精品解析：上海市浦东模范中学2024--2025学年九年级下学期数学小练习（2B）

浦东模范中学2024学年九年级第二学期数学小练习（2） 一、选择题（满分24分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法等知识．结合选项分别依据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方法则进行计算，然后选择正确选项． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，根据正比例函数，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，二次函数，时，开口向上，在上，y随x的增大而减小，在上，y随x的增大而增大，时，开口向下，在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：A、正比例函数的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数的对称轴为，且开口向上，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数的对称轴为，且开口向下，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 3. 如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，解决此题的关键是掌握数轴的特征，再结合加减运算，绝对值的概念判断即可，先根据数轴判断出a、b的正负情况，然后根据有理数的加、减运算法则及绝对值的意义对各选项分析判断求解． 【详解】解：根据题意得：， ， A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 4. 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.17 C. 0.33 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出仰卧起座次数在15~20次之间的人数，根据频率＝计算即可 【详解】解：仰卧起座次数在15~20次之间的人数为30－10－12－5＝3， ∴仰卧起座次数在15~20次之间的频率是＝0.1， 故选：A 【点睛】此题考查了频率，熟练掌握频率的定义是解题的关键． 5. 某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度及坡角的知识，解题关键是理解“坡度坡角的正切值”．根据“坡度坡角的正切值”，据此直接解答即可． 【详解】解：设该斜坡的坡角为， 根据题意，斜坡的坡度， 即有， ∴坡角． 故选：D． 6. 下列命题一定正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 C. 相等的圆周角所对的弧也相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，正多边形的判定，圆周角定理，外心的性质是解答本题的关键．根据以上基础概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题； B．各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，原命题是假命题； C．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等，原命题是假命题； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，原命题是真命题； 故选：D． 二、填空题（满分48分） 7. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 8. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，再计算向量的加减运算即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 9. 方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， ∴，， 经检验：是原分式方程的增根， 是原分式方程的根． 故答案为：． 10. 已知，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的值．把代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象、反比例函数图象的对称性，熟记才能灵活运用．根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 即该点的坐标为． 故答案为：． 12. 如果直线l与直线平行，且直线l在y轴上的截距为，那么直线l的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像平移的问题，根据直线l与直线平行，所以得到两个函数的k值相同，再根据截距是，可得，即可求解. 【详解】解：∵直线l与直线平行， ∴设直线l的解析式为：， ∵在y轴上的截距是， ∴， ∴直线l的表达式为：． 故答案为：． 13. 口袋中放有3只红球和9只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，据此即可求解． 【详解】解：口袋中放有3只红球和9只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机从口袋中任取一只球，共有12种等可能性，其中取到黄球的可能性有3种， ∴取到黄球的概率是． 故答案为： 14. 一双皮鞋原价是m元，如果以9折降价出售，那么这双皮鞋的售价是___________元． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据售价等于原价乘以折扣列出代数式即可． 【详解】解：根据题意得：这双皮鞋的售价是， 故答案为：． 15. 如图，直线分别交直线于点P和点Q，点R在直线上，且，如果，那么___________度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，邻补角，根据等腰三角形的性质得到，由平行线的性质得到，进而得到，再根据，由邻补角的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：70． 16. 已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查两圆的位置关系．根据圆心距和两圆半径之间的关系：即可得出． 【详解】解：∵与内切，的半径为4，设的半径为，的长等于6，， ∴只可能是 ∴的半径为． 故答案为：10 17. 已知的三条中线相交于点G，，那么的面积等于___________． 【答案】72 【解析】 【分析】如图，首先把绕点D作中心对称变换得到，然后根据重心的性质可以分别得到，由此利用勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，即，再利用三角形的面积公式求出，最后可以得到，而，由此即可求解． 【详解】解：如图，把绕点D作中心对称变换得到， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 故答案为：72． 【点睛】此题分别考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，其中对于中线问题一般可以尝试中心变换，此题把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形--直角三角形． 18. 已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等，如图所示，当点C的对应点E切换在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接，先由平行四边形的性质得到，，；再证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，设，则，则，证明，得到，求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C的对应点E在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是， 故答案为：． 三、解答题（满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中x=． 【答案】 . 【解析】 【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，分式的分子、分母能分解因式的先分解因式，进行约分，然后进行减法运算，最后代值计算. 【详解】原式=﹣• =﹣ =﹣ =， 当x==﹣1时， 原式===1． 故答案为 【点睛】这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分. 20. 某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，） b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79． c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.5 m 八年级 78.2 79 请结合以上信息完成下列问题： （1）七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图； （2）表中m的值为______； （3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前； （4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数． 【答案】（1）38， 补全频数分布直方图如图所示； （2）77 （3）甲 （4）七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人 【解析】 【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果； （2）根据中位数的计算方法求解即可； （3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果； （4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：70≤x<80这组的数据有16人， ∴七年级抽取成绩在60≤x<90的人数是：12+16+10=38人， 故答案为：38； 【小问2详解】 解：∵4+12=16<25，4+12+16>25， ∴七年级中位数在70≤x<80这组数据中， ∴第25、26的数据分别为77，77， ∴m=， 故答案为：77； 【小问3详解】 解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78， ∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前， 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：（人） 答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人． 【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 21. 已知：如图，M是的中点，过点M的弦交弦于点C，设的半径为，． （1）求圆心O到弦的距离； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）过点O作，垂足为点D，由垂径定理，得，由，得到，根据，利用勾股定理即可求解出，即可得出结果； （2）根据点M是的中点，得到，根据，得到，进而得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：过点O作，垂足为点D，连接， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即圆心O到弦的距离为； 【小问2详解】 解：∵点M是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 22. 已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 【答案】观测站A与货船B之间的距离为海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用-方位角的应用，作，垂足为点H．在中，求出，在中，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，作，垂足为点H． 由题意，得海里． 在中， ∵海里， ∴海里，海里． 在中， ∵， ∴． ∴（海里）． 答：观测站A与货船B之间的距离为海里． 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果P是线段上的点，连接，，求证：． 【答案】（1） 证明：在等腰梯形中， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质得到，进而得到，由等腰梯形的性质得到，证明，得到，即可证明结论； （2）根据结合得到，由，证明，得到，根据，推出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，三角形相似． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； （3）在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及解一元二次方程等知识，综合运用相关性质是解题的关键． （1）根据抛物线与轴交于点可得出的值，然后由对称轴是直线可得出的值，从而可求出抛物线的解析式； （2）令得出关于的一元二次方程，求出，可得出点、的坐标，从而得到的长，再求出的长，根据抛物线的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线解析式求出点的纵坐标，再根据点的对称可求出的长； （3）过点作交于点，先求得直线的解析式为，设点，则点，则，根据已知得，根据得出，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入得， 又抛物线的对称轴为直线， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 令，则，解得， 点，， ， ， ， 根据二次函数的对称性，得点的横坐标为， 代入二次函数表达式得， ， 点的坐标为， 又点的坐标为，点与点关于直线对称， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 则 ∵， ， ， ， 即 解得：或 当时， 当时， 点的坐标为或． 25. 如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设． （1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）联结，当时，求x的值； （3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出BD长，利用三角函数求解析式，根据点P和点G的位置确定该函数的定义域； (2) 设，则，根据勾股定理列方程即可； (3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可． 【详解】解：(1)由勾股定理，， ∵点M为线段的中点， ∴PM⊥BE， 中，，解得， 点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时， BE=BD=，，，该函数的定义域为：． （2）过点E作于点H，若，可知 设，则 由勾股定理，可得，解得 所以，解得（负根舍去） 所以 （3）①若，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意； ②时，此时E与D重合，，解得 所以 ③时，过点E作，交延长线于点Q 由，可得，所以 代入数据，，解得 综上，的面积为6． 【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东模范中学2024学年九年级第二学期数学小练习（2） 一、选择题（满分24分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 3. 如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（ ） A. 0.1 B. 0.17 C. 0.33 D. 0.4 5. 某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题一定正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 C. 相等的圆周角所对的弧也相等 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 二、填空题（满分48分） 7. 化简：______． 8. 计算：___________． 9. 方程的解是___________． 10. 已知，那么___________． 11. 已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为___________． 12. 如果直线l与直线平行，且直线l在y轴上的截距为，那么直线l的表达式是___________． 13. 口袋中放有3只红球和9只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是___________． 14. 一双皮鞋原价是m元，如果以9折降价出售，那么这双皮鞋的售价是___________元． 15. 如图，直线分别交直线于点P和点Q，点R在直线上，且，如果，那么___________度． 16. 已知与内切，的半径为4，的长等于6，那么的半径等于___________． 17. 已知的三条中线相交于点G，，那么的面积等于___________． 18. 已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是___________． 三、解答题（满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中x=． 20. 某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，） b：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79． c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.5 m 八年级 78.2 79 请结合以上信息完成下列问题： （1）七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图； （2）表中m的值为______； （3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前； （4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数． 21. 已知：如图，M是的中点，过点M的弦交弦于点C，设的半径为，． （1）求圆心O到弦的距离； （2）求的度数． 22. 已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 23. 已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果P是线段上的点，连接，，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； （3）在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 25. 如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设． （1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）联结，当时，求x的值； （3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $