数”. 学习活动 [课前小测] 1.什么是方程? 2.什么是一元一次方程? 3.下列方程哪些是一元一次方程?哪些不是?为什么? (1)-4x-8y=7; (2)=3; (3)-2(x+6)-4x=1; (4)8x2+4x-3=0. [合作探究] 探究一:一元二次方程 问题1： 教室的面积为54 m2,长比宽的2倍少3 m,如果要求出教室的长和宽,设宽为x m,怎样根据问题中的数量关系列出方程? 问题2： 直角三角形斜边的长为11 cm,两条直角边的差为7 cm.如果要求出两条直角边的长,设较短直角边长为x m,怎样根据问题中的数量关系列出方程? 问题3： 如图,点C是线段AB上的一点,AB=1,AC=x,且=.如果要求的值,怎样根据问题中的数量关系列出方程? 问题4： 由上面的三个问题,分别得到了下面的方程: ① ② ③ 把它们分别进行整理,得 你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征? 问题5： 你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项,以及二次项系数和一次项系数吗? 典例分析: 【例】 把方程(2x+1)(3x-2)=x2+2化为一元二次方程的一般形式,写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 探究二:估计一元二次方程的根 探究一中问题2得到了一元二次方程x2+(x+7)2=112.② 你能估计出这个方程的根吗? (1)要估计出方程②的根,可以先估计出方程根的一个大致范围.结合方程②的实际意义,你能说出适合方程②的x的一个大致范围吗? (2)怎样才能进一步缩小估计的范围呢? (3)取3和4的中间值3.5,借助计算器计算当x=3.5时x2+7x的值,并比较它的值与36的大小,填写下表: x 3 3.5 4 x2+7x 与36比较 这说明方程的根在哪两个数之间呢? (4)取3和3.5的中间值3.3,重复以上过程,填写下表: x 3 3.3 3.5 x2+7x 与36比较 这说明方程的根在哪两个数之间呢? (5)同样地,再取3.3和3.5的中间值3.4,填写下表: x 3.3 3.4 3.5 x2+7x 与36比较 这说明方程的根在哪两个数之间呢? (6)如果不考虑方程④的根的实际意义,你会估计方程④还有其他的根吗? [随堂检测] 1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是(　 　 ) A.ax2+bx+c=0 B.m2x+5m+6=0 C.x3-x-1=0 D.(k2+3)x2+2x-=0 2.已知一元二次方程x2-kx+3=0有一个根为1,则k的值为(　 　 ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 3.把方程x(x-2)=3(x+1)化为一元二次方程的一般形式是　 　,二次项系数为　 　,一次项系数为　 　,常数项为　 　.  [课堂小结] 1.一元二次方程是怎样定义的? 2.一元二次方程的一般形式是什么?它的二次项、一次项及二次项系数、一次项系数分别是什么? 3.估计一元二次方程的根采用的是什么方法?是怎样实现的? [作业布置] 请完成教材练习题P126T1-T2,P128T1-T2 学科网（北京）股份有限公司 $$