1.4.2一元二次不等式及其解法同步练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第一章　§4　4.2一元二次不等式及其解法 一、选择题 1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( ) A．[－2,1] B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 2．不等式≥0的解集是( ) A． B． C． D． 3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为( ) A． B．{x|x>a} C． D． 4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( ) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( ) A．－2≤k≤2　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2 C．－2<k<2 D．k<－2，或k>2 6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3<x<2}，则a＋b＝( ) A．－4 B．0 C．2 D．4 7．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( ) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3<x<2}，则( 　 ) A．∁RA＝{x|－6≤x≤1} B．A∩B＝{x|－3<x<1} C．A∪B＝{x|－6<x<2} D．∁RB＝{x|x≤－3或x≥2} 10．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( 　 ) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a<－1} D．{a|a>4} 二、填空题 11．函数y＝的定义域为 　. 12．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围　 . 13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，则m＋n＝___. 14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 　 . 三、解答题 15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2. 16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集． 17．解不等式>1(a∈R)． 18．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P. (1)若P＝{x|－1<x<2}，求m的值； (2)当m>0时，求集合P. 第一章　§4　4.2一元二次不等式及其解法 一、选择题 1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是( ) A．[－2,1] B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) [解析]　由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1，所以该不等式的解集为[－2,1]．故选A. 2．不等式≥0的解集是( ) A． B． C． D． [解析]　原不等式可化为 解得－≤x<， 故其解集为.故选B. 3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为( ) A． B．{x|x>a} C． D． [解析]　因为0<a<1，所以>1，所以a<， 所以不等式的解集为.故选A. 4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( ) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} [解析]　由已知得a(x＋2)(x－3)>0， ∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3. ∴所求不等式的解集为{x|－2<x<3}．故选C. 5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是( ) A．－2≤k≤2　　　　　　 B．k≤－2，或k≥2 C．－2<k<2 D．k<－2，或k>2 [解析]　由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故选A. 6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3<x<2}，则a＋b＝( ) A．－4 B．0 C．2 D．4 [解析]　由不等式的解集为{x|－3<x<2}易知a<0，且方程ax2＋bx＋12＝0的两根为x1＝－3，x2＝2，由根与系数的关系可得解得所以a＋b＝－4.故选A. 7．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( ) A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} [解析]　解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，即A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B. 8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 [解析]　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去)． ∴生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C. 9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3<x<2}，则( 　 ) A．∁RA＝{x|－6≤x≤1} B．A∩B＝{x|－3<x<1} C．A∪B＝{x|－6<x<2} D．∁RB＝{x|x≤－3或x≥2} [解析]　不等式x2＋5x－6<0可化为(x＋6)(x－1)<0，解得－6<x<1，所以该不等式的解集为A＝{x|－6<x<1}，所以∁RA＝{x|x≤－6或x≥1}，选项A错误； 又因为集合B＝{x|－3<x<2}，所以A∩B＝{x|－3<x<1}，选项B正确； 又A∪B＝{x|－6<x<2}，选项C正确； 因为集合B＝{x|－3<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤－3或x≥2}，选项D正确．故选BCD. 10．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( 　 ) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4} C．{a|a<－1} D．{a|a>4} [解析]　若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4， 所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1或a>4}的子集．选项C、D正确．故选CD. 二、填空题 11．函数y＝的定义域为 {x|－3<x<4}　. [解析]　由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－3<x<4，所以定义域为{x|－3<x<4}． 12．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围 [－2，2]　. [解析]　由Δ＝a2－8≤0，得－2≤a≤2，∴a的范围是[－2，2]． 13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，则m＋n＝_5__. [解析]　因为关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为，所以－和是方程mx2＋nx－1＝0的两根， 则解得所以m＋n＝5. 14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 (－∞，－1]∪　. [解析]　原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0对任意的x∈R恒成立． ①当1－m2＝0时，m＝±1. 当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立； 当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<， 故不等式的解集不是R，不合题意； ②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得 解得m<－1或m>， 综上可知：实数m的取值范围为 (－∞，－1]∪. 三、解答题 15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2. [解析]　原不等式可化为 即即 所以 如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}． 16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集． [解析]　因为x2＋px＋q<0的解集为 ，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得 解得 所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}． 17．解不等式>1(a∈R)． [解析]　原不等式等价于－1>0，即>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.① 当a＝1时，①式可以转化为x>2； 当a>1时，①式可以转化为(x－2)>0； 当a<1时，①式可以转化为(x－2)<0. 又当a≠1时，2－＝，所以当a>1或a<0时，2>； 当a＝0时，2＝；当0<a<1时，2<. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}； 当a>1时，原不等式的解集是；当0<a<1时，原不等式的解集是；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a<0时，原不等式的解集是. 18．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P. (1)若P＝{x|－1<x<2}，求m的值； (2)当m>0时，求集合P. [解析]　(1)由题意可知，关于x的方程mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)＝0的两根分别为－1,2，且m<0，由解得m＝－. (2)当m>0时，由mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0可得(mx－m－1)(x－2)>0，解方程(mx－m－1)(x－2)＝0，可得x＝>0或x＝2. ①当<2，即m>1时，原不等式为x<或x>2； ②当＝2，即m＝1时，原不等式为(x－2)2>0，即x≠2； ③当>2，即0<m<1时，原不等式为x<2或x>. 综上所述，当m>1时，P＝； 当m＝1时，P＝{x|x≠2}； 当0<m<1时，P＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$