1.3.2第2课时基本不等式的应用课时练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第一章 3 3.2 第2课时基本不等式的应用 一、选择题 1.若x∈{x|-2<x<0},则x(2+x)的最小值是( ) A.-2 B.- C.-1 D.- 2.下列各式中,对任意实数x都成立的一个式子是( ) A.x+1≥2 B.x2+1>2x C.≤1 D.x+≥2 3.已知a>b>0,全集为R,集合M=,N={x|<x<a},P={x|b<x≤},则M,N,P满足( ) A.P=M∩(∁RN) B.P=(∁RM)∩N C.P=M∪N D.P=M∩N 4.设x,y为正数,则(x+y)的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 5.若对所有正数x,y,不等式x+y≤a都成立,则a的最小值是( ) A. B.2 C.2 D.8 6.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 7.已知m,n∈R,且m2+n2=100,则mn的最大值是( ) A.100 B.50 C.20 D.10 8.已知0<x<1,a,b为常数,且ab>0,则y=+的最小值为( ) A.(a+b)2 B.(a-b)2 C.a+b D.a-b 9.(多选题)已知集合U=R,A={p|p=a+,a>2},B={q|q=-x2+8,x∈R},则下列正确的是( ) A.A∩B={x|4≤x≤8} B.A∪B=R C.A⊆B D.∁UA⊆B 10.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数定理都能够通过图形实现证明,也称为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明有( ) A.≥(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.≥(a>0,b>0) D.≥(a>0,b>0) 二、填空题 11.已知x、y都是正数, (1)如果xy=15,则x+y的最小值是 ; (2)如果x+y=15,则xy的最大值是 . 12.已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为 . 13.已知x≥,则f(x)=的最小值是 . 14.某公司购进了一批机器投入生产,依据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:月)的关系为:y=-x2+15x-16(x∈N*),则每台机器生产的产品的月平均利润的最大值是_万元. 三、解答题 15.若正数a、b满足:+=1,求+的最小值. 16.某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品,根据过去的经验,每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y=(x∈N*).在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到0.1万件) 17.设a>0,b>0,且a+b=+. (1)求a+b的最小值; (2)证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 18.某厂家拟在2024年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 第一章 3 3.2 第2课时基本不等式的应用 一、选择题 1.若x∈{x|-2<x<0},则x(2+x)的最小值是( ) A.-2 B.- C.-1 D.- [解析] 因为x∈{x|-2<x<0},所以2+x>0,所以x(2+x)=-(-x)(2+x)≥-2=-1,当且仅当x=-1时,等号成立.故选C. 2.下列各式中,对任意实数x都成立的一个式子是( ) A.x+1≥2 B.x2+1>2x C.≤1 D.x+≥2 [解析] 当x<0时,无意义,故A不恒成立;当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;当x<0时,x+<2,故D不恒成立;x2+1≥1,所以≤1恒成立.故选C. 3.已知a>b>0,全集为R,集合M=,N={x|<x<a},P={x|b<x≤},则M,N,P满足( ) A.P=M∩(∁RN) B.P=(∁RM)∩N C.P=M∪N D.P=M∩N [解析] 由a>b>0结合基本不等式可得,a>>>b,故P=M∩(∁RN).故选A. 4.设x,y为正数,则(x+y)的最小值为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 [解析] x,y为正数,(x+y)=1+4++≥9,当且仅当y=2x时等号成立.故选B. 5.若对所有正数x,y,不等式x+y≤a都成立,则a的最小值是( ) A. B.2 C.2 D.8 [解析] 因为x>0,y>0, 所以x+y= ≤= , 当且仅当x=y时等号成立, 所以使得x+y≤a对所有正数x,y都成立的a的最小值是.故选A. 6.若点A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 [解析] 因为点A在直线mx+ny+1=0上, 所以-2m-n+1=0,即2m+n=1. 因为m>0,n>0,所以+=+=2+++2≥4+2 =8,当且仅当m=,n=时取等号.故选C. 7.已知m,n∈R,且m2+n2=100,则mn的最大值是( ) A.100 B.50 C.20 D.10 [解析] 由m2+n2≥2mn得mn≤=50,当且仅当m=n= 5时等号成立.故选B. 8.已知0<x<1,a,b为常数,且ab>0,则y=+的最小值为( ) A.(a+b)2 B.(a-b)2 C.a+b D.a-b [解析] y=+=[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当x=时取等号.故选A. 9.(多选题)已知集合U=R,A={p|p=a+,a>2},B={q|q=-x2+8,x∈R},则下列正确的是( ) A.A∩B={x|4≤x≤8} B.A∪B=R C.A⊆B D.∁UA⊆B [解析] 由a>2,故p=a+=(a-2)++2≥4,当且仅当a=3时取等号. 所以A={p|p≥4},B={q|q≤8}.故选ABD. 10.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数定理都能够通过图形实现证明,也称为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明有( ) A.≥(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.≥(a>0,b>0) D.≥(a>0,b>0) [解析] 根据图形,利用射影定理得:CD2=DE OD,又OD=AB=(a+b),CD2=AC CB=ab,所以DE==,由于OD≥CD, 所以≥(a>0,b>0). 由于CD≥DE, 所以≥=(a>0,b>0).故选AC. 二、填空题 11.已知x、y都是正数, (1)如果xy=15,则x+y的最小值是 2 ; (2)如果x+y=15,则xy的最大值是 . [解析] (1)x+y≥2=2,即x+y的最小值是2;当且仅当x=y=时取最小值. (2)xy≤2=2=, 即xy的最大值是. 当且仅当x=y=时xy取最大值. 12.已知正数a、b满足+=3,则ab的最小值为 4 . [解析] +=3≥2 ≥2 ab≥4. 当且仅当=,即a=6,b=时取等号. 13.已知x≥,则f(x)=的最小值是 1 . [解析] f(x)==+ =+ ≥2=1. 当且仅当=,即x=3时取“=”. 14.某公司购进了一批机器投入生产,依据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:月)的关系为:y=-x2+15x-16(x∈N*),则每台机器生产的产品的月平均利润的最大值是_7_万元. [解析] 由已知得,每台机器生产的产品的月平均利润为==-x+15-=15-, 又因为15-≤15-2=7,当且仅当x=时等号成立,又因为x∈N*,所以当x=4时,月平均利润有最大值,此时最大值是7万元. 三、解答题 15.若正数a、b满足:+=1,求+的最小值. [解析] 正数a、b满足+=1,则=1-=,则=,由正数a、b满足+=1,则=1-=,则=,+=+≥2=2,当且仅当a=b=3时取等号,故+的最小值为2. 16.某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A产品,根据过去的经验,每月A产品销售数量y(万件)与销售员的数量x(人)之间的函数关系式为y=(x∈N*).在该月内,销售员数量为多少时,销售的数量最大?最大销售量为多少?(精确到0.1万件) [解析] 依题意得y=(x∈N*). 因为x+≥2=80, 当且仅当x=,即x=40时上式等号成立, 所以ymax=≈11.1(万件). 所以当销售员为40人时,销售量最大,最大销售量约为11.1万件. 17.设a>0,b>0,且a+b=+. (1)求a+b的最小值; (2)证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. [解析] 由a+b=+=,且a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,知a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故a+b的最小值为2. (2)证明:由(1)知a2+b2≥2ab=2,且a+b≥2,因此a2+b2+a+b≥4,① 假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则a2+b2+a+b<4,①②两式矛盾,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 18.某厂家拟在2024年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? [解析] (1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为1.5 (元), ∴2024年该产品的利润y=1.5x -8-16x-m=-+29(m≥0). (2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1,即m=3时,ymax=21.故该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元. 学科网(北京)股份有限公司 $$