第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

第一章预备知识 课时作业 数课时 空 4.2一元二次不等式及其解法 学作业 纠错空间 基础过关 2 7.不等式(x+2)√x-9≤0的解集 1.不等式x2-3x+2<0的解集为( 为 A.(-o∞，-2)U(-1,+o∞) 8.若关于x的不等式ax2-6x+a<0的 B.(-2,-1) 解集为(1，m),则实数m= C.(-∞，1)U(2,+∞) 9.在解方程x2十x十q=0时，甲同学看 D.(1,2) 错了p,解得方程的根为x1=1,x2=一3： 2.不等式-x2-5x十6≥>0的解集为 乙同学看错了q,解得方程的根为x=4, x2=一2，则方程中的p= 444444444+4444+4444 A.{xx≥6，或x≤一1} q= B.{x-1≤x≤6 10.解不等式： C.{x-6≤x≤1} (1)-x2+x≥3x+1: D.{xx≤-6，或x≥1 (2)x2-2x>2x2+2. 3.若不等式-2x2+bx+1>0的解集为 {女一之x<m小则6，m的值分别是 ( 方法总结 A.1,1 B.1,-1 C.-1,1 D.-1,-1 111111441 4.已知0<a<1,关于x的不等式(x一a)· 一>0的解集为 A{xlx<a,或x> B.xlx>a} C{zlx<a,或x>aD.{x< 5.(多选)关于x的方程m.x2一4x-m+5 11.已知关于x的不等式x2+a.x+b<0 =0,以下说法正确的是 的解集为{x|1<x<2},求关于x的不 A.当m=0时，方程只有一个实数根 等式bx2十ax+1>0的解集. B.当m=1时，方程有两个相等的实 数根 C.当m=一1时，方程没有实数根 年e年年年年年年年年年中有1中 D.当m=2时，方程有两个不相等的实 数根 6.(多选)已知不等式a.zx2+br+c>0的 解集为（一2·2小则下列结论正确的是 A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0 44 ·297· 数学 必修第一册 能力提升 》 素养培优 》 空 间 12.对于实数x,规定[x]表示不大于x的 14.已知关于x的不等式a.x2+5x+c>0 最大整数，那么使不等式4[x] 纠错空间 36[x]+45<0成立的x的取值范 的解集为合，》 围是 () (1)求a,c的值： ++44++44+44++。4++ A{<< (2)解关于x的不等式ax十(ac十2)x十 B.{x2≤x≤8} 2c≥0. C.{x2≤x<8} D.{x2≤x≤7} 13.解关于x的不等式x2一(a十a2)x十 a3>0. 4444444+444+444 4444444444444 方法总结 中中年年4中中#中4中卡444卡4年+ 1 ·298·５．D　[由题图可知,a＞０,b＞０,c＜０,f(１)＝a＋b＋c＝０, f(－１)＝a－b＋c＜０,所以c＝－(a＋b),b＞a＋c,所以 c２－ab＝[－(a＋b)]２－ab＝a２＋b２＋ab＞０,即c２＞ab．] ６．ABD　[y＝(x－２)２＋１的顶点坐标为(２,１),对称轴为 x＝２,最小值为１,当x∈(－∞,２]时,y随x 的增大而减 小,当x∈[２,＋∞)时,y 随x 的增大而增大,由y＝x２ 的图象向右平移２个单位长度,再向上平移１个单位长 度得到y＝(x－２)２＋１的图象,故正确答案为 ABD．] ７．解析:二次函数y＝x２＋bx＋c的图象向左平移２个单位 长度 再向上平移３个单位长度,得到的函数为 y＝(x＋２)２＋b(x＋２)＋c＋３． 整理得,y＝x２＋(b＋４)x＋７＋２b＋c,又y＝x２－２x＋１, 则 b＋４＝－２, ７＋２b＋c＝１,{ 解得 b＝－６, c＝６．{ 答案:－６　６ ８．解析:由于二次函数y＝x２－２x 的对称轴为x＝１,开口 向上,故函数在(－∞,１)上随x的增大而减小,在(１,＋∞) 上随x的增大而增大．而a＞２,所以１＜a－１＜a＜a＋１, 故y１＜y２＜y３． 答案:y１＜y２＜y３ ９．解析:因为y＝x２－２x＋３＝(x－１)２＋２, 所以当x＝１时,最小值为２,所以 m≤１,又因为当x２－ ２x＋３＝１１时,x＝４或－２,再结合图象可知m∈[－２,１]． 答案:[－２,１] １０．解:(１)一元二次函数的顶点为(１,１５), 设函数为y＝a(x－１)２＋１５,即y＝ax２－２ax＋a＋１５． 设图象与x轴两个交点的横坐标为x１,x２, 即方程ax２－２ax＋a＋１５＝０的两根, 由韦达定理x１＋x２＝２,x１x２＝ a＋１５ a , 又由x２１＋x２２＝７,即(x１＋x２)２－２x１x２＝７, 解得a＝－６, 所以一元二次函数为y＝－６(x－１)２＋１５, 即y＝－６x２＋１２x＋９． (２)y＝－６(x－１)２＋１５的图象 向左平移１个单位长度 　 →y＝－６x２＋１５的图象 向下平移１５个单位长度 　 →y＝－６x２ 的图象． １１．解:∵图象向左平移２个单位后关于y轴对称,向下平 移１个单位后与x轴只有一个交点, ∴抛物线的顶点坐标为(２,１)． 设二次函数的解析式为y＝a(x－２)２＋１(a≠０), ∵二次函数的图象过点(０,３),∴a＝１２． ∴二次函数的解析式为y＝１２ (x－２)２＋１． １２．解:法一(最值法):f(x)＞０对x∈[１,＋∞)恒成立,等 价于x２＋２x＋a＞０时x∈[１,＋∞)恒成立． 设y＝x２＋２x＋a,x∈[１,＋∞) 则y＝(x＋１)２＋a－１在[１,＋∞)上随x 的增大而增 大,从而ymin＝３＋a． 于是当且仅当ymin＝３＋a＞０,即a＞－３时,f(x)＞０ 对x∈[１,＋∞)恒成立,故实数a的取值范围是(－３, ＋∞)(分离参数法) 法二:f(x)＞０对x∈[１,＋∞)恒成立,等价于x２＋２x ＋a＞０对x≥１恒成立,即a＞－x２－２x对x≥１恒成 立,令μ＝－x ２－２x＝－(x＋１)２＋１,其在[１,＋∞)上随 x的增大而减小,所以当x＝１时,μmax＝－３,因此a＞－３, 故实数a的取值范围是(－３,＋∞)． １３．解:由题意可设所求抛物线的解析式为 y＝－３(x－１)２＋k,展开得y＝－３x２＋６x－３＋k． 由题意得x１＋x２＝２,x１x２＝ ３－k ３ , ∴x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２＝ ２６ ９ , 即４－２ (３－k) ３ ＝ ２６ ９ , 解得k＝４３ , ∴该抛物线是由y＝－３(x－１)２ 的图象向上平移 ４３ 个 单位得到的,它的解析式为y＝－３(x－１)２＋４３ , 即y＝－３x２＋６x－５３． １４．解:因为f(x)＝ x－１２( ) ２ ＋a＋３４ , 所以f(x)min＝a＋ ３ ４ , (１)若f(x)≥０对一切x∈R恒成立,所以a＋３４ ≥０ , 所以a≥－３４． (２)f(x)在区间[a,a＋１]上随x 的增大而增大或随x 的增大而减小, 所以a≥１２ 或a＋１≤１２ , 即a≥１２ 或a≤－１２． ４．２　一元二次不等式及其解法 １．D　[x２－３x＋２＜０⇔(x－１)(x－２)＜０⇔１＜x＜２．] ２．C　[－x２－５x＋６≥０可化为x２＋５x－６≤０．方程x２＋ ５x－６＝０的两根为１,－６,又y＝x２＋５x－６的图象开 口向上,所以x２＋５x－６≤０的解集为{x|－６≤x≤１}．] ３．A　[不等式－２x２＋bx＋１＞０,即２x２－bx－１＜０．由已 知,得 － １２ ,m 是 方 程 ２x２ －bx－１＝０ 的 两 根,则 －１２＋m＝ b ２ －１２( )×m＝－ １ ２ ì î í ïï ï ,解得 b＝１ m＝１{ ．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８３􀅰 参考答案 ４．A　[∵０＜a＜１,∴１a ＞１ ,即a＜ １a ,∴不等式的解集 为 x|x＞１a ,或x＜a{ }．] ５．AB　[当m＝０时,方程化为－４x＋５＝０,解得x＝ ５４ , 此时方程只有一个实数根,A 正确;当 m＝１时,方程化 为x２－４x＋４＝０,因为Δ＝(－４)２－４×１×４＝０,所以 此时方程有两个相等的实数根,B正确;当 m＝－１时, 方程化为－x２－４x＋６＝０,因为Δ＝(－４)２－４×(－１) ×６＞０,所以此时方程有两个不相等的实数根,C错误; 当m＝２时,方程化为２x２－４x＋３＝０,因为Δ＝(－４)２ －４×２×３＝－８＜０,所以此时方程无实数根,D错误．] ６．BCD　 [因 为 不 等 式 ax２ ＋bx＋c＞０ 的 解 集 为 －１２ ,２( ) ,故相应的二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c的图 象开口向下,所以a＜０,故 A 错误;易知２和－ １２ 是方 程ax２＋bx＋c＝０的两个根,则有ca ＝－１＜０ ,－ba ＝ ３ ２＞０ ,又a＜０,故b＞０,c＞０,故B、C正确;由二次函数 的图象可知f(１)＝a＋b＋c＞０,故 D正确．] ７．解 析:由 题 知 x＋２≤０, x２－９≥０,{ 或 x ２ － ９ ＝ ０,即 x≤－２, x≤－３或x≥３,{ 或x＝±３,即x≤－３或x＝３． 答案:{x|x≤－３,或x＝３} ８．解析:由已知得１,m 是ax２－６x＋a２＝０的两根,且a＞０, ∴a２＋a－６＝０,得a＝２ 或a＝－３(舍)．又 １＋m＝ ６ a ,∴m＝２． 答案:２ ９．解析:甲同学看错了p,但没有看错q,乙同学看错了q, 但没有看错p,所以根据根与系数的关系,得q＝(－３)×１ ＝－３,p＝－(－２＋４)＝－２． 答案:－２　－３ １０．解:(１)由－x２＋x≥３x＋１,得x２＋２x＋１≤０, 即(x＋１)２≤０,∴x＋１＝０,∴x＝－１, 即不等式－x２＋x≥３x＋１的解集为{－１}． (２)由x２－２x＞２x２＋２,得x２＋２x＋２＜０, 即(x＋１)２＋１＜０,不可能成立, 即不等式x２－２x＞２x２＋２的解集为∅． １１．解:由题知 －a＝１＋２b＝１×２,{ 即 a＝－３, b＝２,{ ∴不等式bx２＋ax＋１＞０． 就是２x２－３x＋１＞０． 由于２x２－３x＋１＞０⇔(２x－１)(x－１)＞０⇔x＜１２ 或x＞１． ∴bx２＋ax＋１＞０的解集为 －∞,１２( ) ∪(１,＋∞)． １２．C　[由４[x]２－３６[x]＋４５＜０,得３２＜ [x]＜１５２ ,又[x] 表示不大于x的最大整数,所以２≤x＜８．] １３．解:原不等式可化为(x－a)(x－a２)＞０． 当a＜０时,a＜a２,解集为{x|x＜a,或x＞a２}; 当a＝０时,a２＝a,解集为{x|x≠０}; 当０＜a＜１时,a２＜a,解集为{x|x＜a２,或x＞a}; 当a＝１时,a２＝a,解集为{x|x≠１}; 当a＞１时,a＜a２,解集为{x|x＜a,或x＞a２}． 综上所述,当a＜０或a＞１时, 解集为{x|x＜a,或x＞a２}; 当０＜a＜１时,解集为{x|x＜a２,或x＞a}; 当a＝０时,解集为{x|x≠０}; 当a＝１时,解集为{x|x≠１}． １４．解:(１)由题意知,不等式对应的方程ax２＋５x＋c＝０的 两个实数根为１ ３ 和１ ２ , 由根与系数的关系,得 a＜０, －５a＝ １ ３＋ １ ２ , c a ＝ １ ２× １ ３ , ì î í ï ï ï ï 解得a＝－６,c＝－１． (２)由a＝－６,c＝－１知不等式ax２＋(ac＋２)x＋２c≥０ 可化为－６x２＋８x－２≥０,即３x２－４x＋１≤０, 解得１ ３≤x≤１ ,所以不等式的解集为 １ ３ ,１[ ]． ４．３　一元二次不等式的应用 １．A　[４x＋２３x－１＞０⇔ (４x＋２)(３x－１)＞０⇔x＞ １３ 或x＜ －１２ ,此不等式的解集为 x x＞１３ ,或x＜－１２{ }．] ２．A　[依题意,a＞０且－ba ＝１． ax－b x－２＞０⇔ (ax－b)(x－ ２)＞０⇔(x－ba )(x－２)＞０,即(x＋１)(x－２)＞０⇔x＞ ２或x＜－１．] ３．B　[设按销售收入的t％对木材征税时,税金收入为y 元,则y＝２．４×１０３×(２×１０５－２．５t×１０４)×t％ ＝６(８t－t２)×１０５． 令y≥９×１０６,即６(８t－t２)×１０５≥９×１０６, 解得３≤t≤５．] ４．A　[令f(x)＝x２－４x＝(x－２)２－４,在(０,１]上为减函 数,当x＝１时,f(x)min＝－３,所以m≤－３．] ５．B　[对于 A,根据分母不为０,可知x ２－２x x－１ ＜ ３ x－１ 的解 集中没有元素１,而x２－２x＜３的解集中有元素１,故 A 不正确;对于B,由 (x－３)(x＋１) x＋１ ＞０ ,得x－３＞０且x≠ －１,即x＞３,由x－３＞０,得x＞３,故选项 B正确;对于 C,由x＋ １ x２－３x＋２ ＜５＋ １ x２－３x＋２ 整理得x＜５且x２ －３x＋２≠０,即x＜５且x≠１且x≠２,故选项C不正确; 对于D,由 (x－３)(x＋１) x－３ ＞０ ,得x＋１＞０且x－３≠０,即 x＞－１且x≠３,故 D不正确．] ６．ACD　[由 定 义 知,不 等 式 x－１a＋１　 a－２ x ≥１ 等 价 于 x２－x－(a２－a－２)≥１,∴x２－x＋１≥a２－a对任意实 数x 恒成立．∵x２－x＋１＝(x－１２ )２＋３４≥ ３ ４ ,∴a２－ a≤３４． 解得－１２≤a≤ ３ ２． ] ７．解析:由７－６x－x２＞０,得x２＋６x－７＜０, 即(x＋７)􀅰(x－１)＜０,所以－７＜x＜１． 答案:{x|－７＜x＜１} ８．解析:(１)若a２－１＝０,则a＝±１． 当a＝１时,原不等式为－１＜０, 解集为 R,满足题意; 当a＝－１时,原不等式为２x－１＜０, 解集为 x|x＜１２{ },与题意不符． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８８３􀅰 必修第一册