第4章 一元一次方程 单元提优卷 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

第4章一元一次方程单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面事件中的等量关系，不能用等式表示的是(    ) A. 一本练习册共页，安安每天写页，写了天，还剩页未写 B. 一本图画书元，笑笑带了元，想买本图画书，还差元 C. 弟弟今年岁，姐姐年龄是弟弟年龄的倍大岁，姐姐今年岁 D. 买个包子和一份肠粉共元，一个包子元，一份肠粉元 【答案】B  【解析】略 2.下列等式变形正确的是(    ) 由，得； 由，得； 由，得； 由，得． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.若关于的一元一次方程的解为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是关于的一元一次方程的解， ， ， 故选：． 根据方程的解的定义把代入方程即可求出的值． 本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 4.某项工作甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲先做天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲一共做了天，则所列方程为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.小冉解关于的方程时，在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 6.若关于的方程的解是正整数，是整数，则所有满足条件的的值的和为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解关于的方程，得因为的解是正整数，是整数，所以或或，所以所有满足条件的的值的和为． 7.我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意如下：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设城中人家的户数为由题意，得，解得则城中人家的户数为． 8.如图，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走．已知甲从点出发以的速度行走，乙从点出发以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙在该正方形的(    ) A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 边上 【答案】C  【解析】提示：设乙行走后第一次追上甲．根据题意，可知甲的行走路程为，乙的行走路程为当乙第一次追上甲时，，解得，此时乙的行走路程为因为，而，所以乙在该正方形的边上． 9.如图，某班名男生按学号，，，，，顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中同学开始，沿顺时针方向，按，，，依次报数，报到数字的同学退出游戏，剩下人，第一轮结束；从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按，，，依次报数，报到数字的同学退出游戏，剩下人，第二轮结束；如此下去若第四轮结朿时，学号为的同学退出游戏，则同学的学号是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设同学的学号是是， 则第一轮报号的学号为， 第二轮第一个报号的学号仍为， 则第二轮报号的学号为， 第三轮第一个报号的学号仍为， 则第三轮报号的学号为， 第四轮第一个报号的学号仍为， 则第四轮报号的学号为， 第四轮结朿时，学号为的同学退出游戏， ， ， 同学的学号是． 故选C． 10.我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 如右图所示， 设正中间的数字为， 由题意可得， 解得． 故选：． 根据题意，先求出左上角的数是，不妨设正中间的数字为，即可列出关于的方程，从而可以求出的值． 本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知与互为相反数，则           ． 【答案】  【解析】略 12.对于有理数，，规定一种新运算，，如，则方程的解为          ． 【答案】  【解析】略 13.小明在解关于的方程时，误把写成了，从而求得此时方程有解为，则原来方程的解为          ． 【答案】  【解析】解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得． 14.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和分别相等，且均为小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的实际应用，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．设九宫格中最中间的数为，由于第列中间数与第行的最左侧的数重合，建立方程，求得，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和等于最中间数的三倍所以． 【解答】 解：设九宫格中最中间的数为． 第列的中间的数与第行的最左侧的数重合， 得， 解得． 由于九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和等于最中间数的倍， 所以． 15.如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则剪下的长条的面积之和为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，将图正方形作如下操作：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形；第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到个正方形，则需要操作的次数是          次． 【答案】  【解析】题图有个正方形，题图有个正方形，题图有个正方形以此类推，图有个正方形．当时，解得所以若要得到个正方形，则需要操作的次数是． 17.一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么三等奖的奖金金额是          元． 【答案】  【解析】获一等奖人，获二等奖人，获三等奖，由之间的关系结合均为整数，即可得出的值，设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元，根据奖金的总额为元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论取其为整数的值． 【详解】解：获一等奖人，获二等奖人，获三等奖，根据题意 且均为整数， ． 设三等奖的奖金金额为元，则二等奖的奖金金额为元，一等奖的奖金金额为元， 依题意，得：，，， 解得：不合题意，舍去，不合题意，舍去，． 故答案为：． 18.在九章算术方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中“”代表按规律不断求和，设则有，解得，故类似地的结果为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元一次方程的解和规律型：数字的变化类，通过变形得到是解题的关键． 设，变形得到，从而得到，解方程即可得出答案． 【解答】 解：设， 则， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程                                                           【答案】解：去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：． 去括号得 移项，合并同类项得， 解得： 原方程可变形为 ， 移项，合并同类项得 ， 解得   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.本小题分 已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】解： 解方程，得：， 解方程，得：， 方程的解比关于的方程的解大， ， 解得．  【解析】本题主要考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法的有关知识，先分别求出每个方程的解，然后根据方程的解比关于的方程的解大得到关于的方程求解即可． 21.本小题分 某校七年级班数学老师为准备期末复习，事先录制了一节复习课，准备刻成光盘给每个学生回家观看．到电脑公司刻录光盘每张需元；在学校刻录，除租用台刻录机需要元外，每张光盘还需要成本费元． 完成表格： 刻录光盘的数量张 在学校刻录费用元                         到电脑公司刻录费用元                         当刻录多少张光盘时，到电脑公司刻录与在学校刻录所需费用一样？ 如果七年级班共有学生人，每人张，那么选择在学校刻录和到电脑公司刻录哪种方式更划算？ 【答案】(1)290 ;;180;  (2)35张  (3)在学校刻录更划算  【解析】 略  略  略 22.本小题分 按如图方式摆放餐桌和椅子中间的是餐桌，四周是椅子，观察摆放的规律并回答下列问题． 按照此规律，第幅图中应该有          把椅子； 按照此规律，第幅图中有          把椅子； 试计算第幅图中有多少把椅子；有没有哪幅图中椅子的数量可能是把？计算并说明理由． 【答案】(1)18  (2)(4n+2)  (3)解：将n＝10代入4n+2，得4n+2＝4×10+2＝42，  即第⑩幅图中椅子的数量为42把．  若4n+2＝120，解得，不是整数，不符合题意，  所以椅子的数量不可能为120把．  【解析】 略  略  略 23.本小题分 某同学在解方程时，去分母后得到方程，求得方程的解为． 试求的值； 你认为是方程的解吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出方程的解． 【答案】(1)解：将x＝2代入2x-1＝x+a-2，  得2×2-1＝2+a-2，  解得a＝3．  (2)不是．由（1）知，a＝3，  所以原方程为，  去分母，得2x-1＝x+3-6，  解得x＝-2．  【解析】 略  略 24.本小题分 【阅读理解】甲、乙两人分别从、两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了千米，相遇后经小时乙到达地．甲、乙两人的速度分别是多少？ 分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系． 从图中可得如下的相等关系： 甲行驶小时的路程乙行驶小时的路程，甲行驶小时的路程乙行驶小时的路程． 根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程． 【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题． 【能力提升】对于上题，若乙出发小时后行驶速度减少千米时，甲出发后经多少小时两人相距千米？ 【答案】【问题解决】设甲的速度是千米时，则乙的速度是千米时． 依题意，得，解得，则． 答：甲的速度是千米时，乙的速度是千米时． 【能力提升】由条件可知、两地之间的距离为千米设甲出发后经小时两人相距千米．分情况讨论如下：当甲、乙两人相遇前相距千米时， 依题意，得，解得． 当甲、乙两人相遇后相距千米时， 依题意，得，解得． 答：甲出发后经小时或小时两人相距千米．   【解析】略 25.本小题分 数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示、的数对应的两点之间的距离为借助数轴解决下列问题： 表示数和          所对应的两点之间的距离； 代数式的最小值为          ； 若，则的值为          ； 已知代数式是常数根据的不同取值，写出对应的的值用含的代数式表示． 【答案】(1)-3  (2)8  (3)3和​​​​​​​  (4)当m＜8时，x不存在； 当8≤m＜16时，x＝13﹣m或x＝； 当m≥16时，x＝或x＝．   【解析】  表示数和所对应的两点之间的距离． 故答案为：；   当时，代数式的最小值为． 故答案为：；   当在及右侧和的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ， 解得． 故的值为和． 故答案为：和；   在的基础上，可知，有三种取值：，，，分别求解即可． 本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想解题是关键． 26.本小题分 【问题提出】数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个克的砝码测量出一个牙杯和一支牙刷的质量． 【实验探究】准备若干个相同的牙杯和若干支相同的牙刷每个牙杯的质量相同，每支牙刷的质量也相同，设一个牙杯的质量为克，经过实验，小明将信息记录在下表： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 个牙杯，个克的砝码 支牙刷 平衡 ________ 记录 个牙杯 支牙刷和个克的砝码 平衡 ________ 【解决问题】 用含的代数式表示出表中的两空； 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 个牙杯，个克的砝码 支牙刷 平衡            记录 个牙杯 支牙刷和个克的砝码 平衡            根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的质量和一支牙刷的质量； 根据中的结论，若将天平左边放置个牙杯，则天平右边需放置          支牙刷和个克的砝码可使天平平衡． 【答案】(1)4x＋20;3x-10  (2)根据题意得一支牙刷的质量为克或克，所以可列出方程为，解得 x＝120，． 答：一个牙杯的质量为120克，一支牙刷的质量为25克．   (3)22  【解析】 略  略   设天平右边需要放支牙刷，根据题意得，解得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面事件中的等量关系，不能用等式表示的是(    ) A. 一本练习册共页，安安每天写页，写了天，还剩页未写 B. 一本图画书元，笑笑带了元，想买本图画书，还差元 C. 弟弟今年岁，姐姐年龄是弟弟年龄的倍大岁，姐姐今年岁 D. 买个包子和一份肠粉共元，一个包子元，一份肠粉元 2.下列等式变形正确的是(    ) 由，得； 由，得； 由，得； 由，得． A. B. C. D. 3.若关于的一元一次方程的解为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.某项工作甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲先做天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲一共做了天，则所列方程为    ． A. B. C. D. 5.小冉解关于的方程时，在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是(    ) A. B. C. D. 6.若关于的方程的解是正整数，是整数，则所有满足条件的的值的和为(    ) A. B. C. D. 7.我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意如下：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，两人沿着边长为的正方形，按的方向行走．已知甲从点出发以的速度行走，乙从点出发以的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙在该正方形的(    ) A. 边上 B. 边上 C. 边上 D. 边上 9.如图，某班名男生按学号，，，，，顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中同学开始，沿顺时针方向，按，，，依次报数，报到数字的同学退出游戏，剩下人，第一轮结束；从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按，，，依次报数，报到数字的同学退出游戏，剩下人，第二轮结束；如此下去若第四轮结朿时，学号为的同学退出游戏，则同学的学号是(    ) A. B. C. D. 10.我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知与互为相反数，则           ． 12.对于有理数，，规定一种新运算，，如，则方程的解为          ． 13.小明在解关于的方程时，误把写成了，从而求得此时方程有解为，则原来方程的解为          ． 14.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和分别相等，且均为小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则的值为          ． 15.如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则剪下的长条的面积之和为          ． 16.如图，将图正方形作如下操作：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形；第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到个正方形，则需要操作的次数是          次． 17.一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么三等奖的奖金金额是          元． 18.在九章算术方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中“”代表按规律不断求和，设则有，解得，故类似地的结果为          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程                                                          20.本小题分已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 21.本小题分某校七年级班数学老师为准备期末复习，事先录制了一节复习课，准备刻成光盘给每个学生回家观看．到电脑公司刻录光盘每张需元；在学校刻录，除租用台刻录机需要元外，每张光盘还需要成本费元． 完成表格： 刻录光盘的数量张 在学校刻录费用元                         到电脑公司刻录费用元                         当刻录多少张光盘时，到电脑公司刻录与在学校刻录所需费用一样？ 如果七年级班共有学生人，每人张，那么选择在学校刻录和到电脑公司刻录哪种方式更划算？ 22.本小题分按如图方式摆放餐桌和椅子中间的是餐桌，四周是椅子，观察摆放的规律并回答下列问题． 按照此规律，第幅图中应该有          把椅子； 按照此规律，第幅图中有          把椅子； 试计算第幅图中有多少把椅子；有没有哪幅图中椅子的数量可能是把？计算并说明理由． 23.本小题分某同学在解方程时，去分母后得到方程，求得方程的解为． 试求的值； 你认为是方程的解吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出方程的解． 24.本小题分 【阅读理解】甲、乙两人分别从、两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了千米，相遇后经小时乙到达地．甲、乙两人的速度分别是多少？ 分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系． 从图中可得如下的相等关系： 甲行驶小时的路程乙行驶小时的路程，甲行驶小时的路程乙行驶小时的路程． 根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程． 【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题． 【能力提升】对于上题，若乙出发小时后行驶速度减少千米时，甲出发后经多少小时两人相距千米？ 25.本小题分数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示、的数对应的两点之间的距离为借助数轴解决下列问题： 表示数和          所对应的两点之间的距离； 代数式的最小值为          ； 若，则的值为          ； 已知代数式是常数根据的不同取值，写出对应的的值用含的代数式表示． 26.本小题分【问题提出】数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个克的砝码测量出一个牙杯和一支牙刷的质量． 【实验探究】准备若干个相同的牙杯和若干支相同的牙刷每个牙杯的质量相同，每支牙刷的质量也相同，设一个牙杯的质量为克，经过实验，小明将信息记录在下表： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 个牙杯，个克的砝码 支牙刷 平衡 ________ 记录 个牙杯 支牙刷和个克的砝码 平衡 ________ 【解决问题】 用含的代数式表示出表中的两空； 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 个牙杯，个克的砝码 支牙刷 平衡            记录 个牙杯 支牙刷和个克的砝码 平衡            根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的质量和一支牙刷的质量； 根据中的结论，若将天平左边放置个牙杯，则天平右边需放置          支牙刷和个克的砝码可使天平平衡． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 6页 第 4 章 一元一次方程 单元提优卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面事件中的等量关系，不能用等式 2� + 7 = 13 表示的是( ) A.一本练习册共 13 页，安安每天写 2 页，写了�天，还剩 7 页未写 B.一本图画书�元，笑笑带了 13 元，想买 2 本图画书，还差 7 元 C.弟弟今年�岁，姐姐年龄是弟弟年龄的 2 倍大 7 岁，姐姐今年 13 岁 D.买�个包子和一份肠粉共 13 元，一个包子 2 元，一份肠粉 7 元 2.下列等式变形正确的是( ) ①由−3 + 2� = 5，得 2� = 5 − 3； ②由 3� =− 4，得� =− 34； ③由 1 2 � = 2，得� = 4； ④由� + 2 = 3，得� = 3 − 2． A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 3.若关于�的一元一次方程 2� + � = 5 的解为� = 1，则�的值为 ( ) A. 3 B. −3 C. 7 D. −7 4.某项工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 6 天完成，若甲先做 1 天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲 一共做了�天，则所列方程为( )． A. �+14 + � 6 = 1 B. � 4+ �+1 6 = 1 C. � 4 + �−1 6 = 1 D. � 4+ 1 4 + �+1 6 = 1 5.小冉解关于�的方程2�−13 = �+� 2 − 2 时，在去分母的过程中，右边的“−2”漏乘了公分母 6，因而求得方 程的解为� = 2，则方程正确的解是( ) A. � =− 12 B. � =− 8 C. � = 8 D. � = 12 6.若关于�的方程� − 2−��6 = �+1 3 的解是正整数，�是整数，则所有满足条件的�的值的和为( ) A. −5 B. −16 C. −24 D. 18 7.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家 共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意如下：今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为( ) A. 25 B. 75 C. 81 D. 90 第 2页，共 6页 8.如图，两人沿着边长为 90�的正方形，按� → � → � → � → �…的方向行走．已知甲从点�出发以 65�/��� 的速度行走，乙从点�出发以 75�/���的速度行走，当乙第一次追上甲时，乙在该正方形的( ) A.边��上 B.边��上 C.边��上 D.边��上 9.如图，某班 20 名男生按学号 1，2，3，. . .，19，20 顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中�同学开 始，沿顺时针方向，按 1，2，3，. . .依次报数，报到数字 20 的同学退出游戏，剩下 19 人，第一轮结束； 从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按 1，2，3，. . .依次报数，报到数 字 20 的同学退出游戏，剩下 18 人，第二轮结束；. . .如此下去.若第四轮结朿时，学号为 11 的同学退出游 戏，则�同学的学号是( ) A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. 10.我国古代的“九宫图”是由 3 × 3 的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条 对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算�的值是( ) 2025 � 2 3 A. 2020 B. −2020 C. 2019 D. −2019 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知 2� + 3 与 5 互为相反数，则� = ． 12.对于有理数�，�，规定一种新运算，�⊕ � = � + � �，如 2⊕ 3 = 2 + 3 × 3 = 15，则方程 � − 4 ⊕ 3 = 6 的解为 ． 13.小明在解关于�的方程 5� − � = 13 时，误把−�写成了+�，从而求得此时方程有解为� = 8，则原来方程 的解为 ． 第 3页，共 6页 14.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规 则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以 及两条对角线上的 3 个数之和分别相等，且均为�.小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知 识，很快就完成了这个游戏，则�的值为 ． 15.如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为 3 ��的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 4 �� 的长条．若两次剪下的长条面积正好相等，则剪下的长条的面积之和为 ��2． 16.如图，将图①正方形作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图②，得到 5 个正方形；第 2 次：将图 ②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到 9 个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到 2025 个正方形，则需要操作的次数是 次． 17.一笔奖金总额为 1092 元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每 个二等奖奖金的 2 倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的 2 倍，若把这笔奖金发给 6 个人，并且要求 一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么三等奖的奖金金额是 元． 18.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1 + 12 + 1 22 + 1 23 + 1 24 +⋯中.“⋯”代表按规律不断求和，设 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 +⋯ = �.则有� = 1 + 1 2 �，解得� = 2，故⋯类 似地 1 + 132 + 1 34 + 1 36 +⋯的结果为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程①3� − 7(� − 1) = 3 − 2(� + 3) ② 5−�3 − 1 = 2�−3 2 . 第 4页，共 6页 ③ 6 7 7 6 2� + 1 + 7 − 1 = 4� ④ 0.1�−0.2 0.02 − �+1 0.5 = 3 20.(本小题 8 分)已知关于�的方程 5� − 2� = 4 � − 1 + 1 的解比关于�的方程 2 � + 1 − � = � − 2 � − 2 的解大 4，求�的值． 21.(本小题 8 分)某校七年级(1)班数学老师为准备期末复习，事先录制了一节复习课，准备刻成光盘给每个 学生回家观看．到电脑公司刻录光盘每张需 9 元；在学校刻录，除租用 1 台刻录机需要 140 元外，每张光 盘还需要成本费 5 元． (1)完成表格： 刻录光盘的数量/张 20 30 … � 在学校刻录费用/元 240 … 到电脑公司刻录费用/元 270 … (2)当刻录多少张光盘时，到电脑公司刻录与在学校刻录所需费用一样？ (3)如果七年级(1)班共有学生 36 人，每人 1 张，那么选择在学校刻录和到电脑公司刻录哪种方式更划算？ 22.(本小题 8 分)按如图方式摆放餐桌和椅子(中间的是餐桌，四周是椅子)，观察摆放的规律并回答下列问 题． (1)按照此规律，第④幅图中应该有 把椅子； (2)按照此规律，第 幅图中有 把椅子； (3)试计算第 10 幅图中有多少把椅子；有没有哪幅图中椅子的数量可能是 120 把？计算并说明理由． 第 5页，共 6页 23.(本小题 8 分)某同学在解方程2�−13 = �+� 3 − 2 时，去分母后得到方程 2� − 1 = � + � − 2，求得方程的解 为� = 2． (1)试求�的值； (2)你认为� = 2 是方程2�−13 = �+� 3 − 2 的解吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出方程 2�−1 3 = �+� 3 − 2 的解． 24.(本小题 8 分) 【阅读理解】甲、乙两人分别从�、�两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行 驶，出发后经过 0.4 小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了 14.4 千米，相遇后经 0.1 小时乙到达�地．甲、 乙两人的速度分别是多少？ 分析：可以用示意图来分析本题中的数量关系． 从图中可得如下的相等关系： 甲行驶 0.4 小时的路程=乙行驶 0.1 小时的路程，甲行驶 0.4 小时的路程+14.4 =乙行驶 0.4 小时的路程． 根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程． 【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题． 【能力提升】对于上题，若乙出发 0.2 小时后行驶速度减少 10 千米/时，甲出发后经多少小时两人相距 2 千米？ 第 6页，共 6页 25.(本小题 8 分)数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表 示�、�的数对应的两点之间的距离为|� − �|.借助数轴解决下列问题： (1) |� + 3|表示数�和 所对应的两点之间的距离； (2)代数式|� + 3| + |� − 5|的最小值为 ； (3)若|� + 3| + 2|� − 5| = 10，则�的值为 ； (4)已知代数式|� + 3| + |2� − 10| = �(�是常数).根据�的不同取值，写出对应的�的值(用含�的代数式表 示)． 26.(本小题 8 分)【问题提出】数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个 10 克的砝码测量出一个牙杯和一支牙刷的质量． 【实验探究】准备若干个相同的牙杯和若干支相同的牙刷(每个牙杯的质量相同，每支牙刷的质量也相同)， 设一个牙杯的质量为�克，经过实验，小明将信息记录在下表： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 1 4 个牙杯，2 个 10 克的砝码 20 支牙刷 平衡 4� ________ 记录 2 3 个牙杯 14 支牙刷和 1 个 10 克的砝码 平衡 3� ________ 【解决问题】 (1)用含�的代数式表示出表中的两空； 记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总质量 牙刷的总质量 记录 1 4 个牙杯，2 个 10 克的砝码 20 支牙刷 平衡 4� 记录 2 3 个牙杯 14 支牙刷和 1 个 10 克的砝码 平衡 3� (2)根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的质量和一支牙刷的质量； (3)根据(2)中的结论，若将天平左边放置 5 个牙杯，则天平右边需放置 支牙刷和 5 个 10 克的砝码可 使天平平衡．