第1章因式分解单元测试卷 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

因式分解单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（　　） A．x2+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+x+1 D．x2+4x+4 2．若，（），则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 3．下列各式分解因式错误的是(　  　) A．(x－y)2－x＋y＋＝(x－y－)2 B．4(m－n)2－12m(m－n)＋9m2＝(m＋2n)2 C．(a＋b)2－4(a＋b)(a－c)＋4(a－c)2＝(b＋2c－a)2 D．16x4－8x2(y－z)＋(y－z)2＝(4x2－y－z)2 4．已知某文具店贩售的笔记本每本售价均相等且超过10元，小锦和小勤在此文具店分别购买若干本笔记本．若小锦购买笔记本的花费为36元，则小勤购买笔记本的花费可能为下列何者？（  ） A．16元 B．27元 C．30元 D．48元 5．如果多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x+2）（x﹣5），则m+n的值是（  ） A．﹣5 B．﹣7 C．2 D．-2 6．若，则（    ）. A．是完全平方数，还是奇数 B．是完全平方数，还是偶数 C．不是完全平方数，但是奇数 D．不是完全平方数，但是偶数 7．设，，则，的大小关系是（    ）. A． B． C． D．无法确定 8．设为整数，则一定能被（    ） A．2整除 B．4整除 C．6整除 D．8整除 9．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（    ） A．56 B．60 C．62 D．88 二、填空题（共24分） 11．因式分解： ． 12．如果，那么的值是 ． 13．若多项式可以因式分解成，则的值是 ． 14．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 15．计算的值为 ． 16．已知，，则与的大小关系是 ． 17．已知a，b，c分别是的边长，若，，则的周长为 ． 18．设，试将分解因式： ． 三、解答题（共66分） 19．（6分）分解因式： (1)； (2) 20．（6分）利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 21．（8分）阅读下面材料． 我们知道可以分解因式，结果为，其实也可以通过配方法分解因式，其过程如下： ． (1)请仿照上述过程填空： ； ； ． (2) 请观察（1）中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？ 22．（8分）已知三次四项式分解因式后有一个因式是，试求的值及另一个因式． 23．（9分）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“m”还原，得原式． 上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题． (1)根据材料1，分解因式：． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 24．（9分）阅读：因为（x+3）（x-2）=x2+x-6，说明x2+x-6有一个因式是x-2；当因式x-2=0，那么多项式x2+x-6的值也为0，利用上面的结果求解： (1)多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x=　 　，A=0； (2)长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x-2，面积为x2+kx-14，求k的值； (3)若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x-1），体积为4x3+ax2-7x+b，试求a，b的值． 25． （10分）试判断的值与的大小关系，并证明你的结论. 26．（10分）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D B A B B A B 1．D 【详解】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2． 2．D 【分析】由已知条件得到，则m+n=-1，然后利用=n+2，=m+2把进行降次得到m（n+2）-2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n=-1代入即可． 【详解】提示： 由①②得 ，， 【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握计算法则是解题关键. 3．D 【详解】试题解析：D. 故错误. 故选D. 4．D 【详解】分析：直接利用小锦购买笔记本的花费为36元，得出笔记本的单价，进而得出小勤购买笔记本的花费． 详解：∵某文具店贩售的笔记本每本售价均相等且超过10元，小锦购买笔记本的花费为36元， ∴笔记本的单价为：36÷3=12（元）或36÷2=18（元）或36元； 故小勤购买笔记本的花费为：12或18或36的倍数， 只有选项48符合题意． 故选D． 点睛：此题主要考查了质因数分解，正确得出笔记本的单价是解题关键． 5．B 【详解】（x+2）（x﹣5）= x2-3x-10.故m=3,n=-10,所以m+n=-7.故选B. 6．A 【分析】根据已知得出2007=2006+1，将原式整理为关于2006的平方形式得出答案. 【详解】设x=2006，则m=x2+x2(x+1)2+(x+1)2=(x-1-x)2+2x(x+1)+[x(x+1)]2=[x(x+1)+1]2 =(x2+x+1)2,则m=（20162+2016+1）2，所有m为奇数. 【点睛】掌握因式分解法：完全平方法（a±b）2=a2±2ab+b2. 7．B 【分析】本题主要是比较大小，将a，b的分子和分母展开，将带平方和立方的项分为一组提取公因式，其余两项构造为平方差的形式a= = =1 【详解】a== =1， 同理b=1，∴a=b. 【点睛】掌握因式分解提公因式法和平方差公式解题. 8．B 【分析】先运用完全平方公式将式子展开，合并后提取公因式，再进行因式分解可得2（n-2）(n+3)，进一步可发现（n-2）(n+3)为偶数，得原式能被4整除. 【详解】解：∵=2n2+2n+0.5-12.5=2n2+2n-12=2（n-2）(n+3) 又∵n是整数，∴n-2 与n+3中必有一个是偶数， ∴（n-2）(n+3)能被2整除， ∴一定能被4整除． 故选B. 【点睛】本题考查的知识点：因式分解，倍数问题．把原式化为2（n-2）(n+3)是此题的关键． 9．A 【分析】根据a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，可以求得a﹣b、b﹣c、a﹣c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题． 【详解】∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019， ∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca ＝ ＝ = ＝ ＝ ＝3， 故选A． 【点睛】本替考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值． 10．B 【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合． 【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数）， ∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)， A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误； B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确； C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误； D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键． 11． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解 ．本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式后利用平方差公式 进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： ． 12．36 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子变形为，再把代入得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13．3或 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故答案为：3或． 14．84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 17．9 【分析】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长是9． 故答案为： 18． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握公式，并灵活地对式子进行构造和化简是解题的关键； 先将代入得，再将代入整理即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式、公式法等因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．(1)，5，，，1， (2)所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解，完全平方公式和平方差公式因式分解，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）由（1）求解即可． 【详解】（1） ； ； 故答案为：，5，，，1，； （2）由（1）得，所填的两个数的和等于一次项系数，积等于常数项． 22．， 【分析】根据题意，当时，代数式的值为0，进而求得的值，然后因式分解即可求解． 【详解】解：依题意，三次四项式分解因式后有一个因式是， ∴时，原式 ∴， ∵ ∴另一个因式为 【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止． 23．(1) (2)①；② 【分析】（1）将x2-7x+12写成x2+（-3-4）x+（-3）×（-4），根据材料1的方法可得（x-3）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可； ②令B=x（x+2）=x2+2x，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：①令A=x-y， 则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3）， 所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）； ②令B=x（x+2）=x2+2x， 则原式=B（B-2）-3 =B2-2B-3， =（B+1）（B-3）， ∴原式=（x2+2x+1）（x2+2x-3） =（x+1）2（x-1）（x+3）． 【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 24．(1)-m (2)k=5； (3)a=5，b=-2． 【分析】（1）根据多项式的一个因式为0，则多项式为0可求解； （2）根据长方形的面积公式可知：x-2是x2+kx-14的一个因式，利用当x=2时，x2+kx-14=0，求出k的值即可； （3）根据长方体的体积公式可知x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式，利用x=-2和x=1时，4x3+ax2-7x+b，求出a，b的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得，当x+m=0时，A=0， ∴x=-m时，a=0， 故答案为：-m； （2）解：由题意得x-2是x2+kx-14的一个因式， ∴x-2能整除x2+kx-14， ∴当x-2=0时，x2+kx-14=0， ∴x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0， 解得：k=5； （3）解：由题意得x+2，x-1是4x3+ax2-7x+b的一个因式， ∴x+2，x-1能整除4x3+ax2-7x+b， ∴当x+2=0即x=-2时，4x3+ax2-7x+b=0， 即4a+b=18①， 当x-1=0即x=1时，4x3+ax2-7x+b=0， 即a+b=3②， ①-②得3a=15， 解得：a=5， ∴b=-2． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 25．大于. 【分析】先根据平方差公式，将原式分解因式， 再找出规律， 进行约分即可 ． 【详解】解： 原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解—平方差公式以及应用，解题关键是利用对原式变形． 26．(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$