第十六章 轴对称和中心对称——轴对称性质的七种应用 专项训练-习题课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称性质的七种应用，通过折叠纸片、对称作图等操作导入，衔接轴对称概念，系统展开求角的度数、三角形周长、图形面积等题型，构建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合将军饮马等生活实例，以几何直观呈现对称转化过程培养数学眼光，通过全等推理、角度计算等逻辑分析发展数学思维，用模型语言描述最短路径等问题提升应用意识。助力学生掌握多场景解题方法，为教师提供系统训练素材，提升教学效率。

专项训练　轴对称性质的七种应用 类型一 利用轴对称的性质求角的度数 1. (★★☆)将如图①所示的长方形纸片ABCD按如下步骤操 作:(1)如图②,沿过点A的直线折叠纸片,使点B恰好落在边AD 上的点B'处,折痕为AE;(2)如图③,沿过点E的直线折叠图②中 纸片,使点A恰好落在边EC上的点A'处,折痕为EF;(3)将纸片展 平.则∠AFE的度数为_____________.       67.5°     解析　如图所示,将纸片展开后,根据折叠的性质,可知△ABE ≌△AB'E,△AFE≌△A'FE.   ∴第一次折叠后∠EAD=∠BAE= ∠BAD= ×90°=45°. ∴∠BEA=∠EAD=45°. ∴∠AEC=180°-∠BEA=180°-45°=135°. ∴第二次折叠后∠AEF= ∠AEC= ×135°=67.5°. ∴将纸片展平后,∠AFE=180°-∠AEF-∠EAD=180°-67.5°- 45°=67.5°. 2. (2024甘肃金昌永昌六中期中,★★☆)如图,△AOB与△ COB关于边OB所在的直线成轴对称,AO的延长线交BC于 点D.若∠BOD=46°,∠C=20°,求∠ADC的度数.   解析　∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称, ∴△AOB≌△COB, ∴∠A=∠C=20°,∠ABO=∠CBO. ∵∠BOD=∠A+∠ABO, ∴∠ABO=∠BOD-∠A=46°-20°=26°, ∴∠ABD=2∠ABO=52°, ∴∠ADC=∠A+∠ABD=72°. 3. (★★☆)如图所示,∠AOB=41°,点P为∠AOB内的一点,分别 作出点P关于直线OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交 OB于N.求∠MPN的度数.   解析　如图,设PP1交OA于点D,PP2交OB于点C.   ∵点P关于直线OA的对称点是P1,点P关于直线OB的对称点是 P2, ∴OA垂直平分PP1,OB垂直平分PP2, ∴PM=P1M,PN=P2N, 又∵PD=P1D,PC=P2C, ∴△PNC≌△P2NC,△PMD≌△P1MD, ∴∠NPC=∠P2,∠MPD=∠P1, ∴∠PMN=2∠P1,∠PNM=2∠P2. ∵PP1⊥OA,PP2⊥OB, ∴∠P2PP1=180°-∠AOB=139°, ∴∠P1+∠P2=180°-∠P2PP1=41°, ∴∠MPN=180°-2(∠P1+∠P2)=180°-41°×2=98°, ∴∠MPN的度数为98°. 类型二 利用轴对称的性质求三角形的周长 4. (2025广东江门二中期中,★★☆)如图,已知点P在∠AOB的 内部,且点P与点M关于直线OA对称,PM交OA于点Q,点P与点 N关于直线OB对称,PN交OB于点R,MN分别交OA,OB于点E,F. (1)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周长. (2)若PM=PN,求证:OP平分∠AOB. 解析    (1)如图,∵点P与点M关于直线OA对称, ∴OA垂直平分PM,∴ME=PE, 同理FN=PF, ∴△PEF的周长=EP+EF+PF=ME+EF+FN=MN=15.   (2)证明:由题意知Q,R分别为PM,PN的中点, ∴PQ= PM,PR= PN, 又∵PM=PN, ∴PQ=PR. ∵点P与点M关于直线OA对称,点P与点N关于直线OB对称, ∴PQ⊥OA,PR⊥OB,∴OP平分∠AOB. 5. (2024江苏淮安期中,★★☆)如图,直线l1,l2交于点O,点P关于 l1,l2的对称点分别为P1,P2. (1)若l1,l2相交所成的锐角∠AOB=60°,则∠P1OP2=_______. (2)若OP=3,P1P2=5,求△P1OP2的周长.   解析    (1)∵点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2, ∴∠P1OA=∠AOP,∠P2OB=∠POB, ∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠POB)=2∠AOB=2×60°=120°. 故答案为120°. (2)∵点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2, ∴OP1=OP=OP2=3. ∵P1P2=5, ∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=3+3+5=11. 类型三 利用轴对称的性质求图形面积 6. (2024河北廊坊十六中期中,★☆☆)如图,已知AD所在直线 是△ABC的对称轴,点E,F是AD上的两点,若△ABC的面积为 18,则图中阴影部分的面积是(         )   A. 6　　    B. 12　　    C. 9　　    D. 无法确定 C 解析　∵AD所在直线是△ABC的对称轴, ∴AD垂直平分BC,BD=CD, ∴S△ABD=S△ACD,S△BEF=S△CEF, ∴题图中阴影部分的面积= S△ABC=9. 故选C. 类型四 利用轴对称的性质解决周长最小或路程最短问题 7. (★★☆)如图,在锐角△ABC中,∠C=40°.点P是边AB上的一 个定点,点M,N分别是AC和BC边上的动点,当△PMN的周长最 小时,∠MPN的度数是(         )   A. 90°　　    B. 100°　　    C. 110°　　    D. 80° B 解析　如图,分别作P关于BC,AC所在直线的对称点E,D,PE交 BC于G,PD交AC于H,连接DE,交AC于M,交BC于N,此时△PMN 的周长最小, ∵∠PHM=∠PGN=90°,∠C=40°,∴∠DPE=360°-∠PHM- ∠PGN-∠C=360°-90°-90°-40°=140°, ∴∠D+∠E=180°-∠DPE=180°-140°=40°, ∵PM=DM,PH=DH,MH=MH, ∴△PMH≌△DMH,∴∠MPD=∠D, 同理可得∠NPE=∠E, ∴∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°, ∴∠MPN=∠DPE-(∠MPD+∠NPE)=140°-40°=100°.故选B.   8. (2025河北秦皇岛昌黎期末,★★☆)如图,在锐角三角形 ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC.若M,N分别是 BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是(         )   A. 3　　　    B. 4 C. 5　　　    D. 6 B 解析　如图,过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作M' N'⊥BC于点N',   ∵BD平分∠ABC,∴M'N'=M'E,∴CM'+M'N'=CE,∴当点M与点 M'重合时,CM+MN的值最小,等于CE的长,∵AB=4,△ABC的面 积为8,∴S△ABC= AB·CE= ×4CE=8,∴CE=4,∴CM+MN的最小 值为4,故选B. 9. 【新课标·应用意识】(★★☆)如图①,若将军骑马从军营 出发,先去草地边让马吃草,再将马送入河边上的马厩.问:马厩 建在何处,可使将军走的路程最短? 我们可以把这个问题转化为熟悉的数学问题,把军营看成一 个点,把草地边和河边看成两条直线.如图②,在∠MON内部有 一个点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使AB+BC的值最 小.请在图②中找到马厩的位置.   解析    如图,作点A关于OM的对称点A',过点A'作A'C⊥ON,交 OM于点B,交ON于点C,则点C为马厩的位置.   10. (★★☆)如图,在一条公路l的两旁有两个村庄A和B. (1)现在要在公路l边建一个公交站点P,使P到A,B两村的距离 之和最小,试确定点P的位置. (2)现在要在公路l边建一个货站Q,使点Q到A,B两村的距离之 差的绝对值最大,试确定点Q的位置,并说明理由. (3)在直线l上是否存在点Q',使得点Q'到 A,B两村的距离之差的绝对值最小?若存 在,试确定点Q'的位置;若不存在,请说明理由. 解析    (1)如图,连接AB交l于点P,点P即为所求. (2)如图,作点A关于l的对称点A',连接BA'并延长,交l于点Q,连 接AQ,点Q即为所求. 理由:在l上任取一不同于点Q的点M,连接AM,A'M,MB. ∵A,A'关于l对称, ∴AQ=A'Q,AM=A'M, ∴点Q到A,B的距离之差的绝对值为|QB-QA|=QB-QA'=A'B, 点M到A,B的距离之差的绝对值为|MB-MA|=|MB-MA'|, 根据三角形的三边关系可知|MB-MA'|<A'B. (3)存在.如图,作线段AB的垂直平分线,与l交于点Q',此时点Q' 到A,B的距离之差为0,即距离之差的绝对值最小.   类型五 利用轴对称的性质作图 11. (★★☆)如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长 为1. (1)请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A'B'C'. (2)求出△ABC的面积. 解析    (1)如图,△A'B'C'即为所求.   (2)△ABC的面积为3×6- ×1×5- ×2×6- ×3×1=8. 12. 【新考向·尺规作图】(★★☆)如图,已知点M和点N在∠AOB内,试在OA,OB上分别找点P,Q,使四边形MNQP的周长最短.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)   解析　如图,点P,Q即为所求.   类型六 利用轴对称的性质设计方案 13. 【新课标·几何直观】(2024江苏盐城建湖期中,★★☆)下 列正方形网格中,部分方格涂上了阴影,请按照不同要求作图. (1)作出图①的对称轴. (2)将图②中的某一个方格涂上阴影,使整个图形为仅有一条 对称轴的轴对称图形. (3)将图③中的某两个方 格涂上阴影,使整个图形为 有四条对称轴的轴对称图形. 解析    (1)如图1所示. (2)答案不唯一,如图2所示. (3)如图3所示.   类型七 利用轴对称的性质解决剪纸问题 14. (2025河北唐山期末,★★☆)如图所示,将正方形纸片三次 对折后,沿图中AB剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的 图形是(         )   A END THANKS 感谢您的观看 $$