21.2.3 因式分解法 课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，从理论依据“若a·b=0则a=0或b=0”切入，通过x(x+3)=0等基础方程引入，结合中考题、期末题等例题，从提公因式到十字相乘法逐步深入，构建从理论到综合应用的学习支架。 其亮点在于融合推理意识与模型意识，通过小明漏解易错点辨析、十字相乘法分解x²-x-6等实例，采用例题解析与变式训练结合的教学方法，课堂小结系统梳理方法。助力学生培养运算能力，教师可借助资料高效教学，提升学生解题与思维能力。

21.2.3　因式分解法 学习目标 (1)会用因式分解法解一元二次方程. (2)能选用合适的方法解一元二次方程. 知识点1 因式分解法的理论依据(如果a·b＝0，则a＝0或b＝0) 1．新课标　过程学习一元二次方程x(x＋3)＝0可以看作_______或__________，因此，方程x(x＋3)＝0的根为_________________________． x＝0 x＋3＝0 x1＝0，x2＝－3 2．(河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( ) A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 D 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是( ) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 B 4．(西峡县期末)方程x2＋x＝0因式分解后为_________________． x(x＋1)＝0 (2)(2＋x)2－9＝0； 解：x2＋4x＋4－9＝0， ∴x2＋4x－5＝0. ∴(x＋5)(x－1)＝0. ∴x＋5＝0或x－1＝0. ∴x1＝－5，x2＝1； (3)5x2＋20x＋20＝0. 解：x2＋4x＋4＝0， ∴(x＋2)2＝0. ∴x1＝x2＝－2. 知识点3 选择适当的方法解一元二次方程 6．在下列各题的空格中填写适当的解法： (1)解方程(5x－3)2＝7，用_____________法较适宜； (2)解方程(7x＋5)2＝3(7x＋5)，用_____________法较适宜； (3)解方程x2＋2x－1＝0，用_________法较适宜； (4)解方程2x2＋5x－2＝0，用___________法较适宜． 直接开平方 因式分解 配方 公式 7．选择适当的方法解下列方程： (1)x2＋2x－6＝0； 易错点　解方程时，方程两边都除以含有未知数的代数式时考虑不全导致失根 8．解方程x(x＋2)＝x＋2. 小明：方程两边都除以(x＋2)，得x＝1，方程的解即为x＝1. 小美：方程变形为x(x＋2)－(x＋2)＝0，提取公因式，得(x－1)(x＋2)＝0，即x－1＝0或x＋2＝0，方程的解为x1＝1，x2＝－2. 以上两种解法中，_____________的解法错误，原因是 _______________________________________________________________． 小明 方程两边都除以(x＋2)前，忽略了(x＋2)为0的情况导致漏解 9．若代数式x(x－1)和3(1－x)的值互为相反数，则x的值为( ) A．1或3 B．－1或－3 C．1或－1 D．3或－3 A 10．新定义　新概念问题定义运算“@”，对于任意实数a，b都有a@b＝a(a－b).例如，4@3＝4×(4－3)＝4.若x@2＝3，则x的值是_____________. 3或－1 11．(教材P17T8变式)若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是_____________． 12．选择适当的方法解下列方程： (1)(x－3)(x－1)＝3； 解：x2－4x＋3＝3，∴x2－4x＝0. ∴x(x－4)＝0.∴x＝0或x－4＝0. ∴x1＝0，x2＝4； (2)(3x＋2)2＝(5－2x)2. 13．(教材P14T2变式)如图，把小圆形场地的半径增加4 m得到大圆形场地，扩大后的场地面积是原来场地面积的2倍．设小圆形场地的半径为r m. (1)大圆形场地的面积为_____________m2；(用含r的代数式表示) (2)求小圆形场地的面积． π(r＋4)2 阅读与思考：整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，反过来x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，恰好是因式分解． (1)基于上述原理，将式子x2－x－6分解因式如下： ①分解二次项和常数项； ②交叉相乘验一次项：x·2＋x·(－3)＝－x； ③横向写出两因式：x2－x－6＝(x＋2)(x－3). 像这样系数交叉相乘分解因式的方法叫作“十字相乘法”；　　　　 x2－x－6 一次项：x·(－3)＋x·2＝－x (2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，试用上述的方法和原理解下列方程． ①x2＋4x＋3＝0；　　　　 ②x2＋5x－14＝0； 解：(x＋3)(x＋1)＝0， ∴x＋3＝0或x＋1＝0， ∴x1＝－3，x2＝－1； 解：(x－2)(x＋7)＝0， ∴x－2＝0或x＋7＝0， ∴x1＝2，x2＝－7； 　③【变式】3x2－10x－8＝0. 3x＋2 　3x2－10x－8＝(__________)(__________)＝0， 　∴x1＝_________，x2＝_________． x－4 4 随堂训练 1．用因式分解法解一元二次方程，其依据是(　　) A．若ab＝0，则a＝0或b＝0 B．若a＝0或b＝0，则ab＝0 C．若ab＝0，则a＝0且b＝0 D．若a＝0且b＝0，则ab＝0 2．一元二次方程x2－x＝0的解是(　　) A．x1＝－1，x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝－1，x2＝1 D．x1＝x2＝1 A B 基础巩固 解：x1＝2，x2＝－2 解：x1＝0，x2＝6 4．定义运算“*”：对于任意实数a，b都有a*b＝a2－4a＋b. (1)求3*5的值； (2)若x*4＝(2x＋1)*4，求x的值． 解：(1)3*5＝32－4×3＋5＝2　 (2)由题意得x2－4x＋4＝(2x＋1)2－4(2x＋1)＋4， ∴(x－2)2＝(2x＋1－2)2即(x－2)2－(2x－1)2＝0. ∴[(x－2)＋(2x－1)][(x－2)－(2x－1)]＝0.解得x1＝1，x2＝－1 综合应用 因式分解法 通过因式分解实现降次来解一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 完全平方公式 平方差公式 课堂小结 5．用因式分解法解下列方程 (1)x2－3 eq \r(2) x＝0； 解：x(x－3 eq \r(2) )＝0， ∴x＝0或x－3 eq \r(2) ＝0. ∴x1＝0，x2＝3 eq \r(2) ； 解：x2＋2x＋1＝7， ∴(x＋1)2＝7. ∴x＋1＝± eq \r(7) . ∴x1＝－1＋ eq \r(7) ，x2＝－1－ eq \r(7) ； 解：∵a＝ eq \r(2) ，b＝2 eq \r(3) ，c＝－2 eq \r(2) ， ∴Δ＝12－4× eq \r(2) ×(－2 eq \r(2) )＝28. ∴x＝ eq \f(－2\r(3)±2\r(7),2\r(2)) . ∴x1＝ eq \f(－\r(6)＋\r(14),2) ，x2＝ eq \f(－\r(6)－\r(14),2) ； (2) eq \r(2) x2＋2 eq \r(3) x＝2 eq \r(2) ； (3)5x(3x＋2)＝6x＋4. 解：5x(3x＋2)－2(3x＋2)＝0. ∴(5x－2)(3x＋2)＝0. ∴5x－2＝0或3x＋2＝0.∴x1＝ eq \f(2,5) ，x2＝－ eq \f(2,3) . 6或 eq \f(3\r(7),2) ∴(3x＋2＋5－2x)(3x＋2－5＋2x)＝0. ∴(x＋7)(5x－3)＝0. ∴x＋7＝0或5x－3＝0. ∴x1＝－7，x2＝ eq \f(3,5) . 解：(2)大圆形场地的半径为(r＋4) m. 根据题意，得π(r＋4)2＝2πr2， 解得r1＝4＋4 eq \r(2) ，r2＝4－4 eq \r(2) (负值舍去). ∴小圆形场地的面积为πr2＝π(4＋4 eq \r(2) )2＝(48＋32 eq \r(2) )π m2. － eq \f(2,3) 3．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0； 　 (2)x2－2 eq \r(3) x＝0； 　 解：x1＝0，x2＝2 eq \r(3) (3)(3－x)2－9＝0； 　 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 　 解：x1＝1，x2＝ eq \f(5,3) $$