第12期 4.1 一元二次方程 4.2 用配方法解一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 配方法是解一元二次方程的基本方法，也是解决代 数中有关二次式最值问题的常用方法之一．配方是通过 “加上”并且“减去”相同的项，把代数式中的某些项配 成完全平方式，达到巧解的目的．下面就让我们走进一 元二次方程的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ 一、配方法的基本思路 用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转 化为（ｘ＋ｍ）２ ＝ｎ的形式，然后利用开平方达到降次的 目的．当ｎ≥０时，根据平方根的意义可求出它的根为 槡ｘ＝－ｍ± ｎ． 二、配方法的步骤 如果方程的二次项系数是１，且一次项系数是２的 整数倍，比如ｘ２－４ｘ＋１＝０，那么一般可按以下步骤解 方程： （１）移项：使方程的左边为含有未知数的项（即二 次项与一次项），右边为不含未知数的项（即常数项）， 得ｘ２－４ｘ＝－１； （２）配方：在方程的两边都加上一次项系数一半的 平方，把方程左边写成完全平方的形式，即 ｘ２－４ｘ＋ （－４２） ２ ＝－１＋（－４２） ２，（ｘ－２）２ ＝３； （３）开方：根据平方根的意义，直接开平方得到两 个一元一次方程，从而达到“降次”的目的，由此可得 ｘ－２＝槡３或ｘ－２＝－槡３； （４）求解：解两个一元一次方程，得 ｘ１ ＝２＋槡３， ｘ２ ＝２－槡３． 温馨提示：（１）如果方程的二次项系数不是１，要先 利用等式的基本性质将其化为１； （２）若一个方程完成配方后，方程右边的常数项是 负数，这说明原方程在实数范围内无解． 练习：用配方法解一元二次方程：３ｘ２－６ｘ＋２＝０． ［答案：ｘ１ ＝ ３－槡３ ３ ，ｘ２ ＝ ３＋槡３ ３ ］ 三、配方法的应用 配方法不仅用来解一元二次方程，还能巧解数学中 的很多问题，下面我们就一起欣赏如何巧用“配方法” 解题吧！ 例　已知代数式２ｘ２－８ｘ＋９，试说明无论ｘ取何实 数，代数式的值恒大于零，并求代数式的最小值． 思路点拨：要说明代数式２ｘ２－８ｘ＋９恒大于零，可 用配方法将它化成ａ（ｘ－ｈ）２的形式，然后再讨论判断． 解：原式＝２（ｘ２－４ｘ）＋９ ＝２（ｘ２－４ｘ＋４－４）＋９ ＝２（ｘ－２）２＋１． 因为（ｘ－２）２≥０，所以２（ｘ－２）２＋１＞０．所以无 论ｘ取何实数，代数式２ｘ２－８ｘ＋９的值恒大于零． 由上可得，当ｘ＝２时，代数式２ｘ２－８ｘ＋９有最小 值，最小值为１． 书 一、分清ａ，ｂ，ｃ的符号 例１　解方程：ｘ２－３ｘ－１＝０． 解：因为ａ＝１，ｂ＝－３，ｃ＝－１， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－３）２－４×１×（－１）＝１３， 所以ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－３）±槡１３ ２×１ ＝ ３±槡１３ ２ ， 解得ｘ１ ＝ ３＋槡１３ ２ ，ｘ２ ＝ ３－槡１３ ２ ． 二、将方程化为一般形式 例２　解方程：３ｘ（ｘ－１）＝２ｘ－２． 解：原方程可化为３ｘ２－５ｘ＋２＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝２，ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４ ×３×２＝２５－２４＝１， 所以 ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－５）±１ ２×３ ＝ ５±１ ６ ， 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ ２ ３． 三、ｂ２－４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：３ｘ２ ＝５ｘ－４． 解：移项，得３ｘ２－５ｘ＋４＝０， 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝４，ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４ ×３×４＝－２３＜０， 所以原方程无实数根． 【对应练习见《重点集训营》】 辅助线专项练习 １．如图１，Ｅ，Ｆ分别为矩形ＡＢＣＤ边ＡＢ，ＡＤ上的两 点，ＢＥ，ＤＦ相交于Ｇ点，且ＢＥ＝ＦＤ，∠ＦＧＢ＝１９°，则 ∠ＢＧＣ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７１° Ｂ．８０．５° Ｃ．８１° Ｄ．７１．５° ２．如图２，ＰＡ＝２槡２，ＰＢ＝４槡２，以ＡＢ为边作正方 形ＡＢＣＤ，使得Ｐ，Ｄ两点落在直线ＡＢ的两侧，当∠ＡＰＢ 变化时，则ＰＤ的最大值为 （　　） Ａ．４＋４槡２ Ｂ．２＋２槡２ Ｃ．４＋２槡２ Ｄ．２＋４槡２ 书 １１期参考答案 一、１．Ａ；　２．Ｃ； ３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ａ； ６．Ａ；　７．Ｄ；　８．Ｃ． 二、９．三角形的三个 内角中至少有两个钝角； １０．１５０°； １１．π４ －１＋ 槡２ ２； １２．３５°；　１３．１０５°； １４．槡２３π． 三、１５．∠ＢＡＣ的度数 为６５°． １６．ＡＤ所在 ⊙Ｏ的半 径为 １３ ８ ｍ． １７．证明略． １８．（１）证明：连接 ＯＣ，因为 ) ) ＡＣ＝ＣＢ，所以 ∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ．又因为 ＣＤ⊥ＯＡ，ＣＥ⊥ ＯＢ，所以 △ＣＤＯ≌△ＣＥＯ，所以ＣＤ ＝ＣＥ． （２）四边形 ＤＯＥＣ的 面积为槡３． １９．（１）图略．（２， －１）；槡２５． （２）点Ｍ在⊙Ｐ上． （３）扇形 ＰＡＣ的面积 为５π． ２０．（１）证明：因为 ) ＡＣ ) ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．因 为 ∠ＥＡＣ ＝ ∠Ｄ，所以 ∠ＥＡＣ＝∠Ｂ．因为 ＡＢ是 ⊙Ｏ的直径，所以∠ＡＣＢ＝ ９０°，所以 ∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝ ９０°，所以 ∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ ＝９０°，所以ＢＡ⊥ＡＥ，因为 ＯＡ为⊙Ｏ的半径，所以ＡＥ 是⊙Ｏ的切线． （２） ) ＡＣ的长 ＝４π３． ２１． （１）∠ＣＯＡ ＝ ２∠ＯＢＣ＝６０°． （２）因为ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°， 因 为 ＯＣ∥ ＢＤ， 所 以 ∠ＡＥＯ＝∠ＡＤＢ＝９０°，因 为 ∠ＡＯＣ ＝６０°，所以 ∠ＯＡＥ＝３０°，所以 ＯＥ＝ １ ２ＯＡ，所以ＣＥ＝ １ ２ＯＣ＝ １ ２ ×４＝２． （３）连接 ＯＤ，因为 ∠ＣＢＤ＝∠ＯＢＣ＝３０°，所 以∠ＯＢＤ＝６０°，因为 ＯＢ ＝ＯＤ，所以△ＢＯＤ是等边 三角 形，所 以 Ｓ阴影 ＝ Ｓ扇形ＢＯＤ －Ｓ△ＢＯＤ ＝ ８ ３π－ 槡４３． ２２．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＡ＝ＯＤ，所以 书 １０期２版 ３．６弧长及扇形面积的计算（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．２π；　５．４３π． 能力提高　６．（１）证明：连接ＣＤ，ＢＥ，因为ＢＣ是⊙Ｏ的直 径，所以∠ＢＤＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°，因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ，所以∠ＢＣＤ＝∠ＣＢＥ，所以 ) ) ＢＤ＝ＣＥ，所以ＢＤ＝ＣＥ． （２）连接ＯＤ，ＯＥ，因为ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝７０°，所以∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ＝７０°，因为ＯＢ＝ＯＤ，所以∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ＝７０°，所 以∠ＤＯＣ＝１４０°，因为ＯＥ＝ＯＣ，所以∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ＝７０°， 所以∠ＣＯＥ＝４０°，所以∠ＤＯＥ＝１００°，因为ＢＣ＝１２，所以⊙Ｏ 的半径为６，所以 ) ＤＥ的长 ＝１００π×６１８０ ＝ １０ ３π． ３．６弧长及扇形面积的计算（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．２４；　５．（９π－１８）． 能力提高 　６．（１）证明：连接 ＯＤ，因为 ＯＢ＝ＯＤ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＯＤＢ，因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ，所以 ∠ＯＤＢ＝∠ＡＣＢ，所以ＯＤ∥ＡＣ，因为ＤＦ是⊙Ｏ的切线，所以 ＤＦ⊥ＯＤ，所以ＤＦ⊥ＡＣ． （２）连接ＯＥ，因为ＤＦ⊥ＡＣ，∠ＣＤＦ＝２２５°，所以∠ＡＢＣ ＝∠ＡＣＢ＝６７５°，所以 ∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ＝ ４５°，因为ＯＡ＝ＯＥ，所以∠ＯＥＡ＝∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＯＥ＝ ９０°，因为⊙Ｏ的半径为４，所以阴影部分的面积 ＝Ｓ扇形ＯＡＥ － ＳＲｔ△ＡＯＥ ＝ ９０π×４２ ３６０ － １ ２ ×４×４＝４π－８． ３．７正多边形与圆 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．３６°；　５．１２；　６．１５°． 能力提高　７．（１）设⊙Ｏ的半径为 Ｒ，则它的内接正方形 的边长为槡２Ｒ，它的内接正六边形的边长为Ｒ， 所以内接正方形ＡＢＣＤ和内接正六边形ＡＥＦＣＧＨ的边长比 ＝槡２Ｒ∶Ｒ＝槡２∶１．故填槡２∶１． （２）ＢＥ是⊙Ｏ的内接正十二边形的一边，理由如下： 连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＥ，在正方形ＡＢＣＤ中，∠ＡＯＢ＝９０°，在正六 边形ＡＥＦＣＧＨ中，∠ＡＯＥ＝６０°，所以∠ＢＯＥ＝３０°， 因为ｎ＝３６０°３０°＝１２，所以ＢＥ是正十二边形的边． １０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ 二、９．９；　１０．２０．５；　１１．３π；　１２．１２； １３．８３π－ 槡４３；　１４． ３９ ２ － １３ ４π． 三、１５．连接 ＯＢ，因为六边形 ＡＢＣＤＥＦ为正六边形，所以 ∠ＣＯＢ＝６０°，ＯＣ＝ＯＢ，所以△ＣＯＢ是等边三角形，所以ＯＣ＝ ＯＢ＝６ｃｍ，因为ＯＧ⊥ＣＢ，所以ＣＧ＝ＢＧ＝ １２ＣＢ＝ １ ２×６＝ ３（ｃｍ），在Ｒｔ△ＣＯＧ中，由勾股定理，得ＯＧ＝ ＯＣ２－ＣＧ槡 ２ ＝ 槡３３（ｃｍ），所以Ｓ＝６× １ ２ ×６× 槡３３＝ 槡５４３（ｃｍ ２）． 答：该正六边形的面积为 槡５４３ｃｍ２，边心距ＯＧ长为 槡３３ｃｍ． １６．（１）连接ＯＤ，则ＯＣ＝ＯＤ，因为∠Ａ＝１５°，所以∠ＣＯＢ ＝３０°，因为 ＣＤ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＣＯＤ＝２∠ＣＯＢ＝６０°，所以 △ＯＣＤ是等边三角形，所以ＯＣ＝ＣＤ＝４，所以ＡＢ＝２ＯＣ＝８． （２）由（１）知∠ＣＯＤ＝６０°，ＯＣ＝４，所以 ) ＣＤ的长 ＝６０π１８０ ×４＝ ４３π． １７．（１）证明：连接ＯＢ，交ＣＡ于点 Ｅ，因为 ∠ＢＣＡ＝３０°， ∠ＢＣＡ＝ １２∠ＢＯＡ，所以∠ＢＯＡ＝６０°，因为∠ＢＣＡ＝∠ＯＡＣ ＝３０°，所以∠ＡＥＯ＝９０°，因为ＢＤ∥ＡＣ，所以∠ＤＢＥ＝∠ＡＥＯ ＝９０°，即ＯＢ⊥ＢＤ，所以ＢＤ是⊙Ｏ的切线． （２）因为ＡＣ∥ ＢＤ，∠ＯＡＣ＝３０°，所以 ∠Ｄ＝∠ＯＡＣ＝ ３０°，因为∠ＯＢＤ＝９０°，ＯＢ＝８，所以ＢＤ＝ 槡８３，所以Ｓ阴影 ＝ Ｓ△ＢＤＯ －Ｓ扇形ＡＯＢ ＝ １ ２ ×８× 槡８３－ ６０π×８２ ３６０ ＝ 槡３２３－ ３２π ３． １８．（１）连接ＯＤ，因为⊙Ｏ的直径ＡＢ＝１６，所以圆的半径 ＯＢ＝ＯＤ＝ １２ＡＢ＝８．因为ＯＣ⊥ＡＢ，ＤＥ⊥ＯＣ，ＤＦ⊥ＡＢ，所 以∠ＥＯＢ＝∠ＯＥＤ＝∠ＯＦＤ＝９０°，所以四边形 ＯＦＤＥ是矩 形，所以ＥＦ＝ＯＤ＝８． （２）①因为点Ｅ为ＯＣ的中点，所以ＯＥ＝ １２ＯＣ＝ １ ２ＯＤ， 所以∠ＥＤＯ＝３０°，所以∠ＤＯＥ＝６０°，所以劣弧ＣＤ的长度 ＝ ６０π×８ １８０ ＝ ８π ３． ②延长ＣＯ交⊙Ｏ于点Ｇ，连接ＤＧ交ＡＢ于点Ｐ，则ＰＣ＋ＰＤ 的最小值为ＤＧ．设ＤＥ＝ｘ，因为∠Ｇ＝ １２∠ＣＯＤ＝３０°，所以 ＤＧ＝２ｘ，因为ＥＧ＝ＯＥ＋ＯＧ＝１２，在Ｒｔ△ＤＥＧ中，由勾股定 理，得ｘ２＋１２２＝（２ｘ）２，解得ｘ＝ 槡４３（负值舍去），所以ＤＧ＝ 槡８３，所以ＰＣ＋ＰＤ的最小值为 槡８３． 附加题　（１）证明：因为ＯＡ＝ＯＢ，所以∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ． 因为ＯＢ⊥ＣＢ，ＡＤ⊥ＢＣ，所以ＯＢ∥ＡＤ，所以∠ＯＢＡ＝∠ＤＡＢ， 所以∠ＯＡＢ＝∠ＤＡＢ，所以ＡＢ平分∠ＯＡＤ． （２）① 因为 ∠ＡＯＢ ＝１００°，⊙Ｏ的半径为 ６ｃｍ，所以 Ｓ扇形ＯＡＢ ＝ １００π×６２ ３６０ ≈３１（ｃｍ ２）．故填３１． ②当点Ｅ在优弧ＡＢ上时，因为∠ＡＯＢ＝１００°，所以∠ＡＥＢ ＝５０°；当点Ｅ在劣弧ＡＢ上时，∠ＡＥＢ＝１８０°－５０°＝１３０°．故 填５０°或１３０°． １０期４版 重点集训营 １．２π－ 槡２３；　２．４－π；　３． π ３；　４．３π－６． 书 【提示】 １．过点Ｃ作ＣＨ⊥ＢＥ于点Ｈ，ＣＱ⊥ＤＦ于点Ｑ， 根据Ｓ△ＣＤＦ＝１ ２Ｓ矩形ＡＢＣＤ，Ｓ△ＢＣＥ＝１ ２Ｓ矩形ＡＢＣＤ，可得 Ｓ△ＣＤＦ＝Ｓ△ＢＣＥ，然后证明点Ｃ在∠ＢＧＤ的平分线上， 进而可以解决问题． ２．将△ＡＤＰ绕点Ａ顺时针旋转９０°得到△ＡＢＱ， 点Ｂ为点Ｄ旋转后的对应点，点Ｑ为点Ｐ旋转后的对 应点，连接ＰＱ，根据正方形的性质和旋转的性质得 ＰＱ的长度，最后根据三角形的三边关系即可得ＰＤ 的最大值． 书 重点集训营 １．用公式法解方程： （１）（２ｘ－１）２ ＝ｘ２＋５； （２）３ｘ２－１＝－２ｘ； （３）ｘ２＋４ｘ＋２＝０； （４）（３ｘ＋２）（ｘ＋３）＝ｘ＋１４； （５）ｘ２－槡２２ｘ＋ １ ８ ＝０； （６）（ｘ－２）２－２（ｘ－２）－３＝０． ２．定义新运算：对于任意实数ａ，ｂ，都有ａ ! ｂ＝ａ（ａ －ｂ）＋１，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比 如：２ ! ５＝２×（２－５）＋１＝２×（－３）＋１＝－６＋１ ＝－５． （１）若ｘ ! （－２）＝４，求ｘ的值； （２）若２ ! ａ的值小于５，请判断方程 －ｘ２＋ｂｘ＋ａ ＝０是否有实数根                                    ． 书 一元二次方程的概念是学习一元二次方程的前提 和基础，同学们在学习时，容易产生一些模糊认识，今剖 析如下，供同学们参考． 一、基本概念 一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是２的整式方程．这个概念告诉我们： １．一个方程是不是一元二次方程，不能光看其表面 形式，要根据整理以后的结果来定．但需要注意的是：对 方程的整理变形一般只限于“去括号、移项、合并同类 项”这样的恒等变形．如：方程 １ｘ＝ｘ＋１去分母后进行 整理可化为ｘ２＋ｘ－１＝０，但不能说原方程是一元二次 方程． ２．一元二次方程中的“一元”指的是一个未知数， “二次”指的是该未知数的最高次数是２，如：方程 ｘｙ＋ ｙ２ ＝７和方程ｘ３－ｘ２＝１均不是一元二次方程．这里还 要强调二次项系数一定不能为零． 二、相关概念 一元二次方程的相关概念主要是指一元二次方程 的各项及其系数，我们必须全面认识它． １．在指明一元二次方程各项及其系数时，一定要先 化为一般形式后再确定．如：方程２ｘ２＝３ｘ＋２先化为一 般形式为２ｘ２－３ｘ－２＝０，那么它的二次项为２ｘ２，一次 项为 －３ｘ，常数项为 －２． ２．对于形式不完全的（即缺一次项或常数项）一元 二次方程的各项及其系数需正确叙述：当缺一次项时， 如：方程３ｘ２－１２＝０，要指出其一次项时，可以说一次项 为０ｘ或无一次项，但不能说一次项为０；当缺常数项时， 如：３ｘ２＋２ｘ＝０，可以说常数项为０，也可以说无常数项． 三、一元二次方程的根 １．一元二次方程不存在只有一根的情况，如：方程 （ｘ－１）２ ＝０的根不能写为ｘ＝１，而应写为ｘ１ ＝ｘ２ ＝ １，即写成两个相等的实数根的形式． ２．一元二次方程若无实数根时，要正确叙述．如：方 程ｘ２＋３＝－２，说它无解或无根均不严谨，而应说“无实 数解或无实数根”． ３．在解方程时，要防止丢根的情况．在解一元二次 方程时，若在方程两边同时除以一个含未知数的代数式 就可能丢根．如：解方程ｘ２ ＝ｘ时，若等号两边同时除以 ｘ，则得ｘ＝１，但这样做就造成了丢根，即方程ｘ２ ＝ｘ的 根应是ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝０，要防止丢掉ｘ＝０这个根． 书 在近几年的数学考试 中，常有构造一元二次方程 求解的问题．若能根据题目 特征，巧妙运用所学知识构 造一元二次方程求解，往往 可收到事半功倍的效果．下 面举例说明构造一元二次方 程的方法，供同学们参考． 一、利用相反数的性质 构造 例１　若代数式 ｍ２＋４ 与６ｍ＋５互为相反数，则ｍ－２ 的值为 ． 分析：根据互为相反数 的两个数的和为０构造出关 于ｍ的一元二次方程，解方 程即可得解． 解：由相反数的性质，得ｍ２＋４＋６ｍ＋５＝０， 即ｍ２＋６ｍ＋９＝０， 所以（ｍ＋３）２ ＝０， 解得ｍ１ ＝ｍ２ ＝－３， 所以ｍ－２ ＝ １ （－３）２ ＝ １９． 故填 １ ９． 二、利用同类项的定义构造 例２　已知两个单项式 －２ｘ４ｙ２ａ与３ｘ４ｙａ２＋１的和仍 是单项式，则这两个单项式的和为 ． 分析：根据两个单项式可以合并可知他们为同类 项，然后根据同类项的定义列出关于 ａ的一元二次方 程，求出ａ的值后根据单项式的加法法则计算即可． 解：根据题意，知两个单项式为同类项， 所以２ａ＝ａ２＋１， 解得ａ１ ＝ａ２ ＝１， 所以这两个单项式的和为 －２ｘ４ｙ２＋３ｘ４ｙ２＝ｘ４ｙ２． 故填ｘ４ｙ２． 三、利用同类二次根式的定义构造 例３　若最简二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同 类二次根式，则ａ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．３或２ Ｄ．０ 分析：根据同类二次根式的定义得出５ａ－２＝ａ２＋ ４，再求出方程的解即可． 解：因为最简二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同 类二次根式， 所以５ａ－２＝ａ２＋４， 解得ａ１ ＝２，ａ２ ＝３， 经检验ａ＝２不符合题意，所以ａ的值为３． 故选Ａ． 四、利用方程的定义构造 例４　已知方程（ａ－槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于ｘ的 一元二次方程，则ａ＝ ． 分析：根据一元二次方程未知数的最高次数是２和 二次项的系数不等于０解答即可． 解：因为（ａ－槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于ｘ的一元二 次方程， 所以ａ－槡３≠０且ａ ２－１＝２， 解得ａ＝－槡３． 故填 －槡３． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ !"# !$"%&'( )&*+,-.&/0 !" 1 % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* 23456+78 23469:;<=>?@ 2346ABCDEFGH7I *JKLMNO% LPQRST UVWXYZO%[\Q!"#$%&'&'(!)( & '( RST ) & '( ]^_ ) # * +, `aT ) & '( b c ) & '( d e -+./0, ` f 12./0, `gh *34/5, i j *3467( klm ^no p q rst u v wxy ]z{ u|g } l ~t €S p‚ƒ „‚… ]S† ‡e& ˆ‰q Š y ‹Œ ^Ž 80-+( i  809:( ^ Ž ;<-+( ‘‚’ =>-+, “ ” ?@AB, •–— "˜K™š™% "›„™O% "MNŸ ¡Q&,+-.+/'#/+0 "˜K¢£Q23¤¥¦§s¨©ª«¬ -,/ \*JKL)&*+MNŸ "­®M¯Q&,&&&0 "§°Ÿ±K²³Q&,+-#+/'--/+ &,+-#+/'-/,'́ =µ( "±¶Q·¸˜K§°Ÿ£¹º»U¼½­¾¿À( "­®±¶²³Q---1+ "ÁÂÃıÅƱÇȱ "˜KÉ»U¼¤́ §ÊË9ÌÍÎK "ÏÐCDÑÁÒ\Q-2&&&&2&&&--& "ÏП ¡Q&,+-#+3'-/++ "˜KÓÔÕÖ×=>ØÙEFGH́ ÚÛ§ÜÝ©Þßàáâ;<ã -- \ÊäØ$åEØæçèéê$·¸˜K§°Ÿ£¹ëì ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # í î ï ð ñ $ 2Ö iòó %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ôõ#˜Köê÷ ¿ø/ùúû"1Ê ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ Ï3 ü ý ! " # $ % & ' ! - $ ( " ! ) ! / !!!!!!!!!!!!!!!!!!! $ ™þ ÿ‚! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．方程－ｘ２＋５ｘ－２＝０的二次项系数、一次项系数 和常数项分别是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１，－５，－２ Ｂ．１，５，２ Ｃ．－１，５，－２ Ｄ．－１，－５，－２ ２．方程（ｘ＋１）２ ＝１的解为 （　　） Ａ．ｘ１ ＝ｘ２ ＝０ Ｂ．ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１ Ｃ．ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１ Ｄ．ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－２ ３．用配方法解方程２ｘ２－１２ｘ＝５时，先把二次项系 数化为１，然后方程的两边都应加上 （　　） Ａ．４ Ｂ．９ Ｃ．２５ Ｄ．３６ ４．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２－２ｘ＋ｍ２ －ｍ＝０有一根为０，则ｍ的值是 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．０或１ Ｄ．０或 －１ ５．一元二次方程ｘ２－２ｘ－３＝０与ｘ２－６ｘ＋９＝０ 的所有根的乘积为 （　　） Ａ．－９ Ｂ．９ Ｃ．２７ Ｄ．－２７ ６．随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向 其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了 ２８６２张照片，若该班有ｘ名同学，则根据题意可列出方 程为 （　　） Ａ．ｘ（ｘ－１）＝２８６２ Ｂ．ｘ（ｘ＋１）＝２８６２ Ｃ．２ｘ（ｘ－１）＝２８６２ Ｄ．ｘ（ｘ－１）＝２８６２×２ ７．已知ｍ为方程ｘ２＋３ｘ－２０２４＝０的根，那么ｍ３ ＋２ｍ２－２０２７ｍ＋２０２２的值为 （　　） Ａ．－２０２２ Ｂ．－２ Ｃ．２０２２ Ｄ．４０４４ ８．若ａ＋ｂ＋ｃ＝０，４ａ－２ｂ＋ｃ＝０，则关于ｘ的一 元二次方程ａ（ｘ－１）２＋ｂｘ＝ｂ－ｃ的解为 （　　） Ａ．ｘ＝－１ Ｂ．ｘ＝０ Ｃ．ｘ＝－１或ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝－２或ｘ＝０ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．把一元二次方程２ｘ２ ＝３ｘ－５化成一般形式是 ． １０．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－３ｘ＋２ｍ＝０有实 数根，则ｍ的取值范围是 ． １１．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的一 个根是 －１，则ｃ－ｂ的值为 ． １２．李伟同学在解关于ｘ的一元二次方程ｘ２－３ｘ＋ ｍ＝０时，误将 －３ｘ看作 ＋３ｘ，结果解得 ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ －４，则原方程的解为 ． １３．如果方程ｘ２＋４ｘ＋ｎ＝０可以配方成（ｘ＋ｍ）２＝ ３，那么（ｎ－ｍ）２ ＝ ． １４．如图，点Ａ在数轴的负半轴，点Ｂ在数轴的正半 轴，且点Ａ对应的数是２ｘ－１，点Ｂ对应的数是ｘ２＋ｘ，已 知ＡＢ＝５，则ｘ的值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）解方程： （１）（２ｘ＋１）２ ＝９； （２）２ｘ２－４ｘ＝１（配方法）； （３）２ｘ２－５ｘ＋１＝０． １６．（１０分）阅读下列解题过程，在横线上填入适当 的内容． 解方程：２ｘ２－８ｘ－１８＝０． 解：移项，得２ｘ２－８ｘ＝１８， ① 两边同除以２，得ｘ２－４ｘ＝９， ② 配方，得ｘ２－４ｘ＋４＝９， ③ 即（ｘ－２）２ ＝９， 所以ｘ－２＝３或ｘ－２＝－３． ④ 所以ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－１． ⑤ （１）步骤②的依据是 ； （２）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号），错因是 ； （３）请直接写出该方程的根． １７．（１０分）定义：如果一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０（ａ≠０）满足ａ－ｂ＋ｃ＝０，那么我们称这个方程为“星 辰方程”． （１）判断一元二次方程３ｘ２＋７ｘ＋４＝０是否为星辰 方程，说明理由； （２）已知４ｘ２－ｍｘ＋ｎ＝０是关于ｘ的星辰方程，若 ｍ是此星辰方程的一个根，求ｍ的值． １８．（１２分）对于实数 ａ，ｂ，新定义一种运算“※”： ａ※ｂ＝ ａｂ－ｂ２（ａ≥ｂ）， ｂ２－ａｂ（ａ＜ｂ{ ），例如：因为４＞１，所以４※１＝ ４×１－１＝３． （１）计算：２※（－１） ＝ ，（－１）※２＝ ； （２）若ｘ※２与３※ｘ的值相等，求ｘ的值                                                                                                                                                                 ． 书 ４．１一元二次方程 １．下列方程是一元二次方程的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ Ｂ．ｘ２＋５＝０ Ｃ．２ｘ２＋３ ｘ２ ＝８ Ｄ．３ｘ＋８＝６ｘ＋２ ２．一元二次方程３ｘ２－５ｘ－９＝０的二次项系数、一 次项系数和常数项分别是 （　　） Ａ．３，－５，９ Ｂ．３，－５，－９ Ｃ．３，５，９ Ｄ．３，５，－９ ３．将方程ｘ（ｘ－１）＝３化为一元二次方程的一般 形式为 （　　） Ａ．ｘ２－ｘ＝３ Ｂ．ｘ２－ｘ＋３＝０ Ｃ．ｘ２－ｘ－３＝０ Ｄ．ｘ２＋ｘ－３＝０ ４．若关于ｘ的方程ａｘ２＋４ｘ＝３是一元二次方程， 则ａ的值不可能是 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．３ ５．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２ｘ－ｔ＝０的一个 根为１，则ｔ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．３ Ｄ．－１ ６．桥东镇某养殖户前年对虾亩产量为２００千克，今 年的亩产量为２８８千克．设从前年到今年平均增长率都 为ｘ，则可列方程为 ． ７．已知ｍ为方程ｘ２－３ｘ－２０２４＝０的根，那么２ｍ２ －６ｍ－２０２３的值为 ． ８．若９ａ－３ｂ＋ｃ＝０且ａ≠０，则一元二次方程ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０必有一个根是 ． ９．关于ｘ的一元二次方程２（ｘ－１）２＋ｂ（ｘ－１）＋ ｃ＝０化为一般形式后为２ｘ２－３ｘ－１＝０，试求ｂ，ｃ的 值． ４．２用配方法解一元二次方程 １．如果关于ｘ的方程（ｘ－９）２＝ｍ＋４有实数根，那 么ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＞３ Ｂ．ｍ≥３ Ｃ．ｍ＞－４ Ｄ．ｍ≥－４ ２．用配方法解一元二次方程ｙ２＋４ｙ＝１的过程中， 配方正确的是 （　　） Ａ．（ｙ－１）２ ＝４ Ｂ．（ｙ＋１）２ ＝４ Ｃ．（ｙ＋２）２ ＝５ Ｄ．（ｙ－２）２ ＝５ ３．若将方程ｘ２－６ｘ－５＝０化成（ｘ＋ａ）２ ＝ｂ（ａ， ｂ为常数）的形式，则ａ＋ｂ的值是 （　　） Ａ．－１７ Ｂ．－１１ Ｃ．２ Ｄ．１１ ４．一元二次方程ｘ２－６ｘ－１＝０的解是 ． ５．若方程２ｘ２＋８ｘ－３２＝０能配方成（ｘ＋ｐ）２＋ｑ ＝０的形式，则直线 ｙ＝ｐｘ＋ｑ不经过的象限是 ． ６．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则 为：ａ☆ｂ＝ａ２＋ｂ２，ａ★ｂ＝ａｂ２，则方程３☆ｘ＝ｘ★１２的 解为 ． ７．解方程： （１）４ｘ２ ＝４９； （２）（２ｘ－１）２－２５＝０； （３）ｘ２＋１２ｘ＋２７＝０； （４）ｘ２－６ｘ－２＝０． ８．配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值， 因式分解，求最值等．如求代数式的最值：ｘ２＋２ｘ＋２＝ （ｘ＋１）２＋１，在ｘ＝－１时，取最小值１． （１）求代数式ｘ２－４ｘ的最小值； （２）求ａ２＋ｂ２＋ａｂ－６ｂ＋１４的最小值． ４．３用公式法解一元二次方程 １．用公式法解方程ｘ２－２ｘ＝３时，求根公式中的ａ， ｂ，ｃ的值分别是 （　　） Ａ．ａ＝１，ｂ＝－２，ｃ＝３ Ｂ．ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝－３ Ｃ．ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝３ Ｄ．ａ＝１，ｂ＝－２，ｃ＝－３ ２．一元二次方程ｘ２＋４ｘ－８＝０的解是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝２＋ 槡２３，ｘ２ ＝２－ 槡２３ Ｂ．ｘ１ ＝２＋ 槡２２，ｘ２ ＝２－ 槡２２ Ｃ．ｘ１ ＝－２＋ 槡２２，ｘ２ ＝－２－ 槡２２ Ｄ．ｘ１ ＝－２＋ 槡２３，ｘ２ ＝－２－ 槡２３ ３．下列方程中，以ｘ＝－５± ２５＋４槡 ｃ２ 为根的是 （　　） Ａ．ｘ２－５ｘ－ｃ＝０ Ｂ．ｘ２＋５ｘ－ｃ＝０ Ｃ．ｘ２－５ｘ＋４ｃ＝０ Ｄ．ｘ２＋５ｘ＋ｃ＝０ ４．代数式ｘ２－２ｘ与４ｘ＋２的值相等，则 ｘ的值为 ． ５．方程ｘ２－３｜ｘ｜－２＝０的最小一根的倒数是 ． ６．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２（ｍ＋１）ｘ＋ｍ２ ＝０有实数根，则满足条件的整数 ｍ的最小值是 ． ７．解方程： （１）２ｘ２＋５ｘ＋１＝０； （２）槡２ｘ ２＋３ｘ＝ 槡２２． ８．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋（３－ｋ）ｘ＋２－ ｋ＝０． （１）求出此方程的根； （２）若此方程恰有一根大于０，一根小于０，求ｋ的 取值范围． 阅读范例，解答问题： 范例：解方程：ｘ２＋｜ｘ＋１｜－１＝０． 解：①当ｘ＋１≥０时，即ｘ≥－１， 原式可变为ｘ２＋ｘ＋１－１＝０， 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１． ②当ｘ＋１＜０时，即ｘ＜－１， 原式可变为ｘ２－（ｘ＋１）－１＝０， 解得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝２， 因为ｘ＜－１，所以ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝２均舍去． 所以原方程的解为ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－１． 依照上例解法，解方程：ｘ２－２｜ｘ－２｜－４＝０ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＯＤＡ，所 以 ∠ＢＯＤ ＝２∠ＢＡＤ，因为 ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，所 以∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＤ，所以 ∠ＢＯＤ＝∠ＢＡＣ，所以 ＯＤ ∥ ＡＣ，所 以 ∠ＯＤＢ ＝ ∠ＡＣＢ＝９０°，因为 ＯＤ为 ⊙Ｏ的半径，所以 ＢＣ是 ⊙Ｏ的切线． （２）过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ ＡＢ，交ＡＢ于点Ｅ，因为 ＡＤ 是∠ＢＡＣ的平分线，∠ＡＣＢ ＝９０°，所以ＤＥ＝ＣＤ＝３， 因为 ∠Ｂ ＝ ６０°，所以 ∠ＢＤＥ＝３０°，所以 ＢＥ＝ １ ２ＢＤ．在 Ｒｔ△ＢＥＤ中，由 勾股定理，得ＤＥ２＋ＢＥ２＝ ＢＤ２，即 ３２ ＋ １４ＢＤ ２ ＝ ＢＤ２，解得ＢＤ＝ 槡２３（负值 舍去），所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ ＝３＋槡２３，所以ＡＢ＝２ＢＣ ＝６＋ 槡４ ３，所以 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝６＋ 槡３３， 所以 ＡＤ ＝ ＡＣ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡３２＋ 槡３６． ２３．（１）∠ＣＡＢ＝３４°， ∠ＣＡＤ＝２８°． （２）连接ＯＣ交ＢＤ于 点Ｆ．因为ＡＢ为⊙Ｏ的直 径，所以 ∠ＡＤＢ＝９０°，所 以∠ＥＤＦ＝９０°，因为 ＣＥ 为 ⊙Ｏ 的 切 线， 所 以 ∠ＥＣＦ＝９０°，因为点Ｃ为 ) ＢＤ中点，ＯＣ为半径，所以 ∠ＣＦＤ＝９０°，因为∠ＥＤＦ ＝∠ＥＣＦ＝∠ＣＦＤ＝９０°， 所以四边形ＤＥＣＦ是矩形， 所以ＣＥ＝ＤＦ．因为ＡＤ＝ ２，ＡＢ＝２ＯＡ＝６，∠ＡＤＢ＝ ９０°，所以由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２，因为 ＯＣ⊥ ＢＤ，所以 ＤＦ＝ １２ＢＤ＝ 槡２２，所以 ＣＥ＝ 槡２２． ２４．（１）证明：连接 ＡＯ，并延长ＡＯ交⊙Ｏ于点 Ｆ，连接ＣＦ，因为ＡＦ是⊙Ｏ 的直径，所以 ∠ＡＣＦ ＝ ９０°，所以 ∠Ｆ＋∠ＦＡＣ＝ ９０°，因为 ∠Ｆ＝∠ＡＢＣ， ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＥＡＣ，所 以 ∠ＥＡＣ＝∠Ｆ，所以∠ＥＡＣ ＋∠ＦＡＣ ＝ ９０°，所 以 ∠ＥＡＦ＝９０°，因为 ＡＯ是 ⊙Ｏ的半径，所以直线 ＡＥ 是⊙Ｏ的切线． （２）①⊙Ｏ的半径为 ２５ ３． ②作∠ＣＡＢ的平分线 交ＣＤ于点Ｈ，连接 ＢＨ，过 点 Ｈ作 ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ ＢＣ，因为 ＯＤ⊥ ＡＢ，ＡＤ＝ ＢＤ，所以 ＡＣ＝ＢＣ，所以 ＣＤ平分∠ＡＣＢ，因为ＡＨ平 分 ∠ＣＡＢ，所以点 Ｈ是 △ＡＢＣ的内心，因为ＨＭ⊥ ＡＣ，ＨＮ⊥ＢＣ，ＨＤ⊥ＡＢ，所 以 ＭＨ ＝ＮＨ ＝ＤＨ，在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理， 得 ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ １０＝ＢＣ，因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＨ＋Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＢＣＨ，所 以 １ ２×１６×６＝ １ ２×１０× ＭＨ＋１２×１６×ＤＨ＋ １ ２× １０×ＮＨ，解得ＤＨ＝８３，所 以ＯＨ＝ＣＯ－ＣＨ＝ＣＯ－ （ＣＤ－ＤＨ）＝２５３ －（６－ ８ ３）＝５． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= #! 4 %&'( ! 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